退相位環(huán)境下Werner 態(tài)在石墨烯基量子通道中的隱形傳輸*

張樂(lè) 袁訓(xùn)鋒 譚小東

(商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院,商洛 726000)

基于有效低能理論,研究了退相位環(huán)境下Werner 態(tài)在石墨烯基量子通道中的隱形傳輸.結(jié)果表明,輸出態(tài)糾纏度總是隨著輸入態(tài)糾纏度的增大而增大,而相應(yīng)的保真度卻正好相反;對(duì)于給定的輸入態(tài),量子通道中的糾纏越大,輸出態(tài)的品質(zhì)就越高.對(duì)于石墨烯基量子通道,低溫和弱庫(kù)侖排斥勢(shì)可以減緩其糾纏資源在退相位環(huán)境中的衰減,且溫度低于40 K,電子間庫(kù)侖排斥勢(shì)小于6 eV 時(shí),輸出態(tài)的平均保真度可以達(dá)到80%以上.這就說(shuō)明石墨烯材料在量子信息領(lǐng)域中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

1 引言

量子隱形傳態(tài)(quantum teleportation,QT)是以量子糾纏作為資源,并結(jié)合經(jīng)典通信將一未知量子態(tài)從一個(gè)地方傳送到另外一個(gè)地方的全新通信技術(shù)[1].它不僅是一種重要的量子通信方式,而且是發(fā)展量子計(jì)算[1]和量子網(wǎng)絡(luò)[2]的基礎(chǔ).自1993年Bennett 等[3]首次提出QT 以來(lái),許多新的量子技術(shù)也隨之發(fā)展起來(lái),如量子中繼[4,5]、測(cè)量為基礎(chǔ)的量子計(jì)算[6,7]、量子門(mén)的遠(yuǎn)程傳輸[8,9]以及無(wú)需糾纏資源協(xié)助的量子態(tài)安全傳輸?shù)萚10].在過(guò)去的十幾年里,QT 已經(jīng)在各種各樣的物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn),如光子系統(tǒng)[11-15]、囚禁原子系統(tǒng)[16,17]、原子系綜[18,19]、固態(tài)系統(tǒng)[20-22]以及IBM Q Experience 在線(xiàn)量子平臺(tái)等[23,24].2017 年,我國(guó)建成了全球首條量子通信“京滬干線(xiàn)”,結(jié)合“墨子號(hào)”量子衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)了天地一體化的廣域量子通信體系,并完成了星地間的QT 實(shí)驗(yàn)[25].在這些量子系統(tǒng)中,固態(tài)量子系統(tǒng)易與現(xiàn)代微納加工工藝接軌,且大規(guī)?？蓴U(kuò)展性問(wèn)題能自然得到解決,是未來(lái)發(fā)展固態(tài)量子計(jì)算的重要研究方向.進(jìn)而固態(tài)量子系統(tǒng)中量子信息的傳遞與存儲(chǔ)也引起了人們極大的研究興趣[26].光子到固態(tài)物質(zhì)的量子態(tài)傳輸已經(jīng)在光子比特和固態(tài)量子存儲(chǔ)為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)[20,27].固態(tài)物質(zhì)間的量子態(tài)傳輸也已經(jīng)在超導(dǎo)量子電路中實(shí)現(xiàn)[21].最近,Llewellyn等[28]還在硅基光子芯片間實(shí)現(xiàn)了量子隱形傳態(tài)和多光子糾纏.這些對(duì)于發(fā)展固態(tài)量子計(jì)算與量子通信具有深遠(yuǎn)的意義.然而,由于外界環(huán)境的影響,量子退相干是所有量子系統(tǒng)所面臨的共同難題.因此,要發(fā)展固態(tài)量子系統(tǒng),就必須找到能夠保持較長(zhǎng)相干時(shí)間的材料.

