G-ρ不變凸多目標(biāo)規(guī)劃的鞍點(diǎn)條件

李向有

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

凸性理論在最優(yōu)化理論、數(shù)學(xué)規(guī)劃中具有很重要的地位，推廣函數(shù)的凸性并用于研究數(shù)學(xué)規(guī)劃問題是最優(yōu)化理論的重要研究內(nèi)容。G不變凸函數(shù)是近年來所提出的一類新的廣義凸函數(shù)[1]，利用這類函數(shù)Antczak研究了可微多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件、對偶條件［2-3］，得到了許多重要結(jié)論。KANG等［4-5］在此基礎(chǔ)上把G不變凸函數(shù)推廣到非可微情形，研究了非可微G不變凸函數(shù)的最優(yōu)性條件和對偶條件，得到了非可微情形下相應(yīng)規(guī)劃的最優(yōu)性條件和對偶結(jié)果。近年來，ANTCZAK[6]把G不變凸函數(shù)推廣到非可微向量情形，定義了非可微G-V不變凸函數(shù)，并用這類函數(shù)研究了多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和對偶條件，推廣了文獻(xiàn)［2-3］的相關(guān)結(jié)論。李向有等[7]在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步定義了更廣義的(G-V，ρ)不變凸函數(shù)，研究了多目標(biāo)規(guī)劃問題的Mond-Weir型對偶，劉婧雯等[8]研究了多目標(biāo)規(guī)劃的Wolfe型對偶。不完全Lagrange函數(shù)的鞍點(diǎn)問題，也叫混合鞍點(diǎn)問題，是更廣義的一類鞍點(diǎn)問題，一般的鞍點(diǎn)問題可以看成是它的特殊情況，但相關(guān)研究文獻(xiàn)卻不多，文獻(xiàn)［9-12］利用不同的廣義凸函數(shù)研究了不完全向量值Lagrange函數(shù)的鞍點(diǎn)問題，得到了許多重要的結(jié)論。

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，定義了一類G-ρ不變凸函數(shù)、G-ρ不變擬凸函數(shù)、G-ρ不變偽凸函數(shù)，并用這類函數(shù)研究半無限多目標(biāo)規(guī)劃的鞍點(diǎn)問題，得到了不完全Lagrange函數(shù)鞍點(diǎn)的充分性條件和必要性條件。

1 基本定義

稱實(shí)值函數(shù)f：Rn→R是局部Lipschitz的[13]，若對任意x∈Rn，存在一個(gè)正數(shù)k和x的鄰域N(x)對任意y，z∈N(x)，使得

若函數(shù)f為局部Lipschitz的，那么函數(shù)f：X→R在點(diǎn)x處沿方向d的Clarke廣義方向?qū)?shù)定義為［13］

Clarke廣義梯度定義為[13]

下面的不等式在整篇文章中都成立，對于任意x，y∈Rn，

設(shè)X?Rn，u∈X，令f=(f1，…，f m)：X→Rn，f i(i=1，…m)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù)，令I(lǐng) f i(x)(i=1，…，m)表示f i的值。Antczak在文獻(xiàn)［2-3］中定義了可微G不變凸函數(shù)，在文獻(xiàn)［6］中定義了非可微(G，V)不變凸函數(shù)，受此啟發(fā)本文定義非可微G-ρ不變凸函數(shù)類。

定義1令f=(f1，…，f m)：X→Rn，f i(i=1，…，m)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù)，函數(shù)G=(G1，…，G m)，G i：I f i(x)→R(i=1，…，m)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，向量函數(shù)η：X×X→Rn，如果存在常數(shù)ρi∈R，函數(shù)d：X×X→R，使得對?x∈X，?ξi∈?f i()，∈X，i=1，…，m，有

則稱f在∈X是非可微G-ρ不變凸函數(shù)。若在上式中x≠且≧換成＞，則稱函數(shù)f i在∈X是非可微嚴(yán)格G-ρ不變凸函數(shù)。

注1在定義1中，若ρi=0，則為文獻(xiàn)［4-6］中所定義的非可微G不變凸函數(shù)；若ρi=0，ξi換成?f(x)，則為文獻(xiàn)［2-3］中所定義的可微G不變凸函數(shù)。所以本文所定義的函數(shù)是更廣義的一類函數(shù)。

定義2令f=(f1，…，f m)：X→Rn，f i(i=1，…，m)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù)，函數(shù)G=(G1，…，G m)，G i：I f i(x)→R(i=1，…，m)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，向量函數(shù)η：X×X→Rn，如果存在常數(shù)ρi∈R，函數(shù)d：X×X→R，使得對?x∈X，?ξi∈?f i()，∈X，i=1，…，m，有

則稱f在∈X是非可微G-ρ不變擬凸函數(shù)。

定義3令f=(f1，…，f m)：X→Rn，f i(i=1，…，m)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù)，函數(shù)G=(G1，…，G m)，G i：I f i(x)→R(i=1，…，m)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，向量函數(shù)η：X×X→Rn，如果存在常數(shù)ρi∈R，函數(shù)d：X×X→R，使得對?x∈X，?ξi∈?f i()，∈X，i=1，…，m，有

則稱f在∈X是非可微G-ρ不變偽凸函數(shù)。

為了證明方便，先給出文獻(xiàn)［12］中所定義的(V，ρ)不變偽凸函數(shù)。

定義4[12]令f=(f1，…，f m)：X→Rn，f i(i=1，…，m)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù)，向量函數(shù)η：X×X→Rn，如果存在常數(shù)ρ∈R，常向量λ∈Rn，λ≥0，函數(shù)d：X×X→R，使得?x∈X，有

