不同邊界條件下的懸鏈線確定方法

蔣旭 李鄉(xiāng)安

摘要：在工程設(shè)計(jì)中使用直接法對(duì)懸鏈線問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，往往需要推導(dǎo)特定邊界條件下的補(bǔ)充方程，這對(duì)一般設(shè)計(jì)工程師來(lái)說(shuō)存在極大的困難。針對(duì)懸鏈線各種邊界問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的補(bǔ)充方程缺乏系統(tǒng)總結(jié)的現(xiàn)狀，首先推導(dǎo)懸鏈線的四種工程上常見(jiàn)邊界條件下的補(bǔ)充方程，然后分別使用Matlab和Ansys通過(guò)四個(gè)不同類型算例驗(yàn)證了所推導(dǎo)補(bǔ)充方程的正確性。

關(guān)鍵詞：邊界條件;懸鏈線;補(bǔ)充方程;數(shù)值法;有限元法

中圖分類號(hào)：TP39收稿日期：2022-01-14

DOI： 10.19999/j.cnki.1004-0226.2022.04.008

l 懸鏈線定義和介紹

著名的懸鏈曲線問(wèn)題，即一根兩端固定繩子，依靠白身重量下垂所形成曲線形狀。伽利略就曾推測(cè)過(guò)懸鏈曲線是一條拋物線，該問(wèn)題曾經(jīng)一直困擾著15～17世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)家。直到1691年，才由雅各布·伯努利利用微積分的方法解決了這一難題。

在現(xiàn)實(shí)生活中能找到大量的懸鏈線應(yīng)用實(shí)例，例如：兩電線桿之間的輸電線、懸索橋上的懸索、曬衣服的繩索、皮帶輪上的皮帶、白行車的鏈條、液壓軟管、起重機(jī)臂架上的鋼絲繩等懸索結(jié)構(gòu)的下垂[1]。這些繩索結(jié)構(gòu)下垂的變形形狀都可用經(jīng)典的懸鏈線方程來(lái)描述（圖1）。通過(guò)對(duì)懸索結(jié)構(gòu)所形成懸鏈線形狀的研究，可以得到實(shí)際工程中懸索結(jié)構(gòu)的張緊力、下垂量、弦距等重要參數(shù)，為懸索結(jié)構(gòu)空間布置、張緊力控制、強(qiáng)度校核、十涉評(píng)估等設(shè)計(jì)工作提供重要參考[2]。

將一般懸索結(jié)構(gòu)抽象為滿足以下兩個(gè)假設(shè)條件的力學(xué)模型：懸索質(zhì)量、剛度分布均勻，軸向剛度無(wú)窮人;懸索只能承受軸向拉伸作用不承受壓縮、剪切、彎曲作用。為了描述方便，首先建立如圖1所示的坐標(biāo)系，將坐標(biāo)系y軸固定在懸鏈線的對(duì)稱軸線上且數(shù)直向上，x軸垂直于y軸且平行于水平面，從懸鏈線的左端點(diǎn)指向右端點(diǎn)。根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)[3]，懸鏈線的方程為：

（1）

（2）式中，a為懸鏈線最低點(diǎn)的y坐標(biāo)，m;FH為懸鏈線對(duì)稱軸線處所受到的水平拉力，N;p為懸鏈線的線密度，kg/m;g為重力加速度，取9.81 m/s2。

如圖1所示，懸鏈弧線上的動(dòng)點(diǎn)離左、右端點(diǎn)連線所構(gòu)成弦線的最人距離d.稱為該懸鏈線的弦距;懸鏈弧線上的左、右端點(diǎn)中的較低點(diǎn)與懸鏈線上的最低點(diǎn)的y坐標(biāo)差d2稱為下垂量。

在實(shí)際工程問(wèn)題中，懸索結(jié)構(gòu)左、右端點(diǎn)一般相對(duì)固定，即它們x、y方向坐標(biāo)差是確定的，設(shè)左、右端點(diǎn)Y、y方向的坐標(biāo)差分別為

，

;由懸鏈曲線的左右對(duì)稱性，同樣不妨設(shè)

