NL-fuzzy拓撲空間與L F完備映射

王延軍

（延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

在文獻［1］中，先由分子網(wǎng)的收斂定義了普通集X上的N-開集，再由N-開集定義了N L-fuzzy拓撲空間，最后在fuzzy集上定義fuzzy完備映射。文獻［2］中定義了N緊空間，并研究了N緊空間的性質(zhì)。文獻［3-14］從不同層面對fuzzy拓撲空間或Lfuzzy拓撲空間中相關問題進行了討論，并得到了一些好的結(jié)果。如在N-fuzzy拓撲空間中任一映射f：X→{x}是fuzzy完備的，NL-fuzzy拓撲空間X到T2空間Y的連續(xù)映射也是fuzzy完備的等等。本文將這一結(jié)果合理的推廣到L-fuzzy拓撲空間中，定義了新的NL-fuzzy拓撲空間與L-fuzzy完備映射，簡稱L F完備映射。討論了NL-fuzzy拓撲空間與L-fuzzy拓撲空間之間的關系，證明了L F完備映射在Lfuzzy拓撲空間中與N L-fuzzy拓撲空間中的許多性質(zhì)。從而豐富了已有的結(jié)果。

在本文中L表示fuzzy格，X表示非空集，L X表示X上的全體L F集。f：L X→L Y指L值Zadeh型函數(shù)，1X和0X分別表示L中的最大元和最小元。A′與-A分別表示A的偽補與閉包，M(L)表示L中全部分子之集，M?(L X)表示L X的全體分子之集，其他未說明的概念、記號和術語請參見文獻［1-10］。

1 預備知識

定 義1.1［2］設(L X，δ)是L-fuzzy拓 撲空 間，A∈L X，φ∈L X稱為A的α-遠域族，如果對于每一個LF點xα∈A，有P∈φ使得xα?P，φ稱為A的α-遠域族，如果存在λ∈β?(α)使得φ是A的λ-遠域族，這里α∈M(L)，β?(α)是α的標準極小集。

定 義1.2［2］設(L X，δ)是L-fuzzy拓 撲空 間，A∈L X，稱A為N緊集，如果對于A的每一個α-遠域族有有限子族構(gòu)成A的α-遠域族。當1X是N緊的，稱(L X，δ)是N緊空間。

定義1.3［2］設(L X，δ)是L-fuzzy拓撲空間，L X中的分子網(wǎng)是一個映射S：D→M?(L X)，記為S={S(n)，n∈D}，D是一個定向集。

2 N L-fuzzy拓撲空間

定義2.1設(L X，δ)是L-fuzzy拓撲空間，xα∈M?(L X)，A∈L X且為N緊集。如果xα?A，則稱A為xα的N緊遠域，記xα的所有N緊遠域之集為Nη(xα)。

定義2.2設(L X，δ)是L-fuzzy拓撲空間，S是L X中的分子網(wǎng)，xα∈M?(L X)。

1）稱xα為S的N極限點，或稱S為N收斂于xα，如果對于每一個P∈Nη(xα)，S最終不在P中，并記作S的一切N極限點記為NlimS。

2）稱xα為S的N聚點，或稱S為N聚于xα，如果對于每一個P∈Nη(xα)，S經(jīng)常不在P中，并記作。S的一切N聚點記為NadS。

由定義2.1和定義2.2不難證明下面的定理2.1：

定理2.1設(L X，δ)是L-fuzzy拓撲空間，S={S(n)，n∈D}是L X中的分子網(wǎng)，xα∈M?(L X)，則

定理2.2設(L X，δ)是L-fuzzy拓撲空間，S={S(n)，n∈D}是L X中的分子網(wǎng)，xα∈M?(L X)，則

1）當且僅當存在S的子網(wǎng)T使得

證明1）“?”設S={S(n)，n∈D}是L X中的分子網(wǎng)，xα∈M?(L X)且，對?n∈D及?P∈Nη(xα)，存在k∈D使得S(k)?P，且k≥n。取k=N(n，P)，有映射N：D×Nη(xα)→D。由于S(N(n，P))?P，故令E=D×Nη(xα)，定義(n1，P1)≥(n2，P2)當且僅當n1≥n2，P1≥P2。對?(n，P)∈E，E是定向集，取T(n，P)=S(N(n，P))，則T={T(n，P)，(n，P)∈E}是S的子網(wǎng)，且