石墨烯[29]中自旋-軌道耦合和精細(xì)作用非常微弱,電子自旋能夠保持較長(zhǎng)的相干時(shí)間,因此是非常理想的固態(tài)量子材料.為了獲得更加優(yōu)異的電磁學(xué)性能,經(jīng)常把石墨烯裁剪成準(zhǔn)一維的結(jié)構(gòu),即石墨烯納米帶(graphene nanoribbon,GNR).根據(jù)邊緣結(jié)構(gòu)的不同,常見(jiàn)的GNR 有呈金屬性但無(wú)磁性的扶手椅型GNR和呈半導(dǎo)體性且有邊緣磁性的鋸齒型GNR[30-32].目前實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)能夠制備出高品質(zhì)的帶有兩個(gè)鋸齒端的扶手椅型GNR[33,34].基于有效低能理論[35],Golor 等[36]研究了該GNR兩個(gè)鋸齒端間的磁性關(guān)聯(lián),結(jié)果發(fā)現(xiàn)納米帶兩端的自旋是相互糾纏的.進(jìn)一步,Gr?fe和Szameit[37]發(fā)現(xiàn)石墨烯的邊緣幾何形狀對(duì)邊緣態(tài)中的量子關(guān)聯(lián)演化有非常顯著的影響.為了探索石墨烯材料在量子信息領(lǐng)域中的應(yīng)用,相關(guān)學(xué)者提出在石墨烯量子點(diǎn)[38,39]、石墨烯納米帶量子點(diǎn)[40]和釩基酞菁/石墨烯/SiC(0001)雜化結(jié)構(gòu)中[41]制備自旋量子比特的方案.基于自旋量子比特,Guo 等[42]在“Z”字形GNR 中設(shè)計(jì)了一種高效率和高保真度的可擴(kuò)展量子計(jì)算方案.后來(lái),Dragoman 等在理論上提出了在室溫條件下實(shí)現(xiàn)量子邏輯門(mén)的方案和改進(jìn)的Deutsch-Jozsa 算法[43],并在晶片尺寸的石墨烯基結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[44].以上結(jié)果均表明石墨烯材料在量子信息領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

考慮到石墨烯諸多優(yōu)良的物理特性,且?guī)в袃蓚€(gè)鋸齒端的高品質(zhì)扶手椅型GNR 已經(jīng)可以在實(shí)驗(yàn)上制備,本文將研究該特殊結(jié)構(gòu)的石墨烯納米帶(special graphene nanoribbon,SGNR)在量子通信方面的應(yīng)用—在SGNR 構(gòu)建的量子通道中實(shí)現(xiàn)Werner 態(tài)的隱形傳輸.考慮到真實(shí)的量子通道總是會(huì)受消相干環(huán)境的影響,簡(jiǎn)單起見(jiàn),本文只考慮退相位環(huán)境對(duì)量子通道及輸出態(tài)的影響.通過(guò)計(jì)算輸出態(tài)的糾纏度和保真度分析輸出態(tài)的品質(zhì),同時(shí)討論溫度和電子間的庫(kù)侖排斥勢(shì)對(duì)輸出態(tài)的影響,進(jìn)而說(shuō)明該量子通道的魯棒性,推動(dòng)石墨烯材料在量子信息領(lǐng)域中的應(yīng)用.

2 模 型

本文考慮的特殊結(jié)構(gòu)的石墨烯納米帶SGNR如圖1(a)所示.Golor 等[36]的工作已經(jīng)證明,對(duì)于帶寬W=3 且?guī)чL(zhǎng)L≥8 的SGNR 來(lái)講,兩鋸齒端上的自旋粒子間呈反鐵磁耦合,有效相互作用的哈密頓量H0可以用海森伯模型描述[36]:

圖1 退相位環(huán)境下Werner 態(tài)在石墨烯基量子通道中的隱形傳輸原理圖 (a) 構(gòu)建量子通道的特殊石墨烯納米帶(SGNR)幾何結(jié)構(gòu).帶長(zhǎng)(L)和帶寬(W)分別用沿著扶手椅形和鋸齒形邊緣的六方格子的數(shù)目表征.紅色和藍(lán)色小球表示一對(duì)呈反鐵磁耦合的電子自旋,它們就是構(gòu)建量子通道的物理比特.(b) Werner 態(tài)的隱形傳輸原理圖.黑色小球(1,2)表示產(chǎn)生Werner 態(tài)的物理比特.量子通道的物理比特分別由兩個(gè)尺寸完全相同的SGNR 鋸齒端上的糾纏粒子對(duì)(3,5)和(4,6)承擔(dān)Fig.1.Schematic illustration of teleporting the Werner state via the graphene-based quantum channels under the dephasing environment:(a) Lattice geometry of the special graphene nanoribbon (SGNR) used to form quantum channels.The ribbon length (L) and width (W) are characterized by the number of hexagons along the armchair and zigzag direction,respectively.The red and blue particles denote a pair of spins with the antiferromagnetic coupling,which serve as physical qubits to support quantum channels.(b) Schematic illustration of teleporting the Werner state.The black particles (1,2) are physical qubits used to prepare the Werner state.The physical qubits of quantum channels are supported by two pairs of the entangled spins(3,5) and (4,6) in two same SGNRs,respectively.

其中σL(R)表示作用在左(右)鋸齒端有效自旋粒子上的泡利算符,它的3 個(gè)分量分別由表示,Jt*2/U*表示這兩個(gè)自旋粒子間的反鐵磁耦合系數(shù).這里t*≈1.29 e-L/1.86eV表示電子從一個(gè)鋸齒端跳躍到另外一個(gè)鋸齒端所需的能量,U*≈0.1U表示電子之間有效庫(kù)侖排斥勢(shì).當(dāng)系統(tǒng)處于絕對(duì)溫度為T(mén)的熱平衡態(tài)時(shí),密度算符ρT為

其中,β1/(kBT),kB為玻爾茲曼常數(shù),ZTr[exp(-βH0)]為該系統(tǒng)的配分函數(shù).在標(biāo)準(zhǔn)基組{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,(2)式可以表示為

這里η是與自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)相關(guān)的參數(shù),表達(dá)式為

其中U表示電子間的庫(kù)侖排斥勢(shì).于是,(3)式用自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)c可簡(jiǎn)化為

利用共生糾纏度Concurrence 可以對(duì)任意一個(gè)兩體量子態(tài)ρ中的量子糾纏進(jìn)行度量,其定義為[45]

其中λk(k=1,2,3,4)是算符Rρ(σy ?σy)×ρ*(σy ?σy)本征值的方根,且滿(mǎn)足λ1≥λ2≥λ3≥λ4,ρ*是ρ的復(fù)共軛.通過(guò)計(jì)算,得到熱平衡態(tài)ρT的糾纏度為

由于SGNR 兩鋸齒端上的自旋粒子間呈反鐵磁耦合,所以自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)滿(mǎn)足-1 ≤c≤0.根據(jù)(8)式可得,當(dāng)-1 ≤c＜-1/3 時(shí),一定有CT0 .因此,對(duì)于給定的排斥勢(shì)U,只要外界溫度不高于臨界值

那么SGNR 兩鋸齒端上的自旋粒子間就一定存在量子糾纏CT.例如,對(duì)于寬度W=3 長(zhǎng)度L=10 的SGNR,當(dāng)溫度T5 K,U3 eV 時(shí),將(4)式和(5)式代入(8)式計(jì)算可得兩自旋粒子間的糾纏度為CT≈0.9293 .因此可以利用該糾纏粒子對(duì)作為量子通道去實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的隱形傳輸.在后續(xù)的討論中固定選擇寬度W=3 長(zhǎng)度L=10 的兩條SGNR 來(lái)構(gòu)建量子通道.以Werner 態(tài)作為輸入態(tài)來(lái)考察該量子通道的性能.Werner 態(tài)的一般形式為[46]ρin(1-b)I+b|Ψ-〉〈Ψ-|,其中|Ψ-〉(|01〉-|10〉)/b∈[0,1].在標(biāo)準(zhǔn)基組{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,Werner 態(tài)可以表示為

