一種研究死區(qū)非線性對(duì)系統(tǒng)頻率特性影響的圖解方法

劉 鵬，李懷兵，楊超凡，陳 婷，劉 凱

(北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所， 北京 100076)

死區(qū)非線性廣泛存在于控制系統(tǒng)[1-3]，在電動(dòng)伺服系統(tǒng)中也經(jīng)常用死區(qū)非線性來描述傳動(dòng)間隙。死區(qū)非線性會(huì)影響控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度，并且會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性[4-7]。目前已有較多文獻(xiàn)研究死區(qū)非線性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[8-11]，但研究系統(tǒng)性能的影響因素的文獻(xiàn)較少。綜合運(yùn)用描述函數(shù)法，等M圓、等N圓，以電動(dòng)舵機(jī)為研究對(duì)象，通過一種圖解方法分析了死區(qū)非線性對(duì)控制系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的影響。

1 電動(dòng)伺服系統(tǒng)

1.1 電動(dòng)伺服系統(tǒng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)

圖1為典型的驅(qū)動(dòng)飛行器舵片的電動(dòng)舵機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖。其運(yùn)動(dòng)傳遞過程為：電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)通過齒輪副傳遞給滾珠絲杠副，絲杠螺母上安裝有線位移傳感器，將位置信號(hào)反饋給控制器，形成閉環(huán)控制。此外，絲杠螺母通過銷軸與搖臂和連桿連接，通過舵軸最終驅(qū)動(dòng)舵片偏轉(zhuǎn)，絲杠螺母到舵片的傳遞過程沒有進(jìn)入閉環(huán)回路，屬于開環(huán)控制，但是可以通過負(fù)載效應(yīng)影響到閉環(huán)性能。

圖1 電動(dòng)舵機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖

在閉環(huán)回路中，電機(jī)一般通過圓柱銷或平鍵與主動(dòng)齒輪連接，從動(dòng)齒輪一般通過平鍵與滾珠絲杠連接，圓柱銷一般為過盈配合，平鍵一般采用雙鍵，可有效消除間隙。滾珠絲杠副一般通過增大鋼球消除間隙。所以在閉環(huán)回路內(nèi)部，傳動(dòng)間隙主要存在于齒輪副中。

在閉環(huán)回路外部，由于搖臂和連桿必須要相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，銷軸與銷軸孔的配合需要有一定間隙，此傳動(dòng)間隙屬于閉環(huán)外間隙，在本文中稱為負(fù)載間隙。

1.2 電動(dòng)伺服系統(tǒng)中傳動(dòng)間隙的數(shù)學(xué)模型

圖2為用死區(qū)模型模擬間隙的齒輪傳動(dòng)數(shù)學(xué)模型，在該模型中，死區(qū)寬度代表齒輪間隙值，模型中各參數(shù)含義如下：K剛度為齒輪嚙合剛度；i齒輪為齒輪減速比；JT為從動(dòng)部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；fT為從動(dòng)部分粘性阻尼系數(shù)；KT為負(fù)載力矩系數(shù)。

圖2 齒輪傳動(dòng)數(shù)學(xué)模型示意圖

圖3為用死區(qū)模型模擬間隙的連桿搖臂機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在該模型中，輸入為電動(dòng)舵機(jī)中絲杠螺母的伸縮量，輸出為舵片轉(zhuǎn)動(dòng)角度，死區(qū)寬度代表銷軸與銷孔的間隙值，模型中各參數(shù)含義如下：KW為負(fù)載等效剛度；L力臂為搖臂力臂長(zhǎng)度；JW為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；fW為負(fù)載粘性力矩系數(shù)；K弧角為弧度角度轉(zhuǎn)化系數(shù)；K角線=L力臂/K弧角，將舵片轉(zhuǎn)角折合為絲杠螺母伸縮量系數(shù)；i為負(fù)載到電機(jī)的總減速比；KT為負(fù)載力矩系數(shù)。

圖3 連桿搖臂機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型示意圖

將上述模型放到系統(tǒng)中，可得到考慮間隙的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

2 負(fù)載間隙對(duì)伺服系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的影響

只考慮負(fù)載間隙，不考慮閉環(huán)回路內(nèi)的齒輪間隙，可得伺服系統(tǒng)模型，如圖4所示。模型中參數(shù)定義如下：P為比例系數(shù)；U為供電電壓；L為電機(jī)等效電感；R為電機(jī)等效電阻；Cm為電機(jī)力矩系數(shù)；Ce為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；fd為電機(jī)粘性力矩系數(shù)；Jd為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；i齒輪為齒輪的減速比；i絲杠為絲杠的減速比；K線角為作動(dòng)桿伸出長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為舵軸轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

