例談圓錐曲線中存在性問題的解法

?西華師范大學(xué) 潘小琴 馮長煥

1 問題提出

圓錐曲線作為高考的必考內(nèi)容，題型豐富多變.從近幾年的高考試題中可看出，該類題型在考查圓錐曲線基礎(chǔ)知識的同時，對學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也有了更加明確的要求，其中存在性問題正是圓錐曲線的經(jīng)典考試題型之一.作為一種開放式的數(shù)學(xué)問題，通過這類題目的專題講解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但在實際的測試中，由于時間的限制和知識的掌握不足，導(dǎo)致學(xué)生在這類題目中表現(xiàn)出“看似套路滿滿，實則內(nèi)容空洞”的局面.筆者曾咨詢過不少學(xué)生，大多認(rèn)為圓錐曲線的題目難以看懂，或者是對題目所給出的條件難以有效轉(zhuǎn)化，或是計算量過大，故而產(chǎn)生放棄這類題目的想法，由此造成學(xué)生看不懂、不想算、得分率低或者不得分的普遍現(xiàn)狀.本研究基于圓錐曲線存在性問題的特征和學(xué)生在此類題目中存在的疑難，以例題為依托，探究圓錐曲線中存在性問題的解法，并在強(qiáng)化通性通法的同時，試圖尋求圓錐曲線存在性問題的最佳解題策略.

2 圓錐曲線中存在性問題的類型及對策

通過對高考試題及模擬題的分析發(fā)現(xiàn)，圓錐曲線中常見的存在性問題有四類：存在點問題、存在直線問題、存在參數(shù)問題、存在圖形問題.但是無論哪類問題，均可通過特定元素(點、直線、參數(shù)、圖形)的存在情況來說明試題的結(jié)論成立與否.

2.1 存在性問題的解題策略

2.1.1 假設(shè)結(jié)論驗條件

根據(jù)題目的詢問方式，一般先假設(shè)這樣的元素存在使得題目的結(jié)論成立，結(jié)合假設(shè)和已知條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化和推理論證，若根據(jù)所列出的代數(shù)式能夠求解出假設(shè)的元素，則假設(shè)成立；若無法求解出這樣的元素，則說明假設(shè)與題干矛盾，則不存在這樣的元素.這種解題方法是解決存在性問題的通用方法，根據(jù)現(xiàn)有的解題經(jīng)驗，這種做法會涉及到圓錐曲線的基本知識、向量知識、方程思想、不等式知識等綜合性知識，雖然運(yùn)算過程繁雜，卻也不失為一種穩(wěn)妥的求解策略.

2.1.2 大膽猜測證結(jié)論

所謂大膽猜測證結(jié)論，即在解題的過程中率先說明這類元素具體的值(點的坐標(biāo)、直線的方程、參數(shù)的具體數(shù)值、圖形的具體形狀)，再給出具體的論證推理過程.但這種方法對學(xué)生個人的運(yùn)算能力和知識的掌握程度要求都非常高，故而在具體的解題過程中較少采用這種方法.

但無論采取哪種解題方式，都需要對題中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化方式會直接影響問題解決的難易程度，針對此種情況，筆者提出以下幾種條件的轉(zhuǎn)化策略.

2.2 條件轉(zhuǎn)化策略

2.2.1 透徹問題本質(zhì)，簡化運(yùn)算過程

解析幾何是利用代數(shù)知識解決幾何問題，但其實質(zhì)依舊是幾何問題，在對試題條件進(jìn)行分析時，要抓住條件所反映出的幾何本質(zhì)，將幾何條件代數(shù)化，幫助學(xué)生簡化運(yùn)算過程，提高運(yùn)算效率.這不但要求學(xué)生對圓錐曲線的基礎(chǔ)知識及其幾何性質(zhì)非常熟練，并且對知識遷移能力也有著極高的要求.因此學(xué)生在日常學(xué)習(xí)時，既要對圓錐曲線的知識進(jìn)行及時梳理，也要對這些知識點的常見題型進(jìn)行識別和總結(jié)，以便在存在性問題的求解過程中謀劃出路.

2.2.2 選擇適當(dāng)參數(shù)，優(yōu)化解題步驟

解析幾何中涉及到的未知點的坐標(biāo)和未知直線的方程過多，根據(jù)已知條件，要盡量減少未知參數(shù)的個數(shù)，加強(qiáng)未知參數(shù)和已知條件的聯(lián)系，以期優(yōu)化解題過程.例如圓錐曲線中會用到直線方程，在直線斜率存在的情況下，常采用含有斜率的直線方程(類似于y=kx+b)，根據(jù)韋達(dá)定理將未知點的坐標(biāo)關(guān)聯(lián)起來.但對于有些題目，例如下面的試題1，為了找出這樣的點G，將直線方程設(shè)成x=my+n，在無需考慮直線的斜率存在與否的同時，既可以減少計算又可以優(yōu)化解題過程.