>O和

≥O，即假設(shè)右端點(diǎn)始終不低于左端點(diǎn)，左端點(diǎn)的x坐標(biāo)為x0;由式（1）得到了懸鏈線左、右兩端點(diǎn)高度差關(guān)系式（3）。式（3）包含左端點(diǎn)的x坐標(biāo)x0和懸鏈線最低點(diǎn)的y坐標(biāo)a這兩個(gè)未知數(shù)，欲唯一確定一條懸鏈曲線，就需要根據(jù)不同邊界條件來(lái)補(bǔ)充一個(gè)方程。

（3）式中，x0為懸鏈線左端點(diǎn)x坐標(biāo)，m;

為懸鏈線左、右端點(diǎn)x坐標(biāo)的坐標(biāo)差值，m;

為懸鏈線左、右端點(diǎn)y坐標(biāo)的坐標(biāo)差值，m。

2 懸鏈結(jié)構(gòu)計(jì)算技術(shù)現(xiàn)狀和擬開(kāi)展工作

由于懸鏈線方程是一組關(guān)于x0和a非線性超越方程組，不存在固定的解析解。目前，求解懸鏈線問(wèn)題的主流方法有間接法和直接法[4-5]。

間接法主要利用非線性有限單元法，將懸鏈線看成只能承受壓力的桿單元，其在自重載荷和兩端約束作用下的白然變形就是對(duì)應(yīng)的懸鏈線方程。求解過(guò)程可應(yīng)用成熟的有限元軟件來(lái)完成。通過(guò)不斷地修改材料的彈性模量和單元內(nèi)初始的初始應(yīng)力，找到一組適當(dāng)彈性模量參數(shù)和內(nèi)應(yīng)力參數(shù)，滿足懸索邊界條件（如水平張緊力、弦距、弧長(zhǎng)、下垂量等要求）的最終形狀。

利用有限元法求解懸鏈線問(wèn)題可摒棄多種假設(shè)，可考慮更多復(fù)雜因素，如懸索的不均勻性、懸索上可加額外的載荷、繩索可抗彎、抗剪切，呈現(xiàn)出的計(jì)算結(jié)果也非常直觀。工程實(shí)踐中有限元法唯一的缺點(diǎn)就是效率低下，在計(jì)算過(guò)程中需不斷調(diào)整材料的彈性模量和單元初始的應(yīng)力或應(yīng)變。

直接法利用數(shù)值求解方法，根據(jù)各種給定的邊界條件，編制非線性求解程序，對(duì)懸鏈線方程組進(jìn)行直接求解。主流求解方法有牛頓法、梯度法、共軛方向法、BFGS法、單純形法，市場(chǎng)上許多成熟數(shù)學(xué)軟件如Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD都內(nèi)置這些數(shù)值求解方法，極大降低了求解這類非線性問(wèn)題的門檻。數(shù)值法具有直接、輸入?yún)?shù)少、求解速度快等優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是懸鏈線的邊界條件發(fā)生變化方程組的形式也相應(yīng)發(fā)生變化，需找到不同邊界條件下所對(duì)應(yīng)的補(bǔ)充方程，而目前各種文獻(xiàn)和工程軟件對(duì)懸鏈線各種邊界問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的補(bǔ)充方程缺乏系統(tǒng)的總結(jié)和歸納。

本文擬開(kāi)展下面工作：首先系統(tǒng)推導(dǎo)四類常見(jiàn)邊界條件下所對(duì)應(yīng)的補(bǔ)充方程，便于使用直接法求解不同邊界條件下所對(duì)應(yīng)的懸鏈線方程，提高工程師設(shè)計(jì)效率;然后分別使用直接法和間接法對(duì)所推導(dǎo)的補(bǔ)充方程的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

3 懸鏈線常見(jiàn)的幾類邊界條件問(wèn)題

在實(shí)際懸索結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作中，經(jīng)常遇到以下四類邊界條件問(wèn)題。

第一類問(wèn)題，當(dāng)懸索結(jié)構(gòu)左右端點(diǎn)的坐標(biāo)差確定，需將懸索強(qiáng)度或平均應(yīng)力控制在一定范圍內(nèi)，避免懸索結(jié)構(gòu)繃得太緊而斷裂和過(guò)于松弛，即懸索的水平拉力FH大小已知時(shí)，來(lái)確定該狀態(tài)下懸鏈線曲線具體形狀。

第二類問(wèn)題，在空間布置非常緊湊部件內(nèi)部，懸索結(jié)構(gòu)左、右端點(diǎn)水平布置且坐標(biāo)差確定，需將懸索結(jié)構(gòu)的下垂量d2控制在一定安全范圍內(nèi)（圖2a），避免懸索結(jié)構(gòu)與其它運(yùn)動(dòng)部件發(fā)生干涉現(xiàn)象，避免產(chǎn)生不必要磨損和異響。