“?”設T={T(m)，m∈E}是S的 子 網(wǎng)，且由子網(wǎng)的定義知存在映射P：E→D且m，m0∈E，當m≥m0時，對?n0∈D有P(m)≥n0。由于，故存在m1∈D，當m≥m1時，對?P∈Nη(xα)有T(m)?P。于是存在m2∈E，當m2≥m0，m2≥m1時，有T(m2)?P且P(m2)≥n0。取n=P(m2)，S(n)=S(P(m2))=T(m2)?P，且n≥n0，則S經(jīng)常不在P中，所以。

2）由定理2.1的2）直接可得。

定義2.3設(L X，δ)是L-fuzzy拓撲空間，A∈L X，如果A中每一個α分子網(wǎng)S都N收斂于高度為α的某個點，則稱A為N開集。若A為N開集，則A′為N閉集。L X中的所有N開集構(gòu)成的拓撲稱為N L-fuzzy拓撲，記為Nδ，稱(L X，Nδ)為N L-fuzzy拓撲空間。

定理2.3設(L X，Nδ)為NL-fuzzy拓撲空間，則(L X，Nδ)是L-fuzzy拓撲空間。

證明1）顯然0，1∈Nδ；

2）證明若A，B∈Nδ，則A∧B∈Nδ。

設M是A∧B中的任一α分子網(wǎng)，則M既是A中的α分子網(wǎng)又是B中的α分子網(wǎng)，即且由定義2.2知，一方面對?P∈Nη(xα)，M最終不在P中，另一方面對?Q∈Nη(yβ)，M最終不在Q中，取R=P∧Q，則R∈Nη(xα)∧Nη(yβ)，M最終不在R中，故A∧B∈Nδ。

3）證明若?t∈T，A t∈Nδ，則∨t∈T A t∈Nδ。

設U是∨t∈T A t中的任一α分子網(wǎng)，則存在t0∈T使得A t0∈Nδ且U是A t0中α分子網(wǎng)，故U將N收斂于高度為α的某個點，于是∨t∈T A t∈Nδ。

推論2.1設(L X，Nδ)為NL-fuzzy拓撲空間，則L X中的所有N閉集構(gòu)成NL-fuzzy余拓撲。

證明設A為N開集，則A中每一個α分子網(wǎng)S都N收斂于高度為α的某個點。由定義2.3，則A′為N閉集。從而L X中的所有N開集構(gòu)成的拓撲為N Lfuzzy拓撲，故L X中的所有N閉集將構(gòu)成N L-fuzzy余拓撲。

推論2.2設(L X，Nδ)為NL-fuzzy拓撲空間，則(L X，Nδ)中的常值L F集是開集。

證明由定義2.3和推論2.1可得。

3 LF完備映射

定義3.1設(L X，δ)和(L Y，τ)是2個L-fuzzy拓撲空間，稱映射f：L X→L Y為LF完備映射，如果f是LF連續(xù)的、閉的且對?B∈L Y，f-1(B)是L X中的N緊集。

定理3.1設(L X，δ)和(L Y，τ)是2個L-fuzzy拓撲空間，f：L X→L Y為L F完備映射，且(L X，δ)是T2空間，則下列條件等價：

1）f是LF連續(xù)的、閉的且對?B∈L Y，f-1(B)是L X中的N緊集；

2）f是LF連續(xù)的、閉的且對?B∈L Y，f-1(B)是L X中的f緊集；

證明因為(L X，δ)是T2空間，故N緊?f緊，從而1）?2）。又因為是L F連續(xù)的、閉的，故1）?3）。于是1）?2）?3）。

定理3.2設(L X，δ)和(L Y，τ)是2個L-fuzzy拓撲空間，f：L X→L Y為L F連續(xù)映射，則下列條件等價：

1）f是LF完備映射；

2）對于每一個分子網(wǎng)S，如果則

證明類似于文獻［1］中定理4.2的證明，可證得。

定理3.3設(L X，δ)、(L Y，τ)及(L Z，σ)都是Lfuzzy拓撲空間，如果f：L X→L Y與g：L Y→L Z都為LF完備映射，則g°f是LF完備映射。