按圖4模型進(jìn)行仿真，以控制角度為輸入，輸入信號(hào)為r=1°sin(ωt)，舵片轉(zhuǎn)角為輸出，負(fù)載間隙值分別取0、0.05、0.1 mm，求解不同頻率響應(yīng)的幅值和相位[12]，系統(tǒng)的幅頻特性及相頻特性如圖5所示。典型頻率下的幅頻數(shù)值見表1，相頻數(shù)值見表2。

圖4 考慮負(fù)載間隙的伺服系統(tǒng)模型示意圖

表1 幅頻特性

表2 相頻特性

從仿真結(jié)果看，隨著間隙的增大，在低頻處，幅值會(huì)衰減，但隨著頻率的升高，幅值反而會(huì)增加；隨著間隙的增大，相位變化不大。為何會(huì)出現(xiàn)這種情況，傳動(dòng)間隙是如何對(duì)系統(tǒng)頻率特性造成影響的，可用圖5中的圖解方法進(jìn)行探究。

圖5 不同負(fù)載間隙下系統(tǒng)閉環(huán)bode圖

按描述函數(shù)的理論[13-15]，非線性環(huán)節(jié)可以看成一個(gè)變?cè)鲆娴沫h(huán)節(jié)，其增益值與輸入幅值有關(guān)。按如下思路分析負(fù)載間隙對(duì)頻率特性的影響：① 對(duì)系統(tǒng)等效變換以便于分析，為能通過開環(huán)頻率特性得出閉環(huán)頻率特性，需將研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為單位負(fù)反饋系統(tǒng)；② 計(jì)算系統(tǒng)在不同頻率下非線性環(huán)節(jié)等效的增益值N(A)；③ 將不同的N(A)代入單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，得到含間隙的開環(huán)傳遞函數(shù)；④ 通過等M圓可以在單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線上直觀地讀出間隙對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)幅值特性的影響，通過等N圓可以直觀地讀出間隙對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)相位特性的影響。

按上述理論進(jìn)行分析，先對(duì)模型進(jìn)行等效變換，將死區(qū)環(huán)節(jié)替換為一個(gè)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)N(A)，由于負(fù)載部分與舵機(jī)部分通過力的傳遞而產(chǎn)生耦合關(guān)系，通過移動(dòng)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，將負(fù)載部分和舵機(jī)部分解除耦合關(guān)系，如圖6所示。從圖中可以看出，對(duì)于舵機(jī)部分而言，N(A)只會(huì)影響其內(nèi)部回路的反饋系數(shù)，因此，認(rèn)為N(A)對(duì)舵機(jī)部分頻率特性影響較小。

圖6 模型等效變換結(jié)果

圖6模型等效變換結(jié)果用圖4所示模型進(jìn)行仿真，以控制角度為輸入，線位移傳感器作為輸出，分別計(jì)算不同間隙的線位移輸出。從圖7中可以看出，不同間隙值下，線位移幅頻和相頻曲線基本重合。因此，可以只研究負(fù)載部分。

圖7 不同負(fù)載間隙下系統(tǒng)線位移傳感器輸出bode曲線

為使用等M圓、等N圓進(jìn)行研究，將負(fù)載部分等效變換為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，如圖6所示。由于單位負(fù)反饋回路與其他回路是串聯(lián)關(guān)系，間隙環(huán)節(jié)只對(duì)單位負(fù)反饋回路有影響，所以，間隙對(duì)系統(tǒng)的影響可以簡(jiǎn)化為間隙對(duì)單位負(fù)反饋回路的影響。

2.1 單位負(fù)反饋回路開環(huán)幅相曲線

如圖6所示，單位負(fù)反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(1)

死區(qū)環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為：

A≥Δ

式中：A為輸入信號(hào)幅值；2Δ為死區(qū)寬度。從公式中可以看出，N(A)不含虛部且值恒小于1。

計(jì)算死區(qū)環(huán)節(jié)的等效增益N(A)的取值有2種方法：① 計(jì)算處死區(qū)環(huán)節(jié)的輸入值，然后代入描述函數(shù)公式得到N(A)；② 分別對(duì)死區(qū)輸出和輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)字傅立葉變換，幅值相除，即可得N(A)值?，F(xiàn)采用第2種方法。表3為不同間隙、不同頻率下，計(jì)算出的N(A)值。

