材料力學(xué)中內(nèi)力教學(xué)思考

摘? 要：材料力學(xué)中內(nèi)力是一個(gè)非常重要的概念，分析和計(jì)算內(nèi)力是研究構(gòu)件變形的基礎(chǔ)。截面法是計(jì)算內(nèi)力最基本的方法。由于計(jì)算過程中涉及到內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定與理論力學(xué)上外力正負(fù)號(hào)的規(guī)定不一致，導(dǎo)致學(xué)生在利用截面法計(jì)算內(nèi)力時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。文章在分析截面法計(jì)算內(nèi)力基礎(chǔ)上，提出求和法計(jì)算內(nèi)力方法，經(jīng)案例計(jì)算驗(yàn)證，可有效避免材料力學(xué)上內(nèi)力正負(fù)號(hào)和理論力學(xué)上外力正負(fù)號(hào)的問題，為材料力學(xué)中內(nèi)力計(jì)算教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué);內(nèi)力計(jì)算;截面法;求和法

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2022）08-0106-04

Abstract： The internal force is a very important concept in the mechanics of materials. The analysis and calculation of internal force is the basis of studying the deformation of components. Section method is the most basic method to calculate internal force. Due to the inconsistency between the internal force sign and the external force sign in theoretical mechanics， students often make mistakes when using the section method to calculate the internal force. Based on the analysis of internal force calculation by section method， this paper puts forward the method of internal force calculation by summation method， which can effectively avoid the problems of internal force sign in material mechanics and external force sign in theoretical mechanics， and provide reference for the teaching of internal force calculation in material mechanics.

Keywords： Mechanics of Materials; internal Force calculation; section method; summation method

材料力學(xué)的任務(wù)就是在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求下，為設(shè)計(jì)既經(jīng)濟(jì)又安全的構(gòu)件，提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法[1]。材料力學(xué)涉及諸多新知識(shí)和新概念、理論性較強(qiáng)且繁瑣，對(duì)初學(xué)者來說，是比較難學(xué)的課程[2]。內(nèi)力是材料力學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，分析和計(jì)算內(nèi)力是研究構(gòu)件變形的基礎(chǔ)。構(gòu)件因外力作用而在內(nèi)部固有內(nèi)力基礎(chǔ)上又附加了相互作用力，這部分附加的作用力就是材料力學(xué)上研究的內(nèi)力。從分析構(gòu)件的內(nèi)力出發(fā)，引出應(yīng)力和應(yīng)變，進(jìn)而再研究構(gòu)件的承載能力，即構(gòu)件應(yīng)滿足足夠的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，因此對(duì)內(nèi)力的分析和計(jì)算是材料力學(xué)分析變形的基礎(chǔ)。內(nèi)力在構(gòu)件內(nèi)部，無法直接計(jì)算。在材料力學(xué)中計(jì)算內(nèi)力的方法通常用截面法。它是計(jì)算內(nèi)力最基本的方法。該方法原理是利用假想截面將構(gòu)件假想截開，任取其中一部分，使得內(nèi)力可見，然后再研究取出部分的力平衡，從而求出內(nèi)力。在學(xué)習(xí)應(yīng)用截面法計(jì)算內(nèi)力過程中，學(xué)生往往困惑于材料力學(xué)上內(nèi)力正負(fù)號(hào)和理論力學(xué)上外力正負(fù)號(hào)的問題，導(dǎo)致計(jì)算內(nèi)力時(shí)結(jié)果出錯(cuò)[3-4]。應(yīng)用截面法計(jì)算內(nèi)力又是材料力學(xué)開篇內(nèi)容，因此學(xué)不好會(huì)直接影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，而且在一定程度上還會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)材料力學(xué)的興趣。因此，有必要對(duì)內(nèi)力計(jì)算的教學(xué)方法進(jìn)行研究，避免在計(jì)算內(nèi)力過程中出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤，提高教學(xué)的效率，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。文章在分析截面法計(jì)算內(nèi)力基礎(chǔ)上，提出求和法計(jì)算內(nèi)力方法，經(jīng)基本變形典型案例計(jì)算驗(yàn)證，可有效避免材料力學(xué)上內(nèi)力正負(fù)號(hào)和理論力學(xué)上外力正負(fù)號(hào)的問題。

