免疫算法在分?jǐn)?shù)階Fourier變換域極值優(yōu)化中的應(yīng)用

劉清宇，衛(wèi)紅凱

免疫算法在分?jǐn)?shù)階Fourier變換域極值優(yōu)化中的應(yīng)用

劉清宇1，衛(wèi)紅凱2

(1. 海軍裝備研究院，北京100161；2. 海軍工程大學(xué)，湖北武漢430033)

利用線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號在分?jǐn)?shù)階Fourier域上的聚焦性，通過搜索可實(shí)現(xiàn)LFM信號的檢測和參數(shù)估計(jì)。通常采用步進(jìn)式搜索法，效率低下。為了克服該缺點(diǎn)，通過對分?jǐn)?shù)階Fourier域優(yōu)化問題的研究，將免疫算法引入到分?jǐn)?shù)階Fourier變換極值搜索中。仿真結(jié)果表明：該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的步進(jìn)式搜索法。

免疫算法；分?jǐn)?shù)階Fourier變換；極值優(yōu)化

0 引言

傳統(tǒng)的傅里葉變換(Fourier Transform, FFT)采用正弦基，適合于處理平穩(wěn)信號。但實(shí)際中，許多信號的統(tǒng)計(jì)特性往往隨時(shí)間變化，表現(xiàn)出非平穩(wěn)特性。為了描述非平穩(wěn)信號的時(shí)變特征，需要尋求新的時(shí)頻分析工具，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FRFT)[1-3]是基于此出現(xiàn)的一種信號處理新方法。FRFT采用線性調(diào)頻基，特別適合于處理Chirp類信號。線性調(diào)頻信號在特定的分?jǐn)?shù)階Fourier域上能夠?qū)崿F(xiàn)聚焦，稱為LFM信號在分?jǐn)?shù)階Fourier域上具有聚焦性。常用此聚焦特性檢測在通信、雷達(dá)、聲吶等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛的LFM信號。

目前，常用的LFM信號檢測方法是步進(jìn)法[4-6]。即設(shè)定參數(shù)步長，在分?jǐn)?shù)階Fourier域平面對LFM信號進(jìn)行二維步進(jìn)搜索。但步進(jìn)式搜索算法效率低下，尤其是當(dāng)精度要求高時(shí)，更是如此。通常離散采樣信號經(jīng)FRFT后，除了對應(yīng)LFM信號的最大峰值外，在分?jǐn)?shù)階Fourier域平面還會(huì)出現(xiàn)多個(gè)局部峰值。因此，分?jǐn)?shù)階Fourier域的極值搜索本質(zhì)上是全局尋優(yōu)問題。免疫算法[7-10]是近年來出現(xiàn)的一種仿生類全局優(yōu)化算法，該法具有所需函數(shù)信息少、全局性和魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)。因此，本文將免疫算法引入到FRFT中，提出了一種基于免疫算法的分?jǐn)?shù)階Fourier域極值優(yōu)化算法，從而實(shí)現(xiàn)LFM信號的檢測。通過仿真實(shí)例，驗(yàn)證了本文所提方法的效率優(yōu)于傳統(tǒng)的步進(jìn)式搜索方法。

1 分?jǐn)?shù)階Fourier域優(yōu)化問題描述

分?jǐn)?shù)階Fourier變換由Namias于1980年提出[1]，可理解為信號在時(shí)頻平面的旋轉(zhuǎn)算子。其定義如下：

實(shí)際中，信號由離散化采樣值表示。因此，需要將連續(xù)分?jǐn)?shù)階Fourier變換離散化，本文采用Ozaktas[3]提出的離散化快速算法，即：

分?jǐn)?shù)階Fourier域二維極值搜索問題可描述為：在分?jǐn)?shù)階Fourier域二維平面內(nèi)，尋找合適的，使得分?jǐn)?shù)階Fourier域目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3)

由式(2)和(3)可知，分?jǐn)?shù)階Fourier域目標(biāo)函數(shù)形式復(fù)雜，為多個(gè)二維復(fù)雜指數(shù)函數(shù)的非線性疊加。這使得信號經(jīng)FRFT后，目標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)出非凸、多峰等特性。進(jìn)一步增加了分?jǐn)?shù)階Fourier域二維尋優(yōu)的難度。

