具有S U（1，1）李代數(shù)結(jié)構(gòu)的廣義諧振子系統(tǒng)精確求解

李 偉，曹冰冰，郝剛領(lǐng)

（延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，陜西延安 716000）

實(shí)現(xiàn)超快且高保真度量子調(diào)控的一個(gè)基本要素是精確設(shè)計(jì)脈沖或脈沖序列驅(qū)動(dòng)的人造量子系統(tǒng)，控制系統(tǒng)的非絕熱動(dòng)力學(xué)演化從而實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的制備、轉(zhuǎn)移和多通道躍遷等任務(wù)。其相關(guān)的應(yīng)用涵蓋了光致化學(xué)反應(yīng)［1］、原子與分子碰撞動(dòng)力學(xué)［2-3］和量子模擬與量子信息處理［4-6］等方面。為了實(shí)現(xiàn)量子調(diào)控在這些方面的應(yīng)用，前提之一是對(duì)外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的含時(shí)量子系統(tǒng)的演化進(jìn)行精確求解，以此設(shè)計(jì)脈沖或脈沖序列強(qiáng)度以及其與系統(tǒng)相互作用的時(shí)間。含時(shí)量子系統(tǒng)的精確求解長(zhǎng)期以來(lái)是量子理論的一項(xiàng)重要但未有效解決的課題。在具體的研究過(guò)程中，人們通常利用絕熱近似方法來(lái)處理這類問(wèn)題。絕熱近似方法基于量子絕熱定理［7］（能級(jí)沒(méi)有簡(jiǎn)并的量子體系，如果初態(tài)制備在含時(shí)哈密頓量的某一個(gè)瞬時(shí)本征態(tài)上，當(dāng)調(diào)控系統(tǒng)的演化足夠緩慢時(shí)，此后任意時(shí)刻系統(tǒng)都將沿著哈密頓量的這一本征態(tài)演化），可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)沿著相應(yīng)絕熱通道高保真度的量子調(diào)控。但絕熱近似方法的不足在于演化速度緩慢，容易受到環(huán)境誘導(dǎo)的退相干的影響。這促使含時(shí)量子系統(tǒng)的非絕熱動(dòng)力學(xué)研究引起了人們的普遍關(guān)注并取得了較快的發(fā)展。

外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的n能級(jí)量子體系求解的一個(gè)常見(jiàn)思路是首先將薛定諤方程中的波函數(shù)和哈密頓量分別用n階列向量和n階矩陣表示，其次將其轉(zhuǎn)化為有n個(gè)變量的一階變系數(shù)線性常微分方程組或者聯(lián)立這些方程建立關(guān)于某個(gè)變量的n階微分方程，最后再利用解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，尋找方程的解析解或特殊函數(shù)解。該方法僅能找到部分非平庸兩能級(jí)和非常有限的三能級(jí)模型的解析解，如Landau-Zener模 型［8-9］、Allen-Eberly模 型［10-11］、Bambini-Berman模型［12］、Carrol-Hioe模型［13］和Demkov-Kunike模型［14-16］等，很難將其推廣到三能級(jí)以上甚至是無(wú)窮維量子體系的求解。為了克服這一不足，LEWIS和RIESENFELD提出了動(dòng)力學(xué)不變量算子方法［17-18］：用包含不變量算子在內(nèi)的一組守恒量完全集的本征態(tài)刻畫系統(tǒng)演化的波函數(shù)。不變量算子方法摒棄了用非守恒的哈密頓量的本征態(tài)近似描述系統(tǒng)的演化，使得含時(shí)量子系統(tǒng)可以嚴(yán)格求解。然而什么樣的系統(tǒng)存在不變量算子以及如何尋找不變量算子，到目前為止仍然是一個(gè)亟待解決的課題。與此相關(guān)的另一個(gè)重要方法，是由WANG等提出的代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法［19-21］。代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法原則上可以用來(lái)求解具有諸如SU（2）、SU（1，1）等具有半單李代數(shù)結(jié)構(gòu)的含時(shí)量子體系，其核心在于通過(guò)引入包含相應(yīng)李代數(shù)生成元的正則變換，將薛定諤表象變換到規(guī)范表象中，使規(guī)范表象中的有效哈密頓量?jī)H含有Cartan算子，從而可以嚴(yán)格求解。代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法的顯著優(yōu)點(diǎn)是一旦找到規(guī)范變換，就可以得到系統(tǒng)的不變量算子。但要確定正則變換中控制參數(shù)所滿足的函數(shù)，就需要求解非線性方程組，之前僅有少數(shù)例子通過(guò)這種方法得到解析解［22］。

本文受代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法［19-21］的啟發(fā)，通過(guò)選擇合適的正則變換建立薛定諤表象和規(guī)范表象之間哈密頓量所滿足的關(guān)系，并通過(guò)解析求解，得到了描述具有SU（1，1）李代數(shù)結(jié)構(gòu)的廣義諧振子量子系統(tǒng)演化的波函數(shù)。

1 利用表象變換構(gòu)建兩表象中的哈密頓量

微觀粒子在Pauli阱［23］中的運(yùn)動(dòng)可以用廣義諧振子模型［24-25］來(lái)描述，其哈密頓量可以表示為

方程（1）中第①項(xiàng)是依賴于隨時(shí)間變化的等效質(zhì)量m(t)的動(dòng)能項(xiàng)；第②項(xiàng)是與粒子速度有關(guān)的廣義勢(shì)能項(xiàng)；第③項(xiàng)是諧振子勢(shì)能項(xiàng)，其中系數(shù)Ω-(t)用來(lái)刻畫諧振子的剛度。為了說(shuō)明系統(tǒng)具有的李代數(shù)對(duì)稱性，引入算符

