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    Volta's混沌系統(tǒng)同步控制

    2022-04-15 02:00:08王東曉李自強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:狀態(tài)變量系統(tǒng)誤差滑模

    王東曉,李自強(qiáng)

    (鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,鄭州 450046)

    0 引言

    混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的不規(guī)則運(yùn)動(dòng),一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng),其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè),這就是混沌現(xiàn)象?;煦缡欠蔷€性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性,是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng),而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化來(lái)的,在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問(wèn)題中,非線性系統(tǒng)普遍存在,混沌是無(wú)處不在的?;煦缋碚撍芯康氖欠蔷€性動(dòng)力學(xué)混沌,目的是要揭示貌似隨機(jī)的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡(jiǎn)單規(guī)律,以求發(fā)現(xiàn)一大類復(fù)雜問(wèn)題普遍遵循的共同規(guī)律。

    隨著研究的深入,混沌系統(tǒng)的廣泛存在,混沌同步一直是非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)?;煦缦到y(tǒng)的同步有著廣泛的應(yīng)用前景,同步問(wèn)題備受關(guān)注,新的系統(tǒng)新的方法層出不窮。毛北行等[1]研究了非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題;較早出現(xiàn)的自適應(yīng)方法也常常用于整數(shù)階或分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步[2-3];張燕蘭采用自適應(yīng)方法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的廣義投影同步[4];近年滑模同步方法常被用以混沌同步[5-6],余明哲等[7]表明滑模自適應(yīng)同步了一類不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng);鐘啟龍[8]等采用主動(dòng)滑模研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步問(wèn)題;也可用類似的方法研究整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階同步問(wèn)題[9];兩個(gè)不同系統(tǒng)的同步也可以利用自適應(yīng)滑??刂苼?lái)實(shí)現(xiàn)[10]; Volta's混沌系統(tǒng)[11-12]在物理、通訊等方面有著廣泛的應(yīng)用,張振等[13]研究了分?jǐn)?shù)階Volta's系統(tǒng)同步問(wèn)題;李嬌研究了Volta's系統(tǒng)的混合投影同步[14];張志明等[15]對(duì)Volta's混沌系統(tǒng)添加一個(gè)新的狀態(tài)變量,得到一個(gè)四維的自治超混沌系統(tǒng)。在上述研究的基礎(chǔ)上,本文研究了三維和四維Volta's混沌系統(tǒng)同步問(wèn)題,給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件,最后的數(shù)值仿真結(jié)果表明該方案的有效性和可行性。

    1 主要結(jié)果

    此時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài),如圖1。在系統(tǒng)(1)中添加一個(gè)新的變量,并令=x+r,當(dāng)r∈[-40,-32]∪[32,40],得到一個(gè)四維超混沌系統(tǒng)[15]:

    圖1 三階Volta's系統(tǒng)的混沌吸引子

    考慮如下三階Volta's混沌系統(tǒng)[11-12]:

    取值 20,混沌吸引子如圖2。

    圖2 四階Volta's系統(tǒng)的混沌吸引子

    以系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)為:

    其中ui,(i=1,2,3)為控制器,令誤差變量ei=yi-xi,(i=1,2,34),從而誤差系統(tǒng)如下:

    系統(tǒng)(1)與(3)同步。

    在定理1中,構(gòu)造的控制器含有非線性項(xiàng),我們嘗試線性控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步。系統(tǒng)(1)呈混沌態(tài),系統(tǒng)變量有界,存在常數(shù)Q,M,N > 0,滿足。得到如下定理。

    下面考慮四維Volta's混沌系統(tǒng)的同步控題??紤]如下的響應(yīng)系統(tǒng):

    誤差系統(tǒng)如下:

    定理3:系統(tǒng)(5)在如下控制器作用下:

    主從系統(tǒng)(2)與(5)是同步。

    證 明:選擇Lyapunov函數(shù),則Lyapunov函數(shù)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為:

    系統(tǒng)(2)與(5)同步。

    從上述推導(dǎo)過(guò)程當(dāng)中可以看出,該控制方法非常靈活,控制器的第二部分可以任意構(gòu)造,只要滿足矩陣A為負(fù)定矩陣,滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的條件,就可以保證誤差系統(tǒng)在零點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。當(dāng)然,所構(gòu)造控制器越簡(jiǎn)單,實(shí)現(xiàn)同步所用時(shí)間越短,控制方案也就越好。

    2 數(shù)值仿真

    以matlab為工具,對(duì)各種方案分別做出數(shù)值仿真。系統(tǒng)(1)狀態(tài)變量初始值(8,2,1),系統(tǒng)(3)狀態(tài)變量初始值(1,4,8)。圖3為在定理1所設(shè)計(jì)方案控制下的誤差系統(tǒng)曲線,圖4為在定理2所設(shè)計(jì)控制方案控制下的誤差系統(tǒng)曲線,從誤差曲線可以看出,兩種方案都可以很好地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)同步,定理2方案中的控制器為線性控制器,相較于定理1的方案更加簡(jiǎn)單,在實(shí)際操作中更加容易操作,在加入控制器后主從系統(tǒng)狀態(tài)很快趨近一致,實(shí)現(xiàn)同步;且實(shí)現(xiàn)同步的時(shí)間更短,更具有優(yōu)勢(shì),并且在做仿真的過(guò)程當(dāng)中,控制器不滿足定理?xiàng)l件時(shí),也有可能實(shí)現(xiàn)同步,原因是我們給出的條件僅僅是充分條件,而非必要條件。系統(tǒng)(2)狀態(tài)變量初始值(8,2,1,1),系統(tǒng)(5)狀態(tài)變量初始值(1,1,2,8),圖5 為在定理3設(shè)計(jì)方案控制下系統(tǒng)誤差曲線,圖6為系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(5)的狀態(tài)變量曲線。

    圖3 定理1的系統(tǒng)誤差曲線

    圖4 定理2的系統(tǒng)誤差曲線

    圖5 定理3的系統(tǒng)誤差曲線

    圖6 定理3的主從系統(tǒng)狀態(tài)

    3 結(jié)論

    本文主要研究了Volta's混沌系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題,分別對(duì)三維和四維混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了控制方案,得到了整數(shù)階Volta’s混沌系統(tǒng)同步的充分性條件,給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明和推理過(guò)程,數(shù)值仿真表明該方法有效性和可行性。

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