一、內(nèi)力教學(xué)中的思考——求和法

材料力學(xué)中求內(nèi)力的基本方法是截面法。下面先以典型桿件為例，闡述利用截面法計(jì)算桿件各段內(nèi)力，然后再分析內(nèi)力計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而提煉出求和法。

如圖1所示，一等直桿，在A點(diǎn)、B點(diǎn)和C點(diǎn)分別受集中力F、F和2F，桿件處于平衡狀態(tài)。下面用截面法分析該桿各段內(nèi)力情況。

截面法計(jì)算內(nèi)力分為三個(gè)步驟：假想截開、任意留取和平衡求力。如圖2（a）所示，AC桿分為兩段，計(jì)算時(shí)分別用兩個(gè)假想截面1和2去假想截開AC桿。由于AC桿上的外力均作用在桿件軸線上，因此桿件變形為軸向拉伸或壓縮變形，其內(nèi)力為軸力，用符號(hào)FN表示。

圖2 截面法取截面左側(cè)示意圖

這里先求AB段桿的內(nèi)力。用截面1假想截開AC桿，取截面1左段，如圖2（b）所示。移走截面1的右段對(duì)截面1左段的作用力就是內(nèi)力，即軸力。根據(jù)材料力學(xué)對(duì)軸力正負(fù)符號(hào)規(guī)定與設(shè)正法要求，截面1上未知軸力假設(shè)為離開此截面，為正軸力，用符號(hào)FN1表示。因?yàn)锳C桿整體平衡，那么取出的截面1左段也平衡。根據(jù)理論力學(xué)平衡求力方法，研究截面1左段平衡。取坐標(biāo)軸x沿桿件軸線，正向向右，則x軸上合外力為零，平衡方程：

特別要注意的是方程（1）中作用力的正負(fù)號(hào)是根據(jù)所取參考坐標(biāo)軸x的正向來規(guī)定的，與坐標(biāo)軸正向一致為正，反之為負(fù)。如果坐標(biāo)軸正向發(fā)生改變，那么作用力的正負(fù)號(hào)也要改變。這種理論力學(xué)上正負(fù)號(hào)規(guī)定與材料力學(xué)上根據(jù)構(gòu)件變形方向來確定內(nèi)力正負(fù)號(hào)有本質(zhì)上的區(qū)別。構(gòu)件變形是與坐標(biāo)軸無關(guān)。剛剛結(jié)束理論力學(xué)學(xué)習(xí)，就進(jìn)入材料力學(xué)學(xué)習(xí)，這種在力正負(fù)號(hào)規(guī)定不同，才導(dǎo)致了材料力學(xué)學(xué)習(xí)上的困惑。從方程（1）可以求得截面1上軸力：

式（2）結(jié)果表明：截面1上軸力大小為F，與外力相等，方向與假設(shè)方向相同，為拉力，正軸力。由于取出截面1左側(cè)的桿件上只有一個(gè)外力F，根據(jù)力的平衡關(guān)系，內(nèi)力與外力必須相等，且方向相反，作用線共線。它們是一對(duì)平衡力，即它們要么是一對(duì)拉力，要么是一對(duì)壓力。換句話來說，如按照材料力學(xué)關(guān)于內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定，它們有相同正負(fù)號(hào)。因此針對(duì)截面1上內(nèi)力的結(jié)果，還可以這樣理解：一個(gè)外力在所求截面上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)等值，同正負(fù)號(hào)的一個(gè)內(nèi)力。這里的“正負(fù)號(hào)”由材料力學(xué)關(guān)于內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定來確定。

同理，利用截面法可以求得AC桿上BC段截面2上的軸力FN2，如圖2（c）所示。截面2上的軸力：

由（3）式結(jié)果可知截面2上軸力分為兩部分： A點(diǎn)外力F（拉力）在截面2上產(chǎn)生一個(gè)等值，正分軸力和B點(diǎn)外力F（拉力）在截面2上產(chǎn)生一個(gè)等值，正分軸力。所以，可以得到一個(gè)結(jié)論：截面2上軸力就是這兩個(gè)分軸力的代數(shù)和。

不妨再用截面法驗(yàn)證一下取截面1和截面2右側(cè)的結(jié)果，看是否也可以得出這個(gè)結(jié)論。如圖3所示的截面法取截面右側(cè)示意圖。設(shè)截面1和截面2上軸力離開截面為正號(hào)，取坐標(biāo)軸x沿桿件軸線，正向向右。