將方程（1）改寫為

為了研究系統(tǒng)的非絕熱演化，即確定系統(tǒng)在任意時(shí)刻的波函數(shù)，需要求解薛定諤方程

值得注意的是，對(duì)任意給定的外場(chǎng)（通過(guò)哈密頓量?(t)中的脈沖參數(shù)Ω+(t)，Ω0(t)和Ω-(t)來(lái)描述），人們很難解析求解出波函數(shù)考慮到系統(tǒng)具有的S U（1，1）對(duì)稱性，研究的出發(fā)點(diǎn)是利用基于S U（1，1）李代數(shù)的代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法，尋找具有特定函數(shù)形式的控制參數(shù)，使得薛定諤方程（5）嚴(yán)格可解。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，通過(guò)引入規(guī)范變換

將薛定諤表象變換到規(guī)范表象中，在規(guī)范表象中的有效哈密頓量滿足新的薛定諤方程：

相應(yīng)的，通過(guò)將式（5）（6）代入到薛定諤方程（7），可以計(jì)算得到有效哈密頓量

可以看出，由于幺正算符?(t)選擇的多樣性，有效哈密頓量存在無(wú)窮多種可能的結(jié)果。但選取的一定要形式簡(jiǎn)單，使得通過(guò)方程（6）和方程（7）容易求出系統(tǒng)的波函數(shù)為了方便起見(jiàn)，取

其中，控制參數(shù)θ(t)和φ(t)均為與時(shí)間有關(guān)的實(shí)控制參數(shù)。相應(yīng)的，將方程（9）代入方程（8），容易得到在規(guī)范表象中的有效哈密頓量

其各生成元的系數(shù)為

需要說(shuō)明的是，為了表示方便，上面各式中省略了各個(gè)函數(shù)的自變量t?？梢钥闯?，?(t)通過(guò)含時(shí) 脈 沖 參 數(shù){Ω+(t)，Ω0(t)，Ω-(t)}和 控 制 參 數(shù){θ(t)，φ(t)}來(lái)調(diào)控。為了選取的表達(dá)式簡(jiǎn)單，令

其中，κ是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。將方程（12）代入到方程（11a）、（11b）、（11c），得到脈沖參數(shù)滿足的方程

方程（13）為一階線性常微分方程，方程的解可以一般的表示為

這里的θ(t0)為參數(shù)θ(t)在系統(tǒng)演化初始時(shí)刻t=t0時(shí)的取值。進(jìn)一步，將方程（15）代入到（14）并整理得

總的來(lái)說(shuō)，任意給定與時(shí)間有關(guān)的實(shí)脈沖Ω+(t)和Ω0(t)，通過(guò)方程（16）可以確定脈沖參數(shù)Ω-(t)，進(jìn)而完全得到外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)哈密頓量（1）的表達(dá)式。在下一節(jié)中，將通過(guò)解析求解得到滿足方程（1）和方程（16）的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的波函數(shù)。

2 薛定諤方程求解

首先求解規(guī)范表象中的薛定諤方程（7），將方程（2）、（12）代入到方程（10）中，有效哈密頓量可以改寫為

可以看出，在不考慮上式右邊隨時(shí)間變化的系數(shù)時(shí)，整個(gè)哈密頓量為標(biāo)準(zhǔn)的量子諧振子模型，受此啟發(fā)，引入哈密頓量

其滿足本征方程

這里哈密頓量對(duì)應(yīng)于本征值

的本征函數(shù)為

此時(shí)將（22）式和（23）式代入到薛定諤方程（7），整理后可以得到關(guān)于變量t滿足的一階線性微分方程

很容易得到該方程的解為

結(jié)合式（21）和（25），在規(guī)范表象中薛定諤方程（7）的基本解可以直接由

接下來(lái)通過(guò)求解薛定諤方程（5）得到系統(tǒng)的波函數(shù)。由正則變換式（9）可知，薛定諤表象中的基本解ψn(q，t)可以通過(guò)規(guī)范表象中的波函數(shù)ψgn(q，t)表示，即

至此通過(guò)求解廣義諧振子所滿足的薛定諤方程得到了系統(tǒng)演化的波函數(shù)。

3 結(jié)論

總的來(lái)說(shuō)，本文基于廣義諧振子系統(tǒng)具有的SU（1，1）對(duì)稱性，通過(guò)引入SU（1，1）規(guī)范變換，建立了薛定諤表象和規(guī)范表象中哈密頓算符的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并通過(guò)調(diào)控規(guī)范變換中的參數(shù)得到外場(chǎng)的解析表達(dá)形式。在此基礎(chǔ)上，利用兩表象中波函數(shù)的變換關(guān)系，得到了系統(tǒng)演化的波函數(shù)。利用本文得到的解析解可進(jìn)一步用于研究諸如離子阱中的粒子等具體的量子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，為廣義諧振子系統(tǒng)量子調(diào)控的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供了理論依據(jù)。此外，本研究方法有望進(jìn)一步推廣到具有其他半單李代數(shù)結(jié)構(gòu)的量子系統(tǒng)中。