2 免疫算法

生物免疫系統(tǒng)是一種復(fù)雜的自適應(yīng)系統(tǒng)，通過學(xué)習(xí)對“自己”和“非己”抗原的分類識別，形成對應(yīng)的防御機(jī)制，以對抗外部病原體入侵，使系統(tǒng)損害最小化。免疫算法(Immune Algorithm, IA)[7-10]就是研究人員基于免疫原理，提出的一種模擬生物免疫系統(tǒng)功能的智能尋優(yōu)算法。由于免疫算法具有生物免疫系統(tǒng)的多樣性、魯棒性、并行性、智能性等特點(diǎn)，在優(yōu)化求解、魯棒控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面得到了廣泛應(yīng)用。

IA對最優(yōu)解的搜索類似于免疫體對抗原識別和應(yīng)答的進(jìn)化學(xué)習(xí)過程。IA的每個(gè)解稱之為一個(gè)抗體個(gè)體，每組抗體的集合稱之為抗體群，抗原對應(yīng)具體的優(yōu)化問題，抗體的適應(yīng)度表征抗體的親和度。在免疫應(yīng)答過程中，親和度高的抗體，更容易被選擇作為優(yōu)質(zhì)抗體進(jìn)行克隆、變異、抑制、刷新等進(jìn)化操作，而親和度低的抗體在進(jìn)化過程中將被淘汰和更新。在最優(yōu)化問題中，優(yōu)質(zhì)抗體通過變異操作，產(chǎn)生有潛力的新抗體，實(shí)現(xiàn)局部搜索。通過克隆抑制親和度低的變異抗體，保留親和度高的變異抗體進(jìn)入抗體群。為保持抗體多樣性，在抗體群中加入隨機(jī)抗體實(shí)現(xiàn)抗體群刷新。子代抗體對應(yīng)更接近最優(yōu)值的解，IA即是通過各子代抗體的迭代，來找到最優(yōu)解。

IA的計(jì)算步驟如下：

(1) 根據(jù)待優(yōu)化問題(抗原)，確定解空間，在解空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生初始解(抗體群)，并對初始解進(jìn)行二進(jìn)制編碼。

(2) 以目標(biāo)函數(shù)值作為適應(yīng)度函數(shù)，并計(jì)算各抗體的適應(yīng)度(親和度)和濃度。

(3) 是否滿足終止條件，若滿足，則停止運(yùn)算，以當(dāng)前解作為最優(yōu)解輸出，否則繼續(xù)以下步驟。

(4) 根據(jù)抗體親和度和濃度，選擇優(yōu)質(zhì)抗體進(jìn)行克隆、變異和克隆抑制。

(5) 以隨機(jī)生成的新抗體更新抗體群中親和度較低的抗體，實(shí)現(xiàn)抗體刷新，并轉(zhuǎn)入步驟(2)。

算法流程如圖1所示。

3 仿真實(shí)例

下面通過幾個(gè)實(shí)例來說明免疫算法的良好性能。

表1 0.15s脈寬時(shí)直接法與免疫算法性能比較

表2 0.3s脈寬時(shí)直接法與免疫算法性能比較

表3 0.5s脈寬時(shí)直接法與免疫算法性能比較

表4 0.9s脈寬時(shí)直接法與免疫算法性能比較

表5 1.2s脈寬時(shí)直接法與免疫算法性能比較

表1~5為不同脈沖寬度下，直接法與免疫算法性能比較，從表中可以看出，隨著脈寬的增大，免疫算法的優(yōu)勢越來越明顯。各表中估計(jì)值和理論值有偏差，這是由于信號的離散化采樣及噪聲的影響導(dǎo)致的。直接法的計(jì)算時(shí)間和估計(jì)精度與步長有關(guān)，隨著步長的增加，盡管其估計(jì)精度提高，但以犧牲運(yùn)算效率為代價(jià)。免疫算法不僅耗時(shí)少于直接法，且其精度高。

4 結(jié)論

LFM信號經(jīng)分?jǐn)?shù)階Fourier變換后，在分?jǐn)?shù)階Fourier域上會(huì)形成峰值。通常，對該峰值的搜索多是通過步進(jìn)式搜索法進(jìn)行。本文將免疫算法引入到分?jǐn)?shù)階Fourier變換極值搜索中，相比于傳統(tǒng)步進(jìn)法，本文方法精度高、收斂速度快。通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的性能。

當(dāng)然，由于水聲信道的復(fù)雜性，例如水聲信道是一種多徑信道，那么在這種情況下，本文的方法是否有效，有待于今后在實(shí)踐中去驗(yàn)證。

[1] V Namias. The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics[J]. J. Inst. Math. Appl., 1980: 25(3): 241-265.