圖3 截面法取截面右側(cè)示意圖

如圖3（b）所示，對(duì)于AB段桿列平衡方程：

不難求得AB段桿截面1上軸力為：

由（5）式結(jié)果可知截面1上軸力分為兩部分：C點(diǎn)外力2F（拉力）在截面1上產(chǎn)生一個(gè)等值，正分軸力和B點(diǎn)外力F（壓力）在截面1上產(chǎn)生一個(gè)等值，負(fù)分軸力。所以，也可以得到一個(gè)結(jié)論：截面1上軸力就是這兩個(gè)分軸力的代數(shù)和。由（5）式結(jié)果還可以知道截面1上軸力大小為F，方向與假設(shè)方向相同，為正號(hào)。這個(gè)結(jié)果與取截面1左側(cè)軸力相同。這說明對(duì)于同一個(gè)假想截面無論取左側(cè)還是右側(cè)，求得的軸力結(jié)果大小相等，方向相反，互為作用力與反作用力，但軸力正負(fù)號(hào)相同。

同理，如圖3（c）所示，利用截面法可以求得BC段截面2上的軸力：

式（6）結(jié)果顯然也滿足：截面2上軸力就是C點(diǎn)外力2F（拉力）在截面2上產(chǎn)生一個(gè)等值，正分軸力。因此，綜上截面法取左側(cè)或右側(cè)計(jì)算軸力過程，可以得出如下結(jié)論：任意截面上的內(nèi)力（軸力）等于取此截面左側(cè)或右側(cè)構(gòu)件上所有外力在此截面上產(chǎn)生分內(nèi)力（分軸力）的代數(shù)和。這種利用外力在所求截面上產(chǎn)生分內(nèi)力的代數(shù)和求內(nèi)力的方法就是求和法。求軸力時(shí)，求和法計(jì)算軸力的公式可表示：

式（7）中：FN為所求截面上軸力;FNi為第i個(gè)外力在所求截面上產(chǎn)生的分軸力。特別當(dāng)i=0，表示構(gòu)件沒有外力作用，此時(shí)分軸力FN0=0，因?yàn)椴牧狭W(xué)上所講的內(nèi)力就是因?yàn)橥饬ψ饔盟鶐淼母郊觾?nèi)力，沒有外力就不產(chǎn)生內(nèi)力。

下面將利用求和法計(jì)算基本變形的內(nèi)力，并闡述求和法求內(nèi)力的解題步驟。

二、求和法在內(nèi)力教學(xué)中的應(yīng)用

利用求和法求內(nèi)力，關(guān)鍵要確定外力的正負(fù)號(hào)，很顯然在材料力學(xué)上僅規(guī)定了各種基本變形的內(nèi)力正負(fù)號(hào)，沒有規(guī)定外力正負(fù)號(hào)。根據(jù)外力與內(nèi)力平衡關(guān)系，可以應(yīng)用內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定來確定外力正負(fù)號(hào)，因?yàn)樗鼈兊恼?fù)號(hào)是一致的。求和法求內(nèi)力的解題步驟：

（1）任取截面確定外力正負(fù)號(hào)

在所求內(nèi)力位置標(biāo)注假想截面，任意選擇一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）來計(jì)算內(nèi)力。首先根據(jù)內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定來判別該側(cè)構(gòu)件端部外力的正負(fù)號(hào)，然后再判別構(gòu)件中間外力的正負(fù)號(hào)。中間外力正負(fù)號(hào)看該側(cè)構(gòu)件端部外力，方向相同，則同號(hào);反之異號(hào)。

（2）確定分內(nèi)力正負(fù)號(hào)

外力在所求截面上產(chǎn)生等值、同正負(fù)號(hào)的分內(nèi)力。

（3）代數(shù)和求內(nèi)力

任意截面上內(nèi)力等于一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力在此截面上產(chǎn)生分內(nèi)力的代數(shù)和。

下面應(yīng)用求和法求解扭轉(zhuǎn)和彎曲基本變形的內(nèi)力。

如圖4所示，一等直圓軸，在截面A、B、C和D分別作用外力偶矩，且這些力偶作用面與軸線垂直，圓軸平衡。下面應(yīng)用求和法分析圓軸1、2和3截面上的內(nèi)力。