第三類問(wèn)題，在第二類問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將整個(gè)懸索結(jié)構(gòu)沿懸索結(jié)構(gòu)所在平面旋轉(zhuǎn)一定角度后，懸索結(jié)構(gòu)所形成懸鏈線在重力作用下會(huì)發(fā)生變化（圖2b，，且水平拉力FH人小也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化，這時(shí)需將懸索結(jié)構(gòu)的弦距d.控制在一定安全范圍內(nèi)。FDB12A2B-77C8-4C0C-8E5C-661A959BDDB8

第四類問(wèn)題，當(dāng)懸索結(jié)構(gòu)左、右端點(diǎn)的坐標(biāo)差確定，且懸索結(jié)構(gòu)的總長(zhǎng)度為定值L0，研究所形成懸鏈線的水平拉力FH、弦距d1、下垂量d2。

綜上所述，當(dāng)左右端點(diǎn)的坐標(biāo)差確定時(shí)，存在如下幾類常見(jiàn)邊界條件下求懸鏈線方程問(wèn)題[6-7]：

a.繩索的水平拉力Fu大小已知，求懸鏈線方程。

b.繩索下垂量d2人小已知，求懸鏈線方程。

c，繩索弦距d1.大小已知，求懸鏈線方程。

d.繩索左右端點(diǎn)弧長(zhǎng)已知，求懸鏈線方程。

4 各類邊界條件下補(bǔ)充方程

4.1 懸鏈線導(dǎo)數(shù)及弧長(zhǎng)方程

對(duì)式（1）求導(dǎo)數(shù)可得到懸鏈線上任意一點(diǎn)x處的斜率方程g（x）;利用弧長(zhǎng)公式可求得到左、右端點(diǎn)AB間的弧長(zhǎng)公式（5）。為了方便實(shí)際編程，令h（x）等于式（6），將式（5）改寫為式（7）。各公式如下：

（4）

（5）

h（x）=

（6）

SAB=h

（7）

4.2

a類問(wèn)題補(bǔ)充方程

當(dāng)繩索的水平拉力FH大小已知時(shí)，根據(jù)式（2）可求得a，最后聯(lián)合方程式（3）可求得到懸鏈線方程左端點(diǎn)坐標(biāo)x0。

4.3 b 類問(wèn)題補(bǔ)充方程

當(dāng)繩索下垂量d2大小已知時(shí)，即已知左端的與最低點(diǎn)自坐標(biāo)差等于d1，可使用式（8）來(lái)描述。聯(lián)合式（3）和式（8）可求得a和x0。其中，x0需滿足小于零的條件。

f（x0）-f（0）=d1

（8）

4.4 c 類問(wèn)題補(bǔ)充方程

當(dāng)繩索弦距d1大小已知時(shí)，根據(jù)解析幾何知識(shí)，曲線上離弦距離最遠(yuǎn)點(diǎn)XM即為曲線上切線斜率等于弦斜率的點(diǎn)。根據(jù)式（9）可得到最遠(yuǎn)點(diǎn)的x坐標(biāo)xM的方程;當(dāng)知道最遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)后，可利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立弦距d1有關(guān)方程式（10）。聯(lián)合式（3）、式（9）、式（10）可求得a、x0和XM0 XM需滿足在左、右端點(diǎn)之間的條件，即x0

（9）

（10）式中，xM為懸鏈線弧上離AB弦距離最遠(yuǎn)點(diǎn)的x坐標(biāo)，m。

4.5 d類問(wèn)題補(bǔ)充方程

當(dāng)繩索左右端點(diǎn)的弧長(zhǎng)L0大小已知時(shí)，根據(jù)式（7）可得到AB兩點(diǎn)間的弧長(zhǎng)公式（II）。聯(lián)合式（3）、式（II）可求得a，YO。

h（xo+

x） - h（xo）= Lo

（II）式中，L0為懸鏈線弧AB總長(zhǎng)度，m。

5 正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證以上推導(dǎo)的四類邊界條件補(bǔ)充方程的正確性，設(shè)計(jì)了如表1所列4個(gè)不同邊界條件類型的算例，住所有算例中，假設(shè)懸索結(jié)構(gòu)的兩端分別固定在A、B兩點(diǎn)，它們之間的坐標(biāo)差

