多維度研究三角形內(nèi)部長度問題

?四川省鄰水中學(xué) 林冰雁

1 問題呈現(xiàn)

圖1

2 問題分析

此題以銳角三角形為背景，已知一角C及其對邊AB，和對邊上一點(diǎn)P，求三角形內(nèi)部線段CP所在邊的最大值.選取正確的角度作為解題的切入點(diǎn)是關(guān)鍵的一步.根據(jù)題目所給的信息，從已知出發(fā)，利用“正弦定理與余弦定理[1]”進(jìn)行簡單計(jì)算，而長度的最值問題容易涉及到“三角函數(shù)和向量[2]”、函數(shù)與方程等知識，其中的變形與推理精彩絕倫.還可利用直線的參數(shù)方程中t的幾何意義輕松解決該問題.最后巧妙結(jié)合“圓[3]”的性質(zhì)并進(jìn)一步建立平面直角坐標(biāo)系，將坐標(biāo)法與三角函數(shù)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)知識的貫穿性.

3 解法探究

3.1 思維視角一：邊化角思維

解法1：在△BCP中，由余弦定理可得

CP2=a2+1-2acosB.

(顯然，|CP|跟a和角B都有關(guān)系，但是無法直接求得最大值，進(jìn)一步思考邊a能否化成角B呢？)

在△ABC中，利用正弦定理可知

點(diǎn)評：解法1比較典型，其主要思路是先利用余弦定理將CP2表示出來，以正弦定理作為橋梁，將邊a轉(zhuǎn)化成同一個(gè)角B，進(jìn)一步結(jié)合題意確定該角的范圍，接著利用三角恒等變換將CP2轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型，最后借助三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.

那還有其他的方法嗎？線段的長度即向量的模，解三角形通常與向量的知識相聯(lián)系.向量法是指根據(jù)題意選擇合適的基底，將所求線段用向量表示出來，利用平面向量基本定理和運(yùn)算法則解題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問題，轉(zhuǎn)換了解題的方向.

3.2 思維視角二：向量思維

解法2：如圖2，過點(diǎn)P作BC的平行線交直線AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作AC的平行線交直線BC于點(diǎn)N.

圖2

由相似三角形的判定方法知△APM∽△ABC，△BPN∽△BAC.

又四邊形PMCN是平行四邊形，則

9m2=b2+4a2+2ab.

①

在△ABC中，由余弦定理可得

9=b2+a2-ab.

②

由式①②消去ab,得9m2=3(2a2+b2-6).

也就是說，要求m的最大值，只需求2a2+b2的最大值.

點(diǎn)評：根據(jù)題意，利用三角形相似，尋找相關(guān)線段的相似比，結(jié)合平面向量基本定理和線性運(yùn)算，借助余弦定理的應(yīng)用，找出CP2與a，b間的關(guān)系，最后利用邊化角思維求得最大值.

以上2種方法從代數(shù)角度著手，那能不能從形的角度思考呢？由于角C和對邊AB給定，因此考慮在圓上固定AB，再把角C看作劣弧AB所對的圓周角構(gòu)造△ABC.

3.3 思維視角三：幾何思維

圖3

顯然，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)有最大值，即|CP|max=|DP|.

如圖4，連接AO，BO，過點(diǎn)O作AB的垂線交AB于點(diǎn)H，則∠AOB=120°.

圖4

在△AOB中，由余弦定理可得

c2=AO2+BO2-2AO·BO·cos∠AOB.

點(diǎn)評：有效借助工具“圓”，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，巧妙利用圓的性質(zhì)找到|CP|的最大值——|DP|，利用數(shù)形結(jié)合與余弦定理算出最大值.

3.4 思維視角四：坐標(biāo)系思維

在解法3的基礎(chǔ)上，如果建立平面直角坐標(biāo)系，則可以利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)研究該線段的長度.

(1)坐標(biāo)法.

圖5

點(diǎn)評：在引入圓的知識并建立平面直角坐標(biāo)系后，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義尋找目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)，本質(zhì)上利用了點(diǎn)C的軌跡是圓的一部分(優(yōu)弧AB)，使問題得以簡化，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式直接給出CP2，將其表示成三角函數(shù)模型，求出最大值.

(2)參數(shù)方程法.

解法5：如圖6，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，連接CP交圓O于點(diǎn)D.設(shè)α(α∈(0,π))是直線CP的傾斜角.

圖6

因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=3，直線CP的參數(shù)方程為

聯(lián)立直線的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理得到

顯然Δ>0，設(shè)點(diǎn)C，D對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.由圖6知t1>0，t2<0，因此有

點(diǎn)評：以點(diǎn)P為定點(diǎn)，設(shè)出直線CP的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，聯(lián)立該方程和圓的方程得到關(guān)于t的一元二次方程，利用參數(shù)t的幾何意義得到CP的最大值即點(diǎn)C所對應(yīng)參數(shù)的絕對值的最大值，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出CP的最大值.

4 結(jié)論

在解三角形問題中，涉及的知識點(diǎn)多，覆蓋面廣，本文中主要從4個(gè)不同的思維視角解決已知兩個(gè)元素的三角形內(nèi)部邊長的問題.

(1)邊化角思維：尋找三角形中成立的關(guān)系式，分析其特征，通過正弦定理將邊轉(zhuǎn)換為角，進(jìn)而利用三角函數(shù)的思想求解最大值.

(2)向量思維：利用平面向量基本定理將目標(biāo)線段所在向量線性表示，通過余弦定理發(fā)現(xiàn)兩個(gè)重要的式子①②，借助邊化角思維進(jìn)行轉(zhuǎn)換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分析出最大值.

(3)幾何思維：構(gòu)造三角形的外接圓，利用圓的性質(zhì)和幾何特征解題，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想，直觀形象地求出最大值.

(4)坐標(biāo)系思維：通過建立平面直角坐標(biāo)系，不僅可以利用兩點(diǎn)間的距離公式和三角函數(shù)知識分析最大值，還巧妙結(jié)合直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，運(yùn)用韋達(dá)定理和函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.