隧道圍巖中全長粘結式錨桿受力的非線性分析

趙寶華 金建偉 王光輝 黃明華 譚 鑫

(1.中鐵隧道勘察設計研究院有限公司，廣東 廣州 511458;2.廣東省隧道結構智能監(jiān)控與維護企業(yè)重點實驗室，廣東 廣州 511458;3.華杰工程咨詢有限公司，北京 100029;4.湖南大學土木工程學院，湖南 長沙 410082)

錨桿因具有支護效果好、施工便捷和經(jīng)濟等優(yōu)點，已被廣泛應用于礦山、水利和土木等行業(yè)的圍巖加固工程中[1-3]。針對隧道圍巖中全長粘結式錨桿的加固機理，長期以來國內(nèi)外諸多學者進行了較為系統(tǒng)研究。FREEMAN[4]通過觀測支護過程中的錨桿應力分布，提出了中性點、粘結(拉拔)段以及錨固段的概念;TAO等[5]建立了中性點位置的理論表達式;王成[6]從承壓拱的角度探討了隧道圍巖全長粘結式錨桿的設計計算理論;王超等[7]以錨固復合承載體為結構基礎，推導出錨桿支護巷道最小支護力和最大允許變形量的表達式;呂愛鐘等[8]采用復變函數(shù)方法分析了圍巖全長粘結式錨桿的受力特性;通過定義變形剪應力和拉拔剪應力，LI等[9]以及姚顯春等[10]將隧道圍巖全長粘結式錨桿的加固區(qū)域劃分為變形區(qū)、過渡區(qū)和穩(wěn)定區(qū)，并給出了每個區(qū)域的界面剪應力表達式。上述研究為隧道圍巖全長粘結式錨桿受力分析提供了有益參考，但均認為錨桿與圍巖之間滿足位移協(xié)調條件，未能有效考慮二者相對位移即界面剪切位移的影響。對此，蔡躍等[11-12]從剪滯理論出發(fā)，嚴格推導了隧道圍巖全長粘結式錨桿錨固區(qū)段的線性界面模型，并給出了其受力特性分析的解析解，但沒有考慮界面剪切剛度變化和剪切強度的影響。對此，已有學者[13-14]通過引入二折線型或三折線型等分段線性界面模型來研究隧道圍巖全長粘結式錨桿的加固機理和受力特性，進一步考慮界面剪切剛度變化和剪切強度的影響。然而，線性或分段線性界面模型雖然便于獲得隧道圍巖全長粘結式錨桿受力的解析解，但卻沒有合理地刻畫錨固界面剪切變形作用的非線性特性[15-17]，即界面剪應力與剪切位移的非線性關系。

綜上分析可知:已有研究大多采用線性或分段線性界面模型分析隧道圍巖全長粘結式錨桿的受力特性，對于非線性界面模型的應用較少。為進一步開展隧道圍巖全長粘結式錨桿的受力分析，本研究引入雙曲正切函數(shù)來建立錨固界面剪應力與剪切位移的非線性模型，推導圍巖變形作用下的全長粘結式錨桿荷載傳遞的非線性微分方程，并結合有限差分方法和Newton迭代公式給出錨桿軸力及界面剪應力的計算方法。在此基礎上，結合典型隧道工程的錨桿實測結果，對圍巖變形作用下的全長粘結式錨桿的受力特性及其影響因素進行分析，以期為隧道圍巖錨桿設計和受力狀態(tài)評價提供參考。

1 錨桿受力分析模型與荷載傳遞微分方程

1.1 隧道圍巖錨桿受力分析模型

典型圓形隧道圍巖中全長粘結式錨桿的布設情況如圖1(a)所示，其中，r0為隧洞半徑，r為隧洞徑向坐標，ω為相鄰錨桿之間的夾角，θ為所求點和洞心連線與水平方向的夾角。為建立錨桿的荷載傳遞微分方程，取錨桿桿體的微單元進行受力分析，如圖1(b)所示。

圖1 隧道圍巖中全長粘結式錨桿及其受力示意Fig.1 Schematic of full-length bond bolt and its stress in tunnel surrounding rock