表3 不同頻率、不同間隙下的N(A)值

當(dāng)N(A)=1時(shí)，得到無間隙時(shí)的開環(huán)幅相特性及開環(huán)幅相特性曲線。將不同間隙之下，不同頻率處的N(A)值代入式(1)，得到其開環(huán)幅相特性，畫在復(fù)平面上就可以得到不同間隙下的開環(huán)幅相曲線，如圖8所示。

圖8 不同間隙值下的開環(huán)幅相曲線

由于將N(A)視為一個(gè)小于1的純比例環(huán)節(jié)，不影響相位，因此將各頻率下幅相特性在復(fù)平面上的點(diǎn)與原點(diǎn)連接起來形成一條直線，當(dāng)N(A)變化時(shí)，同一頻率的幅相特性將在該直線上移動(dòng)，死區(qū)環(huán)節(jié)的效果是使各頻率對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上沿直線向原點(diǎn)移動(dòng)。

2.2 系統(tǒng)閉環(huán)幅值特性

對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，通過等M圓可以直接在開環(huán)幅相曲線上讀出閉環(huán)幅值特性。等M圓軌跡是一簇圓公式：

(2)

式中，M為系統(tǒng)閉環(huán)幅值特性。當(dāng)M=1(0 dB)時(shí)，它是通過(-1/2，0j)點(diǎn)、平行于虛軸的一條直線。

當(dāng)M>1(0 dB)時(shí)，隨著M值的增大，等M圓半徑越來越小，最后收斂于(-1，0j)點(diǎn)，且這些圓均在M=1(0 dB)直線的左側(cè)；

當(dāng)M<1(0 dB)時(shí)，隨著M值的減小，等M圓的直徑越來越小，最后收斂于原點(diǎn)，且這些圓均在M=1(0 dB)直線的右側(cè)。

將等M圓畫在上一節(jié)的開環(huán)幅相曲線中，如圖9所示，從圖中可以直接讀出不同間隙下，單位負(fù)反饋環(huán)節(jié)各頻點(diǎn)的閉環(huán)幅值。由于w=1～100 rad/s開環(huán)幅相曲線位于等M圓0 dB線右側(cè)，因此隨著N(A)值的變小，閉環(huán)幅值也變??；w=150～200 rad/s開環(huán)幅相曲線位于等M圓0 dB線左側(cè)，隨著N(A)值的變小，閉環(huán)幅值增大，這與圖5及表1所示的仿真結(jié)果是一致的。

圖9 等M圓與開環(huán)幅相曲線

由于系統(tǒng)閉環(huán)幅值還需疊加其他部分，通過前文分析，其他部分不受間隙影響，因此，從圖中讀出單位負(fù)反饋的閉環(huán)幅值的相對(duì)變化量與整個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)幅值的相對(duì)變化量是一致的。以w=50 rad/s的頻點(diǎn)為例，如圖10所示，直虛線為系統(tǒng)在w=50 rad/s頻率下對(duì)應(yīng)的直線，虛線圓即為等M圓，等M圓有無數(shù)個(gè)，每個(gè)等M圓對(duì)應(yīng)一個(gè)閉環(huán)幅值。開環(huán)幅相曲線與頻率直線的交點(diǎn)會(huì)位于某個(gè)等M圓上，從該等M圓可直接讀出系統(tǒng)的閉環(huán)幅值。

在w=50 rad/s處，無間隙時(shí)，開環(huán)幅相曲線與-0.130 dB的等M圓相交，間隙為0.05 mm時(shí)，與-0.657 dB的等M圓相交，間隙為0.1 mm時(shí)，與-1.155 dB的等M圓相交。在不同間隙下，圖解法與仿真結(jié)果比較如表4所示。

圖10 等M圓與開環(huán)幅相曲線相交情況

表4 w=50 rad/s幅值相對(duì)變化量比較

從表4可以看出，圖解法與仿真結(jié)果趨勢(shì)一致，具體數(shù)值稍有差異。這是由于描述函數(shù)是一種近似方法，忽略了高次諧波的影響，在實(shí)際系統(tǒng)中，死區(qū)環(huán)節(jié)的輸入并非理想的正弦函數(shù)。若只需快速估計(jì)出死區(qū)非線性對(duì)系統(tǒng)影響，圖解法的精度是足夠的。

