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    借助整體思想 打破常規(guī)思維

    2022-04-16 19:07:09西華師范大學陳豫眉
    中學數(shù)學 2022年14期
    關鍵詞:式子整體解決問題

    西華師范大學 林 芹 陳豫眉

    1 引言

    整體思想作為數(shù)學解題中的一個重要思想,旨在從已有問題的整體性質出發(fā),認真觀察問題的整體結構,并對其進行恰當?shù)胤治雠c改造,把握住問題的整體結構特征,運用“集成”的眼光,將其中的某部分看成一個整體,挖掘式子或圖形間的內在聯(lián)系,再對它們進行有目的、有意識地整體處理[1],使原有式子或圖形的結構更加清晰明了,容易解決.而這種以整體的眼光看待問題、解決問題的方法,貫穿于初中數(shù)學解題的多個方面.因此,筆者將結合實例圍繞解題過程中蘊含的整體思想,挖掘其內含的解題策略,以期幫助學生了解更多的解題方法,培養(yǎng)學生的整體意識,提升學生的數(shù)學思維的敏捷性、概括性與靈活性.

    2 整體思想在方程與不等式中的應用

    2.1 在解方程(組)中的應用

    接著,運用整體思想將含有多個未知數(shù)的x+3y和x+y+z分別看成一個整體,再利用常規(guī)解法求得x+y+z的值.

    從上述解方程(組)問題中不難發(fā)現(xiàn),整體的實質就是一個轉化過程,旨在將陌生的數(shù)學問題轉化為熟悉的數(shù)學問題,將復雜的數(shù)學問題轉化為簡單的數(shù)學問題,使問題更加容易解決.而在解決方程或方程組的問題的過程中,利用整體思想將分式方程轉化為整式方程,將高次方程轉化為低次方程.不僅能夠減少計算量,提升解題效率,還能夠培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新思維和整體意識.

    2.2 在不等式(組)中的應用

    例2已知1≤x-y≤2,2≤x+y≤4,求4x-2y的取值范圍.

    從上述不等式(組)問題中可以發(fā)現(xiàn),不等式的學習是指從學生已有的等式、方程(組)中的“相等”關系到“不等”關系的過渡,是等式的延伸.因此,在求解不等式和不等式組時,我們也要大膽嘗試解方程(組)時所采用的整體思想,著眼全局,把握已知與所求問題間的關聯(lián),找到快速解決問題的突破口.

    3 整體思想在數(shù)與式中的應用

    例3已知x2-3x-6=0,求2x2-6x+1的值.

    分析:本題若用常規(guī)思路解決問題,我們需要先根據(jù)x2-3x-6=0求出具體x的值,再將x的值代入到方程2x2-6x+1中求解.但是,經觀察求值式子可以發(fā)現(xiàn)x2-3x-6=0無法輕易因式分解,那么求未知數(shù)x的值就有一定的計算難度,需要借助一元二次方程的求根公式.很顯然解題的過程變得較為繁瑣,伴隨著求根公式的引入,計算的難度有所增加,錯誤率也易增加.然而如果從式子的整體入手,認真觀察式子的整體結構特征,就能夠發(fā)現(xiàn)x2-3x恰好是2x2-6x的一半,即2x2-6x+1=2(x2-3x)+1,那么,可由x2-3x-6=0 變形得x2-3x=6,再將其整體代入到式子2(x2-3x)+1中,問題就迎刃而解了.

    從上述代數(shù)式求值問題中,不難發(fā)現(xiàn)某些代數(shù)求值問題若拘泥于常規(guī)解法,則很難得到突破,易形成舉步維艱的局勢[2].但整體思想的運用,使我們快速且準確地找尋到問題突破的關鍵,讓問題的解決變得更加簡單明了.

    4 整體思想在幾何與圖形中的應用

    例4如圖1所示,五邊形ABCDE中,AB∥CD,∠HAB,∠GEA,∠EDF分別是∠BAE,∠AED,∠EDC的鄰補角,求∠HAB+∠GEA+∠EDF的值.

    圖1

    分析:本題若從常規(guī)思路解決問題,需要分別求∠HAB,∠GEA,∠EDF的值,再進行求和計算.觀察題干,我們可以發(fā)現(xiàn)單從現(xiàn)有條件無法分別求出三個角的具體度數(shù).但是,倘若我們運用整體的思想,將∠HAB+∠GEA+∠EDF看成一個整體,問題便迎刃而解.首先,根據(jù)多邊形內角和公式,求得五邊形的內角和為540°.又因AB∥CD,可知∠B+∠C=180°.而∠HAB+∠GEA+∠EDF+∠BAE+∠AED+∠EDC=180°×3=540°,其中∠BAE+∠AED+∠EDC=540°-180°=360°,我們將∠HAB+∠GEA+∠EDF看成一個整體,因此可得∠HAB+∠GEA+∠EDF=540°-(∠BAE+∠AED+∠EDC)=180°.

    由此可知,在求解某些幾何與圖形的問題時,不應執(zhí)拗于計算出其中某部分具體的值,而應當用“集成”的眼光去看待這些圖形,嘗試著將部分圖形看成一個整體,建立起局部與整體的聯(lián)系.另辟蹊徑將原本不規(guī)則的圖形變成規(guī)則圖形,為原本看似無關的部分建立起整體聯(lián)系,力求更加快速、簡單地解決問題.

    5 整體思想在函數(shù)與圖象中的應用

    例5已知y+m與x-n成正比例(其中m,n是常數(shù)),求證:y是x的一次函數(shù).

    分析:本題需先將y+m和x-n當作一個整體,設y+m=k(x-n),其中k為不等于零的常數(shù).整理,得y=kx-(kn+m).由于k≠0,并且k,-(kn+m)都為常數(shù),故證得y是x的一次函數(shù).

    6 總結

    總而言之,解題的目的在于鍛煉思維與提升能力.而整體思想作為數(shù)學解題思想中的重要組成部分,在數(shù)與式子、方程與不等式、圖形與幾何、函數(shù)與圖象等問題的解決中,都發(fā)揮著重要的作用.整體思想的理解與掌握,不僅能夠幫助學生簡便快捷地解決問題,還能夠在整體解決問題的過程中提升創(chuàng)造性思維.因此,教師在教學中不僅要教會學生如何解決這類問題,更應該引導學生樂于總結,勤于反思,在解決問題的過程中能夠挖掘問題中蘊含的理論精華,感受其內含的數(shù)學思想.以期學生在今后的學習過程中,能夠自主地運用數(shù)學的整體思想走出困境,達到事半功倍的效果.

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