n階α次積分C半群的逼近

劉喬喬，趙華新

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

算子半群的逼近定理是各類算子半群研究的重要內(nèi)容，近年來，對(duì)算子半群理論的研究取得了顯著的成果。文獻(xiàn)［1-4］討論了指數(shù)有界C半群、雙連續(xù)C半群以及雙參數(shù)C半群的生成、逼近及緊性等相關(guān)問題；文獻(xiàn)［5］研究了n次積分C半群的定義及相關(guān)性質(zhì)；文獻(xiàn)［6-9］研究了α次積分C半群的Trotter-Kato逼近定理和概率逼近問題，以及指數(shù)有界雙連續(xù)α次積分C半群的逼近等相關(guān)問題；文獻(xiàn)［10-11］引入了n階α次積分C半群及其次生成元，給出了n階α次積分C半群的定義、預(yù)解式、預(yù)解方程等相關(guān)性質(zhì)，并解決了Cauchy問題；文獻(xiàn)［12-17］研究了單參數(shù)n階α次積分C半群的相關(guān)性質(zhì)、雙參數(shù)n階α次積分C半群的定義、逼近定理等相關(guān)性質(zhì)及多參數(shù)n階α次積分C半群的預(yù)解集，將單參數(shù)n階α次積分C半群推廣到雙參數(shù)n階α次積分C半群及多參數(shù)n階α次積分C半群。在上述研究基礎(chǔ)之上，n階α次積分C半群的相關(guān)性質(zhì)還有一些未被研究。本文通過借助算子半群逼近的相關(guān)理論及經(jīng)典算子理論的研究方法，給出n階α次積分C半群的逼近定理并證明，從而進(jìn)一步完善了n階α次積分C半群的相關(guān)理論。

1 基本概念和引理

X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)。T(t)∈B(X)，t≥0，D(A)為線性算子A的定義域，設(shè)n∈N，α≥0，

易知T(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n＞0，使得J n T(t)=0，t≥0。

定義1［10］設(shè)n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，{T(t)}t≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù)，若存在閉線性算子A使得

定義2［11］若R c(λ，A)=λn-1(λn-A)-1C有定義在Banach空間X上的有界逆算子，則稱λ為n階α次積分C半群的次生成元A的正則點(diǎn)，R c(λ，A)為A的C預(yù)解式，正則點(diǎn)的全體稱為A的C預(yù)解集，記為ρc(A)。

引理1［11］令n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，A：D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC，{T(t)}t≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù)并滿足‖T(t)‖≤Meωt，t≥0，ω≥0，M＞0，可得下列命題等價(jià)：

1）n階α次積分C半群{T(t)}t≥0的次生成元為A；

2）{λn|Reλ＞max{ω，0}}?ρc(A)，并滿足下式

3）{λn|λ＞max{ω，0}}?ρc(A)，并滿足下式

引理2［11］令n階α次積分C半群{T(t)}t≥0的次生成元為A，并且{T(t)}t≥0∈Gτ(M，ω，C)，其中ω≥0，M＞0，C∈B(X)，則?x∈X，有

?x∈D(A)，有

而且兩式的右端積分在關(guān)于t的有限范圍內(nèi)是一致收斂的。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)A，A n∈G(M，ω)，{T(t)}t≥0，{T n(t)}t≥0分別是由A，A n次生成的n階α次積分C半群，若?x∈X，t≥0，T n(t)x→T(t)x(n→∞)，則有?x∈X，Reλ＞ω，R c(λ，A n)x→R c(λ，A)x(n→∞)。

證明設(shè)?x∈X，t≥0，

T n(t)x→T(t)x(n→∞)。

根據(jù)預(yù)解式的定義及引理1，對(duì)Reλ＞ω有

上式兩邊取極限得

即?x∈X，Reλ＞ω，有

R c(λ，A n)x→R c(λ，A)x(n→∞)。證畢。

定理2設(shè)A，A n∈G(M，ω)，{T(t)}t≥0，{T n(t)}t≥0分別是由A，A n次生成的n階α次積分C半群，若?x∈X，Reλ＞ω，R c(λ，A n)x→R c(λ，A)x(n→∞)，則有?x∈X，t≥0，T n(t)x→T(t)x(n→∞)。

證明?x∈X，在一固定區(qū)間t∈[0，T]上有

1）關(guān)于D1

由 于‖T n(t)‖≤Meωt≤MeωT，?x∈X，Reλ＞ω，R c(λ，A n)x→R c(λ，A)x(n→∞)，有

即D1→0。

2）關(guān)于D3

因?yàn)門(t)x是關(guān)于t連續(xù)的，所以T(t)x將緊集[0，T]映射成緊集，{T(t)x：0≤t≤T}是緊集。

又由于?x∈X，R c(λ，A n)x→R c(λ，A)x(n→∞)，則對(duì)T(t)x∈{T(t)x：0≤t≤T}有

R c(λ，A n)T(t)x→R c(λ，A)T(t)x(n→∞)。

即D3→0。

3）關(guān)于D2

由引理2知

則有

由已知條件知：當(dāng)n→∞時(shí)，

從而有

即D2→0。

從而?x∈X，當(dāng)n→∞時(shí)，

?x∈D(A)，可以表示成x=R c(λ，A)z的形式，其中z∈X。所以?x∈X，

即T n(t)x→T(t)x(n→∞)。證畢。