假定錨桿軸力和界面剪應力均以圖1(b)中箭頭所示方向為正，則根據(jù)錨桿桿體微單元的受力平衡條件，可得到

式中，P(r)和τ(r)分別為錨桿軸力和界面剪應力;Db為錨桿直徑。

假設錨桿處于彈性狀態(tài)，則有

式中，Eb和Ab分別為錨桿的彈性模量和橫截面積;εb(r)為錨桿的軸向應變;ub(r)為錨桿的軸向位移，以向隧道內(nèi)部為正，與徑向坐標軸正向相反。

將式(2)代入式(1)中，整理得到

式(3)即為隧道圍巖中全長粘結式錨桿荷載傳遞的基本方程，其關鍵在于確立ub(r)與τ(r)之間的函數(shù)關系，即建立界面層所傳遞的剪應力與對應剪切位移之間的關系。本研究定義界面層的剪切位移等于錨桿軸向位移與對應圍巖徑向位移之差，即

式中，s(r)為界面層的剪切位移;ur(r)為錨桿安裝后圍巖的徑向位移。

1.2 錨固界面的雙曲正切函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型[18]起初用于描述土體固結變形隨時間的發(fā)展過程，之后被借鑒用于描述巖土體中界面層剪應力與剪切位移之間的非線性關系，但其要求剪切位移大于0，故不能直接用于描述圍巖變形作用下的錨固界面剪應力與剪切位移的關系。鑒于此，本研究對指數(shù)函數(shù)模型進行改進，建立了界面剪應力與剪切位移關系的雙曲正切函數(shù)模型

式中，?為界面層剪切剛度系數(shù)，;k0為界面層的初始剪切剛度;τu為界面層的剪切強度;s為剪切位移。k0值可結合圍巖和注漿體的剪切剛度[13，15]進行計算:

式中，kr為圍巖的剪切剛度，硬巖一般取 5～10 GPa/m，軟巖一般取1.5～3.0 GPa/m;km為注漿體的剪切剛度，與注漿體厚度和密實度等因素有關，可由下式進行計算:

式中，Gm為注漿體的剪切模量;rb為錨桿半徑;t為注漿體厚度。

τu一般滿足Mohr-Coulomb屈服條件，即[13]

式中，cm和φm分別為界面的黏聚力和內(nèi)摩擦角，與注漿體厚度、密實度等因素有關;σm為錨固界面受到的法向壓力，主要與圍巖應力、注漿壓力等因素有關。

雙曲正切函數(shù)模型所刻畫的界面層剪應力與剪切位移的關系曲線如圖2所示。作為對比，圖中對應給出了理想彈塑性模型所刻畫的界面層剪應力與剪切位移關系曲線?？梢钥闯?，理想彈塑性模型采用分段線性函數(shù)描述剪應力與剪切位移的關系，其中s0為最大彈性剪切位移;雙曲正切函數(shù)模型則采用單一函數(shù)曲線描述剪應力與剪切位移的關系。隨著界面剪切位移增大，界面剪應力逐漸增大，并最終趨于界面剪切強度，界面剪切剛度逐漸減小至0。

圖2 剪應力與剪切位移關系曲線Fig.2 Relation curves between shear stress and interfacial slip

1.3 錨桿荷載傳遞非線性微分方程

將式(3)中的界面剪應力項τ(r)用式(5)進行代替，得到:

對式(9)兩端求一次導，得到:

聯(lián)立(9)和(10)兩式，并利用式(2)和式(4)，整理得到:

式中，εr(r)為錨桿安裝后圍巖的徑向應變。

錨桿安裝后，圍巖受到初始地應力與錨桿約束力共同作用，所產(chǎn)生的圍巖徑向應變εr(r)為

式中，σr(r)為圍巖徑向應力;Er為圍巖彈性模量;Lz為錨桿沿隧洞縱向的布設間距;ω為相鄰錨桿之間的夾角;εini(r)和uini(r)分別為錨桿安裝后，由初始地應力所產(chǎn)生的圍巖徑向應變和位移，可用下式表示為[8]