、

見(jiàn)表1，懸索結(jié)構(gòu)的等效線密度為4.6 kg/m，試求懸索結(jié)構(gòu)在各類邊界條件下的水平拉力Fu大小。

首先，分析列出各算例在指定邊界條件下的補(bǔ)充方程;其次，利用數(shù)學(xué)軟件Matlab中fsolve函數(shù)對(duì)式（3）和對(duì)應(yīng)的補(bǔ)充方程所組成的非線性方程組進(jìn)行數(shù)值求解，得到懸鏈線曲線（圖3）對(duì)應(yīng)的最低點(diǎn)y坐標(biāo)a、左端點(diǎn)Y坐標(biāo)x。、水平拉力Fu;然后，將所得到的懸鏈曲線分隔成50 mm長(zhǎng)的小段（在有限元軟件中長(zhǎng)度單位設(shè)置為mm），導(dǎo)入到有限元軟件Ansys中，設(shè)置懸索結(jié)構(gòu)等效密度，選擇link180單元模擬懸索結(jié)構(gòu)，設(shè)置該單元只能承受拉力，加一定大小的初始預(yù)應(yīng)力，打開(kāi)人變形開(kāi)關(guān)，約束兩端點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)的所有平動(dòng)自由度，對(duì)模型進(jìn)行非線性求解（圖4），提取水平拉力Fu值;最后，將兩種方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（表1）。

從表1可以看出，利用本文所推導(dǎo)的補(bǔ)充方程計(jì)算出的結(jié)果與有限元軟件的結(jié)果相對(duì)誤差在水平拉力0.5%以內(nèi)。同時(shí)從圖4也可以看出，在四個(gè)算例中，有限元計(jì)算出的懸鏈線與直接法所得到的曲線上對(duì)應(yīng)取樣點(diǎn)的最大相對(duì)誤差只有1.52 mm，充分證明了本文所推導(dǎo)四類邊界條件所對(duì)應(yīng)補(bǔ)充方程的正確性。

使用所推導(dǎo)四類邊界條件補(bǔ)充方程，可一次性快速求解這四類問(wèn)題懸索結(jié)構(gòu)形成的懸鏈線，避免有限元軟件繁瑣的操作和多次試算，極人提高了設(shè)計(jì)效率。

若使用有限元軟件求解變截面、局部受載、剛度變化的懸索結(jié)構(gòu)求懸鏈線問(wèn)題，也可使用這四類邊界條件補(bǔ)充方程求出懸鏈線的初始構(gòu)形，將所得到初始構(gòu)形導(dǎo)入到有限元軟件，可人幅降低調(diào)試參數(shù)時(shí)間并提高收斂速度。

6 結(jié)語(yǔ)

本文分別推導(dǎo)了在懸索結(jié)構(gòu)左、右端點(diǎn)固定下，水平拉力FH、下垂量d2、弦距d，、懸鏈線弧長(zhǎng)均已知的四類邊界條件下懸鏈線的補(bǔ)充方程：通過(guò)設(shè)計(jì)了四個(gè)不同邊界條件類型的算例，對(duì)推導(dǎo)的四類邊界條件補(bǔ)充方程正確性進(jìn)行驗(yàn)證：通過(guò)使用Matlab對(duì)算例中指定邊界條件下的補(bǔ)充方程所組成的非線性方程組進(jìn)行數(shù)值求解，將所得到懸鏈線導(dǎo)入到有限元軟件Ansys中進(jìn)行驗(yàn)證，兩種方法所計(jì)算的水平拉力FH相對(duì)誤差在0.5%以內(nèi)，所得到懸鏈線的曲線上對(duì)應(yīng)取樣點(diǎn)的最大相對(duì)誤差在1.52 mm以內(nèi)，充分證明了所推導(dǎo)補(bǔ)充方程的正確性。

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作者簡(jiǎn)介：

蔣旭，男.1985年生，工程師，研究方向?yàn)橄儡囕v設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)。

項(xiàng)目基金：長(zhǎng)沙市2021年重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃、平臺(tái)和人才計(jì)劃項(xiàng)目“高米段大型舉高消防裝備關(guān)鍵技術(shù)研究及應(yīng)用”（kh2201015）FDB12A2B-77C8-4C0C-8E5C-661A959BDDB8