2.2.3 根據(jù)題目條件，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系

解析幾何題的經(jīng)典做法是采用平面直角坐標(biāo)系，從解題經(jīng)驗來看，這無疑是一種穩(wěn)妥的解題工具.但解析幾何知識點多而繁雜，需要設(shè)出未知點的坐標(biāo)，增加參數(shù)的同時，會使得運(yùn)算步驟冗長，容易在解題過程中導(dǎo)致學(xué)生思路混亂，解題受阻，從而導(dǎo)致試題完成率不高，解題失敗.而極坐標(biāo)系極大地減少了參數(shù)的個數(shù)，簡化運(yùn)算步驟，故而在有效的時間內(nèi)采用極坐標(biāo)法能事半功倍.但究竟選擇哪種方式更為合適，與學(xué)生對知識的熟練程度和試題的特征有關(guān).

3 例題呈現(xiàn)

3.1 存在點問題

試題1已知動點P在圓M:x2+y2-2x-15=0上，點N(-1,0)，點Q是線段PN的垂直平分線與線段PM的交點.

(1)求點Q的軌跡方程；

(2)設(shè)點Q的軌跡為曲線C，過點N作曲線C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點分別為E，F(xiàn)，過點N作直線EF的垂線，垂足為點H，是否存在定點G，使得|GH|為定值？若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解析：(1)由題知，圓M的圓心M(1,0)，半徑為4.因為點Q在線段PN的垂直平分線上，所以 |QP|=|QN|，|QN|+|QM|=|MP|=4>|MN|=2，所以點Q的軌跡是以M,N為焦點的橢圓.

(2)假設(shè)存在這樣的點G，使得|GH|為定值.

(ⅰ)當(dāng)兩條弦中有一直線斜率不存在時，直線EF位于x軸上，此時無法確定點G坐標(biāo).

注：本題可設(shè)直線l1的方程為x=my-1(m≠0),則無需討論斜率不存在的情況.

反思：本題中看似沒有給出G點的位置信息，如果不能正確理解給出的幾條直線關(guān)系，會感覺無從下手.但深究條件可知，直線EF始終過定點，且該定點位于x軸上，由此再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，便可求得G的坐標(biāo).而在求解過程中發(fā)現(xiàn)，除了常見的聯(lián)立方程、韋達(dá)定理身影外，找到關(guān)鍵的直線方程至關(guān)重要，因此對直線方程的選擇，除了考慮計算量這個因素外，還要看設(shè)出的直線方程是否能夠優(yōu)化解題過程.

3.2 存在直線問題

(1)求點M的軌跡E的方程；

(2)(ⅰ)當(dāng)直線l⊥x軸時，此時l的方程為x=0.設(shè)點P在上方，根據(jù)P，Q，R，S四點的位置可求得這四點的具體坐標(biāo)，從而驗證得到|PR|=|QS|，即直線l的方程能為x=0.

綜上所述，直線方程為x=0，y=x或y=-x.

反思：縱觀解題過程發(fā)現(xiàn)，兩種解題方法有重疊的部分，但相較之下第二種解法在優(yōu)化解題步驟的同時，也能在有限時間內(nèi)高效解題.學(xué)生在解圓錐曲線的弦長問題時，習(xí)慣采用含有直線斜率的距離公式來轉(zhuǎn)化弦長，殊不知，這種做法無形中增加了參數(shù)，計算過程復(fù)雜.此題也在提醒學(xué)生，若遇到圓與曲線結(jié)合的題型，弦長是直線與圓相交所產(chǎn)生的，利用圓心和圓的半徑求解弦長，能夠降低運(yùn)算量.當(dāng)然題目中涉及的動點過多時，要充分利用數(shù)形結(jié)合，在圖形中大致確定動點所在位置，以便對題中條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

3.3 存在參數(shù)問題

(1)求曲線C的方程；

(2)假設(shè)存在這樣的實數(shù)t，證明如下：

3.4 存在圖形問題

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

由|BM|=|BN|，得

故根據(jù)對稱性可知，存在這樣的內(nèi)接等腰直角三角形，且有三個.

4 解題反思

值得我們思考的問題是，無論是哪一類型的存在性問題，即便是選擇簡化的解題方法，仍需要“精通熟練”掌握圓錐曲線的知識.知己知彼方能百戰(zhàn)百勝.在上述例題的呈現(xiàn)中我們發(fā)現(xiàn)，最佳解法的選擇并不是一開始就形成的，而是在不斷嘗試中產(chǎn)生.條件的識別與合理轉(zhuǎn)化至關(guān)重要，這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷積累.圓錐曲線涉及到的未知參數(shù)較多，計算問題也是學(xué)生的一大難點，許多學(xué)生被這“龐大而復(fù)雜”的計算量阻擋在了試題門外，望而卻步.對存在性問題，我們需要做的是，理清存在性問題的關(guān)鍵步驟和核心解法，在大膽假設(shè)中尋求問題的答案，在反思質(zhì)疑中形成問題的完善解法，在論證推理中提升自己的思維水平，在動手操作的過程中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.