式中，系數(shù)α1和α2計算公式為

式中，η為圍巖徑向位移釋放系數(shù);p0為圍巖初始地應力;λ為側壓力系數(shù);Gr和μr分別為圍巖剪切模量和泊松比。

將式(2)及式(12)至式(14)代入式(11)中，整理得到錨桿的荷載傳遞微分方程為

式中，A(r)、B(r)、C(r)和D(r)為與隧洞徑向坐標r相關的4個函數(shù)，表達式為

本研究僅考慮圍巖變形作用且假設錨桿端部不設置墊板，故方程的邊界條件可表示為

式中，r0為隧洞半徑;La為錨桿長度。

2 荷載傳遞方程迭代求解

2.1 錨桿荷載傳遞方程離散化

式(16)為非線性二階微分方程，直接求解存在較大困難。本研究首先基于有限差分方法對該非線性微分方程進行離散化，之后采用Newton迭代法對其進行迭代求解。沿錨桿長度方向將其離散為n段，即設置n+1個節(jié)點，節(jié)點編號依次為i=0，1，…，n，相鄰節(jié)點之間的距離為Δr。對于內(nèi)部節(jié)點i(1≤i≤(n-1))，本研究采用二階中心差分格式可將式(16)離散為

式中，Pi為錨桿在節(jié)點i處的軸力;Ai、Bi、Ci和Di分別為A(r)、B(r)、C(r)和D(r)在節(jié)點i處的取值。同時，根據(jù)邊界條件(式(18))可知

式中，P0為錨桿在r=r0處的軸力，Pn+1為錨桿在r=r0+La處的軸力。

考慮上述邊界條件，非線性有限差分格式可表示為一個n-1維的非線性系統(tǒng)即非線性方程組

式中，K為系數(shù)矩陣;B為常數(shù)向量;P為錨桿軸力向量;G(P)為P的函數(shù)向量，相應的表達式為

2.2 錨桿荷載傳遞方程迭代求解

令F(P)=K·P+G(P)+B，假定其一階偏導數(shù)存在，則其Jacobi矩陣為

式中，J(P)為F(P)的 Jacobi矩陣。設為非線性方程組F(P)=0即式(21)的近似解，則根據(jù)Newton迭代公式有下式成立:

本研究通過有限差分法離散及構建Newton迭代格式將錨桿荷載傳遞微分方程(式(16))轉化為非線性方程組(式(21))的迭代求解問題。具體實施步驟為:選取初始近似值P(0)代入式(25)中，可以求得一次近似值P(1);之后，將P(1)代入式(25)中，如此循環(huán)迭代計算，直至m次迭代后使得‖P(m+1)-P(m)‖＜ε為止，其中ε為誤差容許值。此時，P(m+1)為非線性方程組(式(21))的最終解，即錨桿軸力值。進一步由錨桿軸力值進行差分計算，可得出界面剪應力值。

3 算例與參數(shù)分析

3.1 算例分析與驗證

選取日本長崎Holland-Zaka隧道[12]作為工程實例進行分析，以驗證本研究建立的雙曲正切函數(shù)模型及錨桿受力特性計算方法的正確性和適用性。該工程主要參數(shù)為:隧道埋深和半徑分別為21 m和4.75 m，所受初始地應力為1 MPa，巖體彈性模量和泊松比分別為0.5 GPa和0.35，錨桿長度為4.0 m，沿隧道縱向和周向的布設間距分別為1.2 m和1.4 m，錨桿直徑為25.4 mm，彈性模量為210 GPa。該隧道錨桿軸力實測值如圖3(a)所示。借鑒文獻[12]的研究成果，錨固界面剪切強度取1.25 MPa。同時，結合錨桿軸力實測值，采用最優(yōu)化方法確定的錨固界面初始剪切剛度和圍巖徑向位移釋放系數(shù)分別為3.0 GPa和0.69。此外，考慮到沿錨桿軸向2.5 m以外的軸力測點實測值為0，即該范圍內(nèi)錨桿不受力?，F(xiàn)場試驗觀測表明[12]，錨固界面在該范圍內(nèi)因注漿壓力不足等因素出現(xiàn)了脫粘現(xiàn)象，不發(fā)揮作用，因此錨桿的計算長度分別取2.75 m和4.0 m。將上述參數(shù)代入本研究計算模型中，可得到錨桿軸力和界面剪應力的分布曲線，如圖3所示。

