矩陣在解線性方程組中的應用

楊寶軍

（太原學院 數(shù)學系，太原 030023）

中學時我們已初步了解并學習了解簡單的線性方程組，知線性方程組的重要性，但不是每一個線性方程組都有解，所以首先要做的就是判斷線性方程組有無解。通過對矩陣的學習，知道矩陣的秩可以判斷線性方程組有無解，在有解的情況下可以利用矩陣求解線性方程組。

在文獻[1]中總結(jié)了矩陣、線性方程組的相關(guān)概念；林清[2]給出了線性方程組的一般解法的主要內(nèi)容，以線性方程組系數(shù)和常數(shù)項所構(gòu)成的行列式矩陣作為基礎，來研究線性方程組的求解問題，從而實現(xiàn)一個復雜的純代數(shù)的問題和幾何學科相聯(lián)系，幫助我們更好地分析線性方程組求解問題；鄭慶云等[3]，王玉蘭[4]，吳英柱[5]給出了矩陣的初等變換、矩陣的逆的相關(guān)概念以及矩陣的逆的一些相關(guān)問題；王卿文[6]給出了線性方程組解的判斷條件；辛奎東[7]、于永新[8]、付美鑫[9]給出了一些關(guān)于矩陣分析和解線性方程組問題分析中的簡單的概念和應用。駱旗等[10]通過研究發(fā)現(xiàn)，未知量的系數(shù)對方程組的解有著決定性的作用，因而解方程組的問題就成了求未知量系數(shù)的問題。本文主要研究矩陣和線性方程組的一些基本概念和其應用，通過矩陣來解線性方程組，并結(jié)合具體實際問題說明矩陣在解線性方程組中的應用，為今后的學習與研究提供有利工具。

1 線性方程組的有關(guān)概念

1.1 線性方程組的定義

定義 1一般線性方程組的定義是形如

的方程組，這里的x1，x2，…，xn代表n個未知量，s則表示為線性方程的未知個數(shù)。如果知道一個線性方程組的全部系數(shù)以及它的常數(shù)項，那么這個線性方程組就可以確定了，線性方程組就可以用下面的矩陣

進行表示。令

可知性方程組的系數(shù)矩陣|A|，未知數(shù)矩陣為X，常數(shù)項矩陣為b，則可得到AX= b。若常數(shù)項矩陣為零矩陣即AX= 0，那么稱之為齊次線性方程組。反之，若常數(shù)項矩陣b為非零矩陣，則稱為非齊次線性方程組。

1.2 求解線性方程組的一般方法

1.2.1 消元法

所謂消元法，就是在方程中利用矩陣的初等變換，一步一步地消去未知量的個數(shù)，最終得到一個具有階梯性的方程組，如果把最終初等變換得到的關(guān)于“0 = 0”的恒等式(如果出現(xiàn)的話)全部去掉，觀察其余的階梯形方程看是否有零等于一個非零的常數(shù)的，如果有，這個常數(shù)的方程組無解，如果沒有，則有解。假設在方程組有解的情況下，令r為階梯形方程中未知量的個數(shù)，由上述定義1知，s則表示為線性方程的未知個數(shù)，當r=s時，方程組有唯一確定的解；當r＜s時，方程組可以有無窮多個解。消元法也是在中學時解線性方程組時常用的一種方法，但當未知量有n個的時候，一個一個的消元工作量也會很大。

1.2.2 克拉默法則

克拉默法是一種通過使用矩陣，實現(xiàn)對線性方程求解的一般方法，但要注意的是，使用克拉默法則求解線性方程組是有條件的：一是方程組必須是線性的，二是待求解的線性方程組中的方程的個數(shù)和未知量的個數(shù)相等，三是滿足未知系數(shù)的矩陣行列式D不等于0，即|D|≠0，使用克拉默法則必須滿足以上三種情況。

定義 2克拉默法則的一般性描述：如果線性方程組

的系數(shù)矩陣

的行列式，即它的系數(shù)行列式為d=|A|≠0，那么這個線性方程組有解，有且只有唯一的解，其系數(shù)的表達如下：，則可以得到線性方程組的解。但克拉默法則并不適用于所有的滿足條件的線性方程組，因為它的計算量太大，一般也不會使用克拉默法則的方法求解線性方程組。

2 矩陣的有關(guān)概念

2.1 矩陣的概念

定義3m×n 由個數(shù)aij（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n)構(gòu)成m行n 列并括以圓括弧或方括弧的數(shù)表，即

稱為m×n矩陣。例如

2.2 矩陣的初等變換

矩陣的初等變換不僅在矩陣的學習中是一個重要內(nèi)容，在線性方程組中也有廣泛的應用。

定義 4下面三種變換成為矩陣的初等變換

（1）交換矩陣的兩行（列）；

（2）用一個非零數(shù)k乘矩陣的某行（列）；

（3）矩陣的某行（列）的k倍加到另一行（列）。

2.3 矩陣的秩

討論矩陣和線性方程組的關(guān)系時，矩陣的秩是較為重要的概念。

定義 5矩陣A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣的A秩，記作rankA或rA。矩陣A=(aij)m×nA=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作rankA或rA。若A中有一個或多個r階子式≠0，并且r＜min (m,n)時，A中所有的r+1階子式都為0，那么矩陣A的秩為r。矩陣的秩是判斷線性方程組是否有解的重要條件。因此，如何求解矩陣的秩是至關(guān)重要的。目前，矩陣的秩的求解有如下兩種方法。