Werner 態(tài)的傳輸原理如圖1(b)所示.假設(shè)Alice 要將一個(gè)未知的Werner 態(tài)發(fā)送給Bob,首先Alice 對(duì)A1和A2處的量子比特(1,3)和(2,4)進(jìn)行聯(lián)合貝爾基測(cè)量,結(jié)果將等概率地得到表1中16 個(gè)態(tài)中的一個(gè).標(biāo)準(zhǔn)的貝爾基為E0|Ψ-〉〈Ψ-|,E1|Φ-〉〈Φ-|,E2|Φ+〉〈Φ+|,E3|Ψ+〉〈Ψ+|,其中,|Ψ±〉(|01〉±|10〉)/,|Φ±〉(|00〉±|11〉)/然后,Alice 將測(cè)量結(jié)果通過(guò)經(jīng)典通道(如打電話(huà)、發(fā)郵件等方式)告訴Bob.最后,Bob根據(jù)Alice 的測(cè)量結(jié)果分別對(duì)B1和B2處的量子比特(5,6)進(jìn)行相應(yīng)的幺正操作(見(jiàn)表1),如I|0〉〈0|+|1〉〈1|,σx|0〉〈1|+|1〉〈0|,σyi|1〉〈0|-i|0〉〈1|,σz|0〉〈0|-|1〉〈1|,就能復(fù)原Werner 態(tài).從整體效果來(lái)看,Werner 態(tài)會(huì)在量子比特1和2 上消失,最后在量子比特5和6 上出現(xiàn).以上就是實(shí)現(xiàn)兩體量子態(tài)隱形傳輸?shù)幕痉桨?而在實(shí)際操作過(guò)程中由于環(huán)境的影響經(jīng)常導(dǎo)致量子退相干現(xiàn)象的發(fā)生,這會(huì)對(duì)量子通道帶來(lái)極大的影響.常見(jiàn)的退相干環(huán)境下的量子通道有振幅阻尼通道,退相位通道和退極化通道[47].本文主要考察退相位環(huán)境對(duì)SGNR 量子通道的影響.

表1 Alice 執(zhí)行聯(lián)合貝爾基測(cè)量所得的16 種可能結(jié)果與對(duì)應(yīng)每種測(cè)量結(jié)果Bob 為復(fù)原Werner態(tài)所執(zhí)行的幺正操作Table 1.Sixteen possible results of joint Bell-state measurements performed by Alice and the unitary operations performed by Bob according to each measurement result for restoring the Werner state.

3 結(jié)果與討論

假設(shè)SGNR 鋸齒端上的兩自旋粒子各自分別與退相位環(huán)境作用.在這樣的一個(gè)集體退相位環(huán)境下,量子態(tài)ρT將演化為

在退相位量子通道下,最終的輸出態(tài)為[48]

其中,σ0I,σ1σx,σ2σy,σ3σz,E0|Ψ-〉〈Ψ-|,E1|Φ-〉〈Φ-|,E2|Φ+〉〈Φ+|,E3|Ψ+〉〈Ψ+|,|Ψ±〉(|01〉±|10〉)/,|Φ±〉(|00〉±|11〉)/在標(biāo)準(zhǔn)基組{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,(13)式可以進(jìn)一步表示為

為了檢驗(yàn)輸出態(tài)的品質(zhì),需要計(jì)算保真度,其定義為[49]