則稱λΤf在∈X是非可微(V，ρ)不變偽凸函數(shù)。

下面給出一個(gè)非可微G-ρ不變凸函數(shù)和非可微G-ρ不變擬凸函數(shù)的例子。

例1令不難證明函數(shù)G i(f i(x))在xˉ=0處是非可微G-ρ不變凸函數(shù)。

例2令不難證明函數(shù)G i(f i(x))是非可微G-ρ不變擬凸函數(shù)。

2 鞍點(diǎn)條件

考慮下列半無限多目標(biāo)規(guī)劃（VP）

稱L(x，v j)=(L1(x，v j)，L2(x，v j)，…，L m(x，v j))Τ為（VP）的G不完全Lagrange函數(shù)。這里

上式中，若m=1，J2=?，約束函數(shù)個(gè)數(shù)為有限個(gè)，則G不完全Lagrange函數(shù)即為文獻(xiàn)［14］所定義的G-Lagrange函數(shù)；若G i(a)=a，約束函數(shù)個(gè)數(shù)為有限個(gè)，則G不完全Lagrange函數(shù)即為文獻(xiàn)［12］所定義的混合Lagrange函數(shù)。

定義5 點(diǎn)()∈X×Λ1稱為不完全向量值Lagrange函數(shù)的G鞍點(diǎn)，若它滿足下面條件：

定義6設(shè)是（VP）的可行解，如果存在嚴(yán)格單調(diào)遞增的實(shí)值可微函數(shù)G i，，i=1，…，m，j∈Δ，(i=1，…，m)，(j∈Δ)，對于?uj∈Y有

成立，則稱為規(guī)劃（VP）的G-(K-T)點(diǎn)。

引理1[13]對于任意實(shí)數(shù)s i和實(shí)函數(shù)f i總有成立，如果至少有一個(gè)f i在x嚴(yán)格可微，則有

定理1設(shè)(x，)在處是非可微(V，ρ)不變偽凸函數(shù)，g(x，uj)，j∈J2在xˉ處為非可微-不變擬凸函數(shù)，并且至少有一個(gè)f i(i=1，…，m)和至少 有 一 個(gè)g(x，u j)，j∈J1在嚴(yán) 格 可 微；為 規(guī) 劃（VP）的G-(K-T)點(diǎn)則存在∈Λ1，使得為不完全向量值Lagrange函數(shù)的G鞍點(diǎn)。

證明因?yàn)閤ˉ為規(guī)劃（VP）的G-(K-T)點(diǎn)，由（1）式可得，

通過多樣性指數(shù)分析發(fā)現(xiàn)：在T0、T1和T2期曲塊中，真核微生物多樣性較高；在T3、T4和T5期，多樣性較低。4種計(jì)算方法的結(jié)論基本一致（表4）。該數(shù)據(jù)亦表明，真核微生物在制曲過程中，在外界（如溫度）條件影響下，真核微生物的多樣性呈下降趨勢。

又≧0，g(x，u j)≦0，是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，故有((g(x，u j)≦0，結(jié)合（2）式，有

由條件g(x，u j)，j∈J2在xˉ處為非可微不變擬凸函數(shù)，可得?σj∈?g(，uj)，j∈J2，有

即有

再由(x，v j)在xˉ處為非可微(V，ρ)不變偽凸函數(shù)，可得

對于?v j≧0，x∈X，g(x，uj)≦0，是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，故有v j(g(x，u j))≦0，結(jié)合（2）式，有

定理2設(shè)f(x)在處為非可微G-ρi不變凸函數(shù)，g(x，uj)，j∈J1在處為非可微-不變凸函數(shù)，g(x，uj)，j∈J2在處為非可微-不變擬凸函數(shù)為規(guī)劃（VP）的G-(K-T)點(diǎn)，

證明因?yàn)闉橐?guī)劃（VP）的G-(K-T)點(diǎn)，由（1）式可得，

f(x)在為非可微G-ρi不變凸函數(shù)，故?ξi∈?f i()，σj∈?g(，uj)，i=1，…，m，j∈J1，有

用(i=1，…，m)乘以上式兩端，并把各式相加可得

g(x，uj)，j∈J1在處為非可微-不變凸函數(shù)，可得?σj∈?g(，uj)，j∈J1，有

用，j∈J1乘以上式兩端，并把各式相加可得

由條件g(x，u j)，j∈J2在xˉ處為非可微-不變凸函數(shù)，可得，有

即有

結(jié) 合（4）式、（5）式、（6）式、（7）式 和 條 件可得

再由定理1的證明類似可得

定理3 令是不完全向量值Lagrange函數(shù)的G鞍點(diǎn)，則是（VP）的有效解。

證明因?yàn)槭遣煌耆蛄恐礚agrange函數(shù)的鞍點(diǎn)，則有，即

即有

由于v j的任意性，當(dāng)時(shí)，

假設(shè)xˉ不是（VP）的有效解，則存在（VP）的可行解x0有f(x0)≤f()，即f i(x0)≦f i()，i=1，…，m，且至 少 有 一 個(gè)k，使 得f k(x0)＜f k()，由 于G i，i=1，…，p是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，所以有G i(f i(x0))≦G i(f i())，i=1，…，m，且至少有一個(gè)k，使得G k(f k(x0))＜G k(f k())。又因?yàn)閤0是（VP）的可行解，故有

且至少有一個(gè)k，使得