①矩陣的初等變換可以求解矩陣的秩；

②若矩陣為k行，則先計算k階子式，若k階子式不為零，則秩為k；如果k階子式為零，則計算k - 1階子式 ；若k - 1階子式中有一個不零，則秩為k - 1；若所有的k - 1階子式都為零；則計算k - 2階子式。以此類推，直到計算到k -m階子式中不全為零，則秩為k - m為止。

但第二種方法適應于k較小時，當k較大時，計算量大，也容易出錯，此時可以利用矩陣的初等變換求矩陣的秩。

有關(guān)矩陣的秩的求解，下面，我們提供了一些例題：

例 1：求下列矩陣的秩

解由題意，利用初等行變換可得

所以矩陣A的秩為3。

例 2求下列矩陣的秩

解矩陣B經(jīng)過初等變換，可得到矩陣

則矩陣B的秩為3。

解矩陣A有3行，則計算=0，則計算2階子式。因為

所以r(A)=2。

用初等變換法求矩陣的秩在解題過程中的步驟主要為：

①通過初等行（列）變換將矩陣化為階梯形；

②由定理可知非零行的個數(shù)即為該矩陣的秩數(shù)，因此可以求出秩。

2.4 基于矩陣的線性方程組解的判斷條件

定理 1線性方程組

有解的充分必要條件為：線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即r(A)=r()，其中

若是n×n階的線性方程組，在判定線性方程組有解的條件下，還能通過矩陣的秩來進一步判定線性方程組解的個數(shù)：

當r＜n時，線性方程組有無窮解；

當r=n時，線性方程組有唯一的解。

在一個齊次線性方程組中有非零行方程組解的充要條件，它的系數(shù)增廣矩陣的行列式等于零。

例 4判斷下面的方程組有無解

解由題意可以知道，上式方程組的系數(shù)矩陣為

它的增廣矩陣可以寫為

由初等變換，可以將增廣矩陣化為矩陣

可知r(A)=2,r()= 3，因為2≠3，所以方程組無解。

學會了利用矩陣的秩來判斷方程組是否有解，那在方程組有解的情況下，就應該利用矩陣求解線性方程組。

3 矩陣在解線性方程組中的應用以及解題思路

矩陣的初等變換是解線性方程組的基本的方法，主要是將矩陣化為階梯形的矩陣，主要的步驟有以下幾步：

第一步，寫出線性方程組的一個增廣矩陣；

第二步，通過將增廣矩陣化為階梯形以此來判斷線性方程組到底是否有解，當解存在時可以對矩陣進行以下步驟：

第三步，把矩陣通過初等變換化為最簡形式；

第四步，求出線性方程組的一個特解；

第五步，求線性方程組的一個通解。

例 5解下列方程組

解由題意，利用初等行變換可得

可得線性方程組

所以原方程的解為（1，1，1）

例 6解下列齊次線性方程組

分析這是一個齊次線性方程組，但它的未知量的個數(shù)比較多，用消元法計算量還是很大的，這時我們就應該選擇一種簡單的方法去求解，可以利用矩陣的初等變換求線性方程組的解，這時只要把方程的系數(shù)矩陣描述出來，不寫未知量即可，可以節(jié)省大量的計算和時間。

解方程的系數(shù)矩陣為

將系數(shù)矩陣初等化為階梯形矩陣，可得

所以方程的一般解為

其中x4為未知量。當取x4= 9時，方程組的解為

所以原方程通解為

例 7線性方程組求解

分析首先對方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣進行計算，同時簡化這兩個矩陣，然后對比兩個矩陣的秩是否相等從而判斷解的存在情況。

解對增廣矩陣進行如下變換

首先對方程組是否有解進行判斷，根據(jù)增廣矩陣與系數(shù)矩陣A的關(guān)系可知，r(A)=2，r()= 3，可以看出2≠3，所以可以知道這個線性方程組沒有解。

例 8討論a,b為何值時，方程組

有唯一解；無解；無窮多解。當有無窮多解時，求出通解。

分析此線性方程組為非齊次線性方程組，這題中通過判斷線性方程組是否有解來求出未知數(shù)，判斷線性方程組是否有解，就是要判斷系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相同，若有解，則可求出線性方程組的解。

解對線性方程組的增廣矩陣進行過下列變換

當a≠1時，方程組有唯一的解；

當a= 1且b≠-1時，方程組無解；

當a= 1且b=-1時，方程組有無窮多解。

此時方程組為

可得特解

導出組的基礎解系為

于是通解為

β=α+k1η1+k2η2。

總結(jié)在解線性方程組的問題中，要準確地判斷方程組是否有解，以方程組解存在為基礎，若齊次線性方程組中隨意一個基礎解系為ξ1，ξ2，…，ξn-r，稱它為方程組的一個基礎解系，齊次線性方程組的任何一解都能表成ξ1，ξ2，…，ξn-r的線性組合。而在非齊次線性方程組中，應先求出Ax=0的基礎解系，則Ax=0則的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r，設η為非齊次線性方程組Ax=b的特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r為對應的齊次線性方程組Ax=0的基礎解系，則Ax=b的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r+η。在方程組有解的情況下，解的唯一充分必要條件是它的導出組只有零解。

4 結(jié)論

矩陣在求解解線性方程組中已經(jīng)有了廣泛的研究和應用，主要是通過矩陣的初等變換求線性方程組的解，而且矩陣的初等變換還可以更準確地判斷線性方程組解是否存在的實際情況。另外，通過矩陣的初等變換可以求出矩陣的秩，以此來快速判斷線性方程組的解也是非常重要的一種解題方法?？偠灾?，矩陣在解線性方程組中有重要的作用，理清這類復雜問題的基本解題方法和思路，能夠在實踐中更好地運用矩陣來快速求解線性方程組。