其中ρin和ρout分別表示輸入態(tài)和輸出態(tài)的密度矩陣.將(10)式和(14)式代入(17)式,最終計(jì)算得到下面通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)具體討論退相位環(huán)境對(duì)SGNR 量子通道的影響.圖2 給出的是退相位環(huán)境下通道態(tài)的糾纏度隨溫度T和出錯(cuò)概率p的變化.從可以看出,對(duì)于給定的庫(kù)侖排斥勢(shì)U,在低溫且p比較小(即演化時(shí)間比較短)的條件下,通道態(tài)的糾纏度幾乎趨近于最大值1;當(dāng)溫度T升高時(shí),快速衰減,最終當(dāng)溫度達(dá)到某一確定值Tc時(shí)衰減為零;隨著p的增大,不斷衰減,最終在p=1 處衰減為零;通過(guò)比較圖2(a)—圖2(d)發(fā)現(xiàn),對(duì)于給定的p,糾纏消失的臨界溫度Tc會(huì)隨著U的增大而減小;當(dāng)p=0 時(shí),Tc的變化由(9)式?jīng)Q定.為了進(jìn)一步考察U對(duì)量子通道的影響,計(jì)算了隨U和p的變化,結(jié)果如圖3 所示.當(dāng)T=0 K 時(shí),如圖3(a)所示,隨著p逐漸衰減,但其完全不受U的影響.通過(guò)計(jì)算絕對(duì)零度下的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù),得到c-1,于是由(15)式可得(1-p)2,這就解釋了圖3(a)的結(jié)果.當(dāng)T=5 K 時(shí),從圖3(b)可以看出,隨著U的增大而減弱.當(dāng)溫度進(jìn)一步升高時(shí),通過(guò)與圖3(c)和圖3(d)的比較發(fā)現(xiàn):溫度越高,隨U的衰減就越劇烈.這是因?yàn)楫?dāng)T和U增大時(shí),由(5)式可知η在不斷減小,于是由(4)式可知自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)c在不斷增大.根據(jù)(15)式,對(duì)于給定的p,是關(guān)于c的單調(diào)遞減函數(shù),因此高溫和強(qiáng)庫(kù)侖排斥勢(shì)對(duì)有著非常強(qiáng)的抑制作用.這也就意味著,在實(shí)際量子通信過(guò)程中,要盡量降低溫度或者減弱庫(kù)侖排斥勢(shì),這樣才能使量子通道處在比較理想的狀態(tài).

圖2 退相位環(huán)境下通道態(tài) 的糾纏度 隨溫度T和出錯(cuò)概率p 的變化 (a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eVFig.2.Concurrence for the channel state in the dephasing environment as a function of temperature T and probability p:(a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eV.

圖3 退相位環(huán)境下通道態(tài) 的糾纏度 隨庫(kù)侖排斥勢(shì)U和出錯(cuò)概率p 的變化 (a) T=0 K,(b) T=5 K,(c) T=10 K,(d) T=15 KFig.3.Concurrence for the channel state in the dephasing environment as a function of Coulomb repulsion U and probability p:(a) T=0 K;(b) T=5 K;(c) T=10 K;(d) T=15 K.

在退相位環(huán)境下Werner 態(tài)經(jīng)量子和經(jīng)典通道的傳輸,最終得到的輸出態(tài)的糾纏度隨參數(shù)b和出錯(cuò)概率p的變化如圖4 所示.對(duì)于Werner態(tài),當(dāng) 0≤b≤1/3 時(shí),結(jié)合(7)式與(10)式可得C(ρin)0,而當(dāng) 1/3＜b≤1時(shí),C(ρin)(3b-1)/2 .顯然,輸入態(tài)的糾纏度是關(guān)于b的單調(diào)遞增函數(shù).從圖4(a)可以看出,當(dāng)T=5 K,U=3.5 eV 時(shí),隨著b的增大而增大,隨著p的增大而不斷衰減;只有當(dāng)輸入態(tài)的糾纏比較魯棒且演化時(shí)間比較短的情況下才有較為顯著的糾纏輸出.當(dāng)T=5 K,U=6.0 eV 時(shí),如圖4(b)所示,被進(jìn)一步削弱.當(dāng)T=10 K,U=3.5 eV 時(shí),只有在b=1 且p=0 附近才有微弱的糾纏輸出,見(jiàn)圖4(c).當(dāng)T=10 K,U=6.0 eV 時(shí),如圖4(d)所示,輸出糾纏0,即在此條件下無(wú)法完成糾纏態(tài)的傳輸,原因是此時(shí)量子通道中已經(jīng)沒(méi)了糾纏資源.