[2] Ozaktas H M, Mendlovic D. Fractional Fourier transforms and their optical implementation[J]. J. Opt. Sco. AM. A., 1993: 10(12): 2522-2531.

[3] Ozaktas H M, Arikan O, Kutay A. Digital Computation of the Fractional Fourier Transform[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1996, 44(9): 2141-2150.

[4] 張淑寧, 趙惠昌, 吳兵. 基于分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的偽碼體制引信線性調(diào)頻干擾抑制技術(shù)[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2006, 27(1): 32-36.

ZHANG Shuning, ZHAO Huichang, WU Bing. LFM interference excision technique in pseudo-random code fuse based on fractional Fourier transform[J]. Acta Armamentarii, 2006, 27(1): 32-36.

[5] 趙兆, 是湘全. 一種基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測算法[J]. 電訊技術(shù), 2007, 47(4): 95-98.

ZHAO Zhao, SHI Xiangquan. A moving targets detection algorithm based fractional Fourier transform(FRFT)[J]. Telecommunication Engineering, 2007, 47(4): 95-98.

[6] 董永強(qiáng), 陶然, 周思永, 等. 含未知參數(shù)的多分量Chirp信號的分?jǐn)?shù)階傅里葉分析[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 19(5): 612-616.

DONG Yongqiang, TAO Ran, ZHOU Siyong, et al. The fractional Fourier analysis of multicomponent chirp signals with unknown parameters[J]. Journal of Beijing institute of technology, 1999, 19(5): 612-616.

[7] Castro D, Zuben V. Learning and optimization using the clonal selection principle[J]. IEEE Trans on Evolutionary Computation, 2002, 6(3): 239-251.

[8] 蔡自興, 龔濤. 免疫算法研究的進(jìn)展[J]. 控制與決策, 2004, 19(8): 841-846.

CAI Zixing, GONG Tao. Advance in research on immune algorithms[J]. Control and Decision, 2004, 19(8): 841-846.

[9] 孫寧, 彭喜原, 喬立巖. 引導(dǎo)型免疫算法研究[J]. 電子學(xué)報(bào), 2005, 33(12A): 2401-2405.

SUN Ning, PENG Xiyuan, QIAO Liyan. Study on guiding immune algorithm[J]. Acta Electronica Sinica, 2005, 33(12A): 2401-2405.

[10] 閆家尚, 杜江. 具有可變閾值的免疫算法[J]. 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì), 2009, 30(14): 3281-3287.

YAN Jiashang, DU Jiang. An immunology algorithm with variable threshold[J]. Computer Engineering and Design, 2009, 30(14): 3281-3287.

Application of immune algorithm to extremum searching in the fractional Fourier domain

LIU Qing-yu1, WEI Hong-kai2

(1. Naval Academy of Armament,Beijing 100161, China; 2.Navy Engineering University, Wuhan 430033,Hubei,China)

Based on the concentrated characteristics of linear frequency modulation (LFM) signal in the fractional Fourier domain, the detection and parameter estimation of LFM signal are usually realized by step-based searching method for extremum searching in the fractional Fourier domain. In order to resolve the disadvantage of low efficiency of the step-based searching method, Immune Algorithm is introduced to the fractional Fourier transform for extremum searching with the study of fractional Fourier optimization. Simulation results show that the performance of the Immune algorithm is better than that of the traditional step-based method.

immune algorithm; fractional Fourier transform; extremum searching

TB566

A

1000-3630(2015)-01-0075-04

10.16300/j.cnki.1000-3630.2015.01.014

2014-11-11;

2015-01-13

劉清宇(1968－), 男, 河南商丘人, 研究員, 研究方向?yàn)樗晹?shù)據(jù)分析。

衛(wèi)紅凱, E-mail:whk200605@163.com