噪聲中的復(fù)信號盲源分離算法*

馮平興 ，張洪波 ，李文翔

(1.成都工業(yè)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)與通信工程學(xué)院，四川 成都 611731；2.成都信息工程大學(xué) 通信工程學(xué)院，四川 成都 610103)

0 引言

盲源分離(Blind Source Separation，BSS)是信號處理技術(shù)的一個(gè)分支，它已經(jīng)引起了許多的研究及應(yīng)用[1-9]。鑒于復(fù)值盲源分離在頻域應(yīng)分析上的特點(diǎn)，它在無線通信、雷達(dá)、數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。以往的研究中，Bingham 和Hyv?rinen[10]提出的復(fù)值快速BSS 算法是分離復(fù)值信號的重要方法之一。在文獻(xiàn)[10]中，作者提出了一種無噪聲的定點(diǎn)算法，并推導(dǎo)了假設(shè)源的局部穩(wěn)定條件，而當(dāng)信號存在高斯噪聲時(shí)，該算法的性能會失效。本研究給出了一般的盲源分離問題，將其推廣到噪聲環(huán)境，通過對復(fù)值BSS 混合模型，利用偏差去除技術(shù)的方法對噪聲進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)對噪聲的抑制，在此基礎(chǔ)上結(jié)合復(fù)值BSS 分離算法，從而有效分離在噪聲環(huán)境下的復(fù)值信號。

1 復(fù)隨機(jī)變量的基本概念與復(fù)值噪聲BSS 模型

復(fù)隨機(jī)變量可以表示為y=yR+iyI。復(fù)隨機(jī)向量y 的統(tǒng)計(jì)量由聯(lián)合概率密度函數(shù)py(yR，yI)定義。相應(yīng)地復(fù)隨機(jī)向量y=(y1，…，yn)的協(xié)方差矩陣可以表示為：

為簡化問題，本研究所討論的復(fù)值信號具有以下約束：零均值，單位方差，實(shí)部和虛部之間不相關(guān)，也即E(yyH)=I 和E(yyT)=O。

此外為了滿足盲源分離要求，對噪聲做了如下約束：(1)噪聲的維數(shù)等于信號的維數(shù)；(2)噪聲是高斯噪聲；(3)噪聲協(xié)方差矩陣已知或者通過測量得到，即：

然后可以表示復(fù)高斯噪聲的聯(lián)合概率密度函數(shù)：

其中，C 是NR和NI的協(xié)方差，表示為：

在BSS 中，混合模型可以表示為：

其中，s=[s1，s2，…，sn]T是一個(gè)n 維復(fù)值隨機(jī)向量，x=[x1，x2，…，xm]T是一個(gè)觀測的m 維向量，A 是一個(gè)要估計(jì)的混合矩陣。于是源信號的估計(jì)為：

其中，W 是估計(jì)的n×n 分離矩陣。當(dāng)噪聲在源信號中混合時(shí)，觀測信號可由下式給出：

或者：

如果噪聲向量被單獨(dú)地添加到獨(dú)立分量[11-12]，即=si+Ni，噪聲分量可以被寫為。在實(shí)際中，如果噪聲是高斯的，其協(xié)方差具有形式：

由于在經(jīng)典的復(fù)BSS 模型中并未考慮噪聲的影響，而噪聲對BSS 的分離性能影響交大，當(dāng)噪聲達(dá)到一定程度時(shí)甚至導(dǎo)致分離算法失去其原有的性能。

2 復(fù)值信號的帶噪快速ICA 算法

因?yàn)榘谆梢允沟肂SS 問題變得簡單，假設(shè)Cx=xxT和D=diag(d1，d2，…，dn)是協(xié)方差矩陣Cx的特征值和對角矩陣。于是白化矩陣可以表示為：

因此，白化向量z 可以寫成：

相應(yīng)地E[zzH]=I，此時(shí)，通過找到一個(gè)向量w 來分別估計(jì)每個(gè)源yk：

其中，wk是W 一列。本研究選擇高階統(tǒng)計(jì)量通過任意非線性函數(shù)映射到算法中，在復(fù)快速BSS 的普通無噪聲(Noise Free，NF)中，目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

其中，G 是一個(gè)光滑的偶數(shù)函數(shù)，w 是一個(gè)n 維復(fù)數(shù)向量，且有|wHx|2=1。在極大化負(fù)熵的約束條件下，可以得到優(yōu)化問題：

結(jié)合約束條件：

其中，δjk=1，j=k，δjk=0。為了獲得對比度函數(shù)G 對野值具有魯棒性，非線性映射函數(shù)應(yīng)該是有界或者盡可能緩慢地增長。此時(shí)，隨著參數(shù)的增加估計(jì)量的增長越慢估計(jì)量就越穩(wěn)健。本研究中給出了文獻(xiàn)[10]中提出的3 種不同的函數(shù)，并給出了它們的導(dǎo)數(shù)：