圖4 退相位環(huán)境下輸出態(tài) 的糾纏度 隨參數(shù)b和出錯(cuò)概率p 的變化 (a) T=5 K,U=3.5 eV;(b) T=5 K,U=6.0 eV;(c) T=10 K,U=3.5 eV;(d) T=10 K,U=6.0 eVFig.4.Concurrence for the output state under the dephasing channel as a function of parameter b and probability p:(a) T=5 K and U=3.5 eV;(b) T=5 K and U=6.0 eV;(c) T=10 K and U=3.5 eV;(d) T=10 K and U=6.0 eV.

圖5 退相位環(huán)境下輸出態(tài) 的保真度 F(ρin,) 隨參數(shù)b和出錯(cuò)概率p 的變化 (a) T=5 K,U=3.5 eV;(b) T=5 K,U=6.0 eV;(c) T=10 K,U=3.5 eV;(d) T=10 K,U=6.0 eV.Fig.5.Fidelity F(ρin,)for the output state under the dephasing channel as a function of parameter b and probability p:(a) T=5 K and U=3.5 eV;(b) T=5 K and U=6.0 eV;(c) T=10 K and U=3.5 eV;(d) T=10 K and U=6.0 eV.

為了更加客觀地反映SGNR 量子通道的傳輸質(zhì)量,計(jì)算了在此通道下傳輸一個(gè)任意Werner 態(tài)的平均保真度

圖6 退相位環(huán)境下輸出態(tài) 的平均保真度 FA(ρin,) 隨出錯(cuò)概率p和溫度T 的變化 (a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eV.Fig.6.Average fidelity FA(ρin,) of the output state under the dephasing channel as a function of probability p and temperature T:(a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eV.

圖7 退相位環(huán)境下輸出態(tài) 的平均保真度 FA(ρin,) 隨出錯(cuò)概率p和庫(kù)侖排斥勢(shì)U 的變化 (a) T=0 K;(b) T=5 K;(c) T=10 K;(d) T=15 KFig.7.Average fidelity FA(ρin,) of the output state under the dephasing channel as a function of probability p and Coulomb repulsion U:(a) T=0 K;(b) T=5 K;(c) T=10 K;(d) T=15 K,respectively.

4 結(jié)論

本文研究了退相位環(huán)境下Werner 態(tài)在SGNR量子通道中的隱形傳輸.結(jié)果表明,輸出態(tài)的糾纏度和保真度對(duì)量子通道中的糾纏資源以及輸入態(tài)的糾纏度有很強(qiáng)的依賴(lài)性.對(duì)于給定的輸入態(tài),量子通道中的糾纏越大,輸出態(tài)的品質(zhì)就越高;對(duì)于給定的量子通道,輸出態(tài)的糾纏度總是隨著輸入態(tài)糾纏度的增大而增大,而相應(yīng)的保真度卻總是隨著輸入態(tài)糾纏度的增大而減小.由于受退相位環(huán)境的影響,量子通道中的糾纏資源會(huì)隨著時(shí)間演化而不斷損耗,高溫和強(qiáng)庫(kù)侖排斥勢(shì)會(huì)加劇這種損耗,從而導(dǎo)致輸出態(tài)的品質(zhì)下降.但是當(dāng)溫度小于40 K,且電子間的庫(kù)侖排斥勢(shì)小于6 eV 時(shí),輸出態(tài)的平均保真度總可以達(dá)到80%以上,且平均保真度在退相位環(huán)境中的衰減并不明顯.因此,SGNR 量子通道在退相位環(huán)境下有非常好的魯棒性.特別是對(duì)于低溫和微弱的排斥勢(shì),輸出態(tài)的平均保真度幾乎接近最大值1.以上結(jié)果充分說(shuō)明石墨烯材料在量子信息領(lǐng)域中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.