如圖4，根據(jù)題意可知AD軸為扭轉(zhuǎn)變形，所求截面上的內(nèi)力為扭矩，用符號(hào)T表示。扭矩為矢量，用右手螺旋法則來判別其正負(fù)號(hào)。當(dāng)扭矩的矢量方向與截面外法線的方向一致時(shí)，T為正;反之為負(fù)。扭轉(zhuǎn)時(shí)，求和法計(jì)算扭矩的公式可表示：

式（8）中：T為所求截面上扭矩;Ti為第i個(gè)外力偶矩在所求截面上產(chǎn)生的分扭矩。特別當(dāng)i=0，表示構(gòu)件沒有外力偶矩作用，此時(shí)分扭矩T0=0。

計(jì)算圓軸1截面的扭矩，如圖4所示。從截面1假想截開取左側(cè)，圓軸上只有外力偶矩m1作用。應(yīng)用右手螺旋法則判別圓軸左端的外力偶矩m1的正負(fù)號(hào)，確定為正。外力偶矩m1在截面1上產(chǎn)生一個(gè)等值、正的分扭矩。截面1左側(cè)圓軸上只有一個(gè)分扭矩，所以截面1上的扭矩：T=+m1。如果從截面1假想截開取右側(cè)，圓軸上作用的外力偶矩有m2、m3和m4。應(yīng)用右手螺旋法則首先判別圓軸右端的外力偶矩m4的正負(fù)號(hào)，確定為正。然后再判別作用在圓軸中間的外力偶矩m2和m3。它們的轉(zhuǎn)向與右端的外力偶矩m4的轉(zhuǎn)向相反，因此確定為負(fù)。外力偶矩m2、m3和m4在截面1上分別產(chǎn)生一個(gè)等值、同號(hào)的分扭矩。截面1右側(cè)圓軸上有三個(gè)分扭矩，所以截面1上的扭矩就等于這三個(gè)分扭矩的代數(shù)和，即：

同理應(yīng)用求和法可得截面2和截面3的扭矩（從截面截開取右側(cè)）：

如圖5所示，一外伸梁，在A、B和C點(diǎn)分別作用集中力， E點(diǎn)作用一個(gè)外力偶矩m，梁DG段作用均布載荷，載荷集度為q，且這些載荷均作用在梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁平衡。下面應(yīng)用求和法分析梁1、2和3截面上的內(nèi)力。

如圖5所示，根據(jù)題意可知外伸梁為彎曲變形，所求截面上的內(nèi)力有剪力FS和彎矩M。剪力正負(fù)號(hào)規(guī)定：截面截開取左段，向上的外力在截面上產(chǎn)生向下的剪力為正;反之為負(fù)。取右段，向下的外力在截面上產(chǎn)生向上的剪力為正;反之為負(fù)。彎矩正負(fù)號(hào)規(guī)定：無論取截面左側(cè)還是右側(cè)只要對(duì)截面形心產(chǎn)生向上趨勢(shì)的彎矩的外力或外力偶矩為正，此時(shí)梁變形為向下凸;反之為負(fù)。根據(jù)彎曲內(nèi)力的不同，彎曲變形求和法計(jì)算內(nèi)力的公式可表示：

（12）式中：FS為所求截面上剪力;FSi為第i個(gè)外力在所求截面上產(chǎn)生的分剪力。特別當(dāng)i=0，表示構(gòu)件沒有外力作用，此時(shí)分剪力FS0=0。（13）式中：M為所求截面上彎矩;Mi為第i個(gè)載荷在所求截面上產(chǎn)生的分彎矩。特別當(dāng)i=0，表示構(gòu)件沒有載荷作用，此時(shí)分彎矩M0=0。

計(jì)算梁截面1的扭矩，如圖5所示。從截面1假想截開取左段，梁上只有一個(gè)向下的外力F作用。求剪力：應(yīng)用剪力正負(fù)號(hào)規(guī)定判別梁左端A點(diǎn)的外力F的正負(fù)號(hào)。在左段，規(guī)定向上的外力產(chǎn)生向下的剪力為正，反之為負(fù)。這里，外力F向下，確定為負(fù)。外力F在截面1上產(chǎn)生一個(gè)等值、負(fù)的分剪力。截面1左段梁上只有一個(gè)分剪力，所以截面1上的剪力：FS=-F。求彎矩：由于截面1在A點(diǎn)偏右，外力F到截面1的力臂為零，所以截面1上的彎矩M=0。