證明因為f與g都是LF完備映射，故f是LF連續(xù)的、閉的，g是L F連續(xù)的、閉的。于是由LF連續(xù)映射的性質(zhì)知g°f是LF連續(xù)的，從而g°f是閉的。另一方面，對?B∈L Z，g-1(B)是L Y中的N緊集，而(g°f)-1(B)=f-1(g-1(B))，設C=g-1(B)，則C∈L Y，因為f是L F完備映射，所以f-1(C)是L X中的N緊集，即g°f是LF完備映射。

定理3.4設(L X，δ)和(L Y，τ)是2個L-fuzzy拓撲空間，f：L X→L Y為L F完備映射，A∈L X且是閉集，則f|A：L A→L Y為L F完備映射。

證明由定義3.1可以直接得證。

推論3.1設(L X，δ)和(L Y，τ)是2個L-fuzzy拓撲空間，f：L X→L Y為LF完備映射，B∈L Y且是閉集，則f|f-1(B)：L f-1(B)→L Y為L F完備映射。

證明由定義3.1和定理3.4可得。

定理3.5設(L X，δ)和(L Y，τ)是2個L-fuzzy拓撲空間，f：L X→L Y為LF完備映射，如果(L X，δ)是T2空間，則(L Y，τ)也是T2空間。

證明設(L X，δ)是T2空間，S={S(n)，n∈D}是L X中的α分子網(wǎng)，則f(S)是L Y中的α分子網(wǎng)，且由于f是LF完備映射，則S有子網(wǎng)T={T(m)，m∈D}且f(T)是f(S)的子網(wǎng)，由文獻［3］中的定理5.2.12知|supp(limS)|≤1。于是由定理2.2的2）可得故|supp(limf(S))|≤1，從而(L Y，τ)是T2空間。

定理3.6設(L X，δ)和(L Y，τ)是兩個L-fuzzy拓撲空間，f：L X→L Y為L F完備映射，如果對?A∈L Y且A是N緊集，則f-1(A)是L X中的N緊集。

證明設S={S(n)，n∈D}是f-1(A)中的α分子網(wǎng)，則f(S)是A中的α分子網(wǎng)，又因為A∈L Y且A是N緊 的，所 以由 定 理3.2有。于是f-1(A)是L X中的N緊集。

推論3.2設(L X，δ)和(L Y，τ)是兩個L-fuzzy拓撲空間，f：L X→L Y為滿的LF完備映射，如果(L Y，τ)是N緊的，則(L X，δ)是N緊的。

證明由定理3.6直接可得。

定理3.7設(L X，Nδ)為NL-fuzzy拓撲空間，則f：L X→{x}是L F完備映射。

證明由N L-fuzzy拓撲空間的定義知f-1(x)是L X中的N緊集，而f：L X→{x}是連續(xù)的、閉的，由定義3.1知f：L X→{x}是L F完備映射。

定理3.8設(L X，Nδ)和(L Y，Nτ)是2個滿層的、T2的NL-fuzzy拓撲空間，若f：L X→L Y為L F連續(xù)映射，則f是L F完備映射。

證明因為(L X，Nδ)和(L Y，Nτ)是滿層的、T2的N L-fuzzy拓撲空間，從而它們也都是L-fuzzy拓撲空間，故如果A∈L X，且A是N緊集，則A是閉的。所以由定理3.6知，對?B∈L Y且B是N緊集，則f-1(B)是L X中的N緊集。于是f-1(B)是閉的。故f是閉的，所以f是LF完備的。

定理3.9設(L X，δ)和(L Y，τ)都是N緊的、T2的L-fuzzy拓撲空間，則f：L X→L Y為LF連續(xù)映射當且僅當f是LF完備映射。

證明“?”由定理3.9直接可得。

“?”由LF完備映射的定義直接可得。