在等M圓上讀數(shù)時(shí)有以下特點(diǎn):

1)N(A)為純比例時(shí)，不同間隙，同樣頻率時(shí)，系統(tǒng)幅相特性在復(fù)平面上都在一條直線上。當(dāng)該直線穿過較多的圓，即等M圓越密集時(shí)，幅值變化較為劇烈，由于等M圓在無窮遠(yuǎn)處比較稀疏，在圓心處及靠近0 dB線處比較密集，因此當(dāng)直線靠近圓心和0 dB線時(shí)，幅值變化較大，即開環(huán)幅值大時(shí)，閉環(huán)幅值變化小，開環(huán)幅值小時(shí)，閉環(huán)幅值變化大。

2) 當(dāng)頻率對(duì)應(yīng)的直線趨近于等M圓的法線時(shí)，幅值變化較大。

3) 當(dāng)頻率對(duì)應(yīng)的直線趨近于等M圓的切線時(shí)，幅值變化較小。

上述特點(diǎn)對(duì)用等N圓讀取閉環(huán)相位時(shí)同樣適用。

2.3 系統(tǒng)閉環(huán)相位特性

對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，通過等N圓可以直接在開環(huán)幅相曲線上讀出閉環(huán)相位特性。

等N圓也為一簇圓。其方程為

(3)

式中,N=tanφ，φ為閉環(huán)頻率特性的相角。

將等N圓疊加到開環(huán)幅相曲線上，可以直接讀出閉環(huán)相位，如圖11所示。由于頻率對(duì)應(yīng)的直線趨于等N圓的切線方向，因此閉環(huán)相位特性變化不大，從圖5和表3的仿真結(jié)果也可以印證。

圖11 等N圓與開環(huán)幅相曲線

3 閉環(huán)內(nèi)間隙對(duì)伺服系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的影響

作為圖解法的應(yīng)用，分析閉環(huán)內(nèi)齒輪傳動(dòng)間隙對(duì)伺服系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的影響。圖12為考慮內(nèi)部間隙的伺服系統(tǒng)模型，化簡(jiǎn)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，如圖13所示。

取N(A)=1時(shí)，得到無間隙時(shí)開環(huán)幅相特性曲線，同時(shí)可得到每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的直線，如圖14。與圖7相比，每個(gè)頻率的開環(huán)幅值均大10倍以上，根據(jù)前文總結(jié)的圖解法讀圖特點(diǎn)，可知當(dāng)閉環(huán)內(nèi)間隙變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性變化不會(huì)很大。用圖12所示模型進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖15所示，不同間隙下系統(tǒng)閉環(huán)幅值和相位特性基本重合。

圖12 考慮內(nèi)部間隙的伺服系統(tǒng)模型示意圖

圖13 伺服系統(tǒng)模型等效化簡(jiǎn)結(jié)果

圖14 系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線

圖15 系統(tǒng)仿真結(jié)果曲線

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證仿真及分析結(jié)果，進(jìn)行了電動(dòng)伺服系統(tǒng)頻率測(cè)試試驗(yàn)。加工尺寸不同的銷軸，使配合間隙分別為0.05、0.1 mm，將伺服機(jī)構(gòu)安裝在負(fù)載臺(tái)上，試驗(yàn)結(jié)果如圖16所示，其幅值和相位變化趨勢(shì)與圖5的仿真結(jié)果一致。由于仿真模型中只考慮了負(fù)載間隙帶來的死區(qū)非線性而未考慮其他非線性環(huán)節(jié)，因而仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在一定差異。

圖16 試驗(yàn)結(jié)果曲線

5 結(jié)論

1) 通過等效變換將系統(tǒng)變換為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，通過等M圓、等N圓及線性部分的開環(huán)幅相曲線直觀地觀測(cè)到間隙對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。

2) 死區(qū)非線性對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的影響取決于不考慮死區(qū)環(huán)節(jié)時(shí)的線性部分，將各頻率下幅相特性在復(fù)平面上的點(diǎn)與原點(diǎn)連接起來形成一條直線，死區(qū)環(huán)節(jié)的效果是使各頻率對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上沿直線向原點(diǎn)移動(dòng)。

3) 從圖解法及仿真結(jié)果都可得出負(fù)載間隙比閉環(huán)內(nèi)的間隙對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)頻率的影響更大。