如果從截面1假想截開取右段，梁在B和C點(diǎn)分別作用向上外力FB和FC， E點(diǎn)作用一個(gè)順時(shí)針的外力偶矩m，梁DG段作用向下均布載荷，載荷集度為q，如圖5所示。

求剪力：應(yīng)用剪力正負(fù)號(hào)規(guī)定判別梁右端D點(diǎn)的外力正負(fù)號(hào)。在右段，規(guī)定向下的外力產(chǎn)生向上的剪力為正，反之為負(fù)。這里，均布載荷作用方向向下，確定為正;B和C點(diǎn)作用力向上，與均布載荷作用方向相反，確定為負(fù);E點(diǎn)作用的外力偶矩m與剪力無關(guān)，因?yàn)榱ε季刂荒芘c力偶矩平衡。均布載荷在截面1上產(chǎn)生一個(gè)等值、正的分剪力;B和C點(diǎn)作用力在截面1上分別產(chǎn)生一個(gè)等值、負(fù)的分剪力。截面1右段梁上有三個(gè)分剪力，所以截面1上的剪力就等于這三個(gè)分剪力的代數(shù)和，即：

求彎矩：應(yīng)用彎矩正負(fù)號(hào)規(guī)定判別梁右端D點(diǎn)的外力正負(fù)號(hào)。規(guī)定無論取截面左側(cè)還是右側(cè)只要對(duì)截面形心產(chǎn)生向上趨勢(shì)的彎矩的外力或外力偶矩為正，反之為負(fù)。這里，均布載荷作用方向向下，在截面1上產(chǎn)生一個(gè)向下趨勢(shì)的彎矩，確定為負(fù);B和C點(diǎn)作用力向上，與均布載荷作用方向相反，確定為正;E點(diǎn)作用一個(gè)順時(shí)針的外力偶矩m，在截面1上產(chǎn)生一個(gè)向下趨勢(shì)的彎矩，確定為負(fù)。均布載荷在截面1上產(chǎn)生一個(gè)等值、負(fù)的分彎矩;B和C點(diǎn)作用力在截面1上分別產(chǎn)生一個(gè)等值、正的分彎矩;E點(diǎn)的外力偶矩m在截面1上產(chǎn)生一個(gè)等值、負(fù)的分彎矩。截面1右段梁上有四個(gè)分彎矩，所以截面1上的彎矩就等于這四個(gè)分彎矩的代數(shù)和，即：

同理應(yīng)用求和法可得截面2和截面3的剪力和彎矩（從截面截開取右段）：

本節(jié)利用求和法對(duì)扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種變形的內(nèi)力進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算過程中核心的問題是確定外力正負(fù)號(hào)，這里是利用材料力學(xué)中關(guān)于內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定來判別。求和法在計(jì)算內(nèi)力過程中沒有出現(xiàn)令學(xué)生困惑的理論力學(xué)與材料力學(xué)對(duì)外力符號(hào)的規(guī)定，也沒有出現(xiàn)截面法要重復(fù)畫受力圖和列平衡方程繁瑣的操作，因此求和法計(jì)算過程簡(jiǎn)潔易懂，且不容易出錯(cuò)。

三、結(jié)束語(yǔ)

求內(nèi)力貫穿整個(gè)材料力學(xué)教學(xué)過程，如何讓學(xué)生在有限課時(shí)內(nèi)，更快更好地掌握內(nèi)力計(jì)算方法，是老師們?cè)趦?nèi)力教學(xué)過程中經(jīng)常思考的問題之一。文章在分析截面法求內(nèi)力的基礎(chǔ)上提出了求和法，利用基本變形典型案例進(jìn)行求和法計(jì)算內(nèi)力。計(jì)算過程表明求和法可以有效規(guī)避材料力學(xué)中內(nèi)力正負(fù)號(hào)與理論力學(xué)外力正負(fù)號(hào)之間的區(qū)別問題，使得學(xué)生求內(nèi)力不易出錯(cuò)，且解題快速。作者在多年材料力學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)用了求和法求內(nèi)力，深受學(xué)生歡迎。

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作者簡(jiǎn)介：李立兵（1968-），男，漢族，江蘇射陽(yáng)人，碩士，副教授，研究方向?yàn)閺?fù)合材料力學(xué)性能表征與超聲無損檢測(cè)技術(shù)。