其中，a1和a2是一些任意的常數(shù)，在這項(xiàng)研究中選取a1≈0.1 和a2≈0.2。是噪聲觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣。文獻(xiàn)[12]表示，噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為：

因此，本文提出了一種通過一般的目標(biāo)函數(shù)形式來考慮觀測數(shù)據(jù)投影的統(tǒng)計(jì)量表示法：

式中，G 是式(17)～式(18)中表示的非線性函數(shù)，N 是復(fù)高斯向量。對于式(4)，復(fù)高斯密度函數(shù)可以表示為：

在式(2)和式(3)的約束下可以得到：

其中，矩陣C 如式(5)所示。利用文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論，給出了任意非高斯隨機(jī)向量Z，對于任意矩陣|ξ|＞|C|有：

其中，|D|=|ξ|-|C|，于是可以通過最大化以下目標(biāo)函數(shù)來估計(jì)噪聲中的復(fù)值BSS 信號：

其中，w+是w 的新值，在每次迭代后歸一化為單位范數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)如果噪聲協(xié)方差為零(無噪聲)，式(26)將變?yōu)槲墨I(xiàn)[10]中給出的普通無噪聲復(fù)值BBS 不動(dòng)點(diǎn)算法。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了分析該方法的有效性，本文使用了3 種不同的非高斯信號與高斯噪聲混合，觀測信號由式(8)給出，高斯噪聲協(xié)方差為：

仿真中采用了3 種不同的信號：(1)由復(fù)鋸齒信號構(gòu)成的復(fù)超高斯信號；(2)復(fù)正弦構(gòu)成的亞高斯信號；(3)BPSK 信號?；旌暇仃嘇 隨機(jī)生成，用式(12)白化所有的觀測信號。非線性函數(shù)可選擇為式(17)～式(19)。為了判定分離的性能，本研究使用了Amari 參數(shù)[13]，它的定義是：

其中，pij是矩陣 P=WA 的第i 行j 列個(gè)元素，當(dāng)10logIA＜-10 時(shí)可以有效分離混合信號。所有實(shí)驗(yàn)均進(jìn)行了100 次蒙特卡羅模擬驗(yàn)證。

首先，比較了實(shí)值含噪ICA 和本文提出的復(fù)數(shù)含噪ICA 在不同樣本數(shù)情況下的分離性能，如圖1 所示。

圖1 傳統(tǒng)方法和提出方法的分離結(jié)果(C-N ICA 和R-N ICA 分別對應(yīng)于復(fù)噪聲ICA 和實(shí)值噪聲ICA)

圖1 表明，隨著樣本的增加，傳統(tǒng)實(shí)值噪聲快速BSS方法不能分離出復(fù)值信號，而相比之下，本文的方法可以成功地分離出信號。圖2 給出了在不同信噪比下源信號與高斯噪聲混合的普通方法的結(jié)果。

圖2 不同信噪比下復(fù)值ICA 分離的性能(C-N ICA 和R-N ICA 分別對應(yīng)于復(fù)噪聲ICA 和實(shí)值噪聲ICA)

圖2 顯示，隨著信噪比的增加，本文的方法具有更好的分離性能。雖然隨著信噪比的提高，普通方法的分離效果會提高，但卻不能成功地實(shí)現(xiàn)信源的分離。此外，圖3 的仿真結(jié)果顯示了非線性函數(shù)對不同的復(fù)值非高斯源的分離結(jié)果，這個(gè)結(jié)果表明非線性估計(jì)函數(shù)對不同特性的源信號混合其分離的結(jié)果是有差異的，究其原因，非線性函數(shù)的估計(jì)性能隨不同特性的非高斯信號會有所不同。因此在某些應(yīng)用中，可以通過選擇不同的非線性函數(shù)來改善復(fù)值ICA 混合分離效果。

圖3 非線性函數(shù)在超高斯、次高斯和BPSK 信號中(C-N ICA 和R-N ICA 分別對應(yīng)于復(fù)噪聲快速ICA 和實(shí)值噪聲快速ICA)原來方法和提出方法的性能比較

4 結(jié)論

本文介紹了一種利用偏差去除方法，基于高斯噪聲協(xié)方差矩陣的特性，從ICA 中的噪聲觀測值估計(jì)復(fù)值混合分量。將實(shí)噪聲中的BSS 方法推廣到復(fù)值的一般情形，擴(kuò)展了BSS 方法的應(yīng)用。仿真結(jié)果表明，當(dāng)源信號混入高斯噪聲時(shí)，該方法能有效分離噪聲混合環(huán)境中的復(fù)值成分。