圖3 Holland-Zaka隧道錨桿軸力與界面剪應力分布Fig.3 Distributions of axial force and shear stress of rock bolt in Holland-Zaka tunnel

分析圖3可知:當錨桿計算長度取4.0 m時，錨桿軸力和界面剪應力計算值在沿錨桿軸向0～2 m范圍內(nèi)與實測值吻合得很好，而在沿錨桿軸向2～4 m范圍內(nèi)與實測值存在較為明顯的差異，其主要原因是沒有考慮錨桿遠離洞周一端的錨固界面脫粘現(xiàn)象。當錨桿計算長度取2.75 m時，即考慮上述錨固界面的脫粘現(xiàn)象后，錨桿軸力和界面剪應力計算值在沿錨桿軸向范圍內(nèi)均與實測值一致，從而驗證了本研究所建立的雙曲正切函數(shù)模型及錨桿受力特性計算方法的可行性。

3.2 參數(shù)分析與討論

在上述工程實例分析的基礎上，通過依次改變錨桿長度La、界面剪切強度k0和初始剪切剛度τu以及圍巖徑向位移釋放系數(shù)η的取值，對非線性界面模型下隧道圍巖中全長粘結式錨桿的受力特性展開分析。

3.2.1 錨桿長度對軸力和剪應力分布的影響

錨桿長度分別取為 1.0、2.0、3.0、4.0、5.0 m，計算得到的錨桿軸力及其界面剪應力分布曲線如圖4所示。

圖4 不同錨固長度下錨桿軸力與界面剪應力分布Fig.4 Distribution of axial force and shear stress of rock bolt with different lengths

分析圖4可知:不同長度條件下，錨桿長度對其軸力與界面剪應力的分布有較為顯著的影響。隨著錨桿長度增加，錨桿軸力及其界面剪應力分布逐漸向圍巖深部傳遞。當錨桿長度較小(如小于2.0 m)時，隨著錨桿長度增大，其軸力有較為明顯的增加，即此時增大錨桿長度可顯著提升錨桿對圍巖的錨固力，同時錨固界面中性點(剪應力值為0)位置也隨之向圍巖深處偏移;然而，當錨桿長度較大(如大于2.0 m)時，隨著錨桿長度增大，其最大軸力將逐漸趨于定值，不再增加，且錨固界面中性點位置也逐漸趨于穩(wěn)定。此時，在錨桿粘結段內(nèi)(隧道臨空面至中性點位置)的軸力與界面剪應力分布不再隨著錨桿長度的增加而變化，在錨桿錨固段內(nèi)(中性點位置至錨桿末端)的軸力與界面剪應力則隨著錨桿長度的增加而逐漸向圍巖深部傳遞，該區(qū)段前部所提供的界面剪應力則逐漸減小，即此時錨桿錨固力主要由界面層遠端所提供，其大小基本不變。由此可見，一定圍巖變形作用下，增加錨桿長度雖然可提高錨桿的錨固力，但其存在臨界值;超過臨界值后，增加錨桿長度雖然可將界面剪應力傳遞至圍巖深部，但其所提供的錨固力基本不變。

3.2.2 界面剪切強度對軸力和剪應力分布的影響

錨固界面剪切強度分別為 0.25、0.5、1.0、1.5、2.0MPa，計算得到的錨桿軸力及其界面剪應力分布曲線如圖5所示。由圖5可知:當錨固界面的剪切強度較小時，錨固界面剪應力在粘結段和錨固段內(nèi)均呈均勻分布，對應地，錨桿軸力呈三角形分布;隨著錨固界面剪切強度增加，錨桿軸力逐漸增大，即其提供的錨固力增加，錨固界面中性點位置逐漸向隧道臨空面一側移動，從而使得錨桿粘結段減小而錨固段增加，同時界面剪應力也逐漸向隧道臨空面和錨桿末端聚集轉移，而在錨固界面中間段很小，即此時錨桿錨固作用力主要由其遠端界面層提供，而中間段錨固界面的剪切強度尚未充分發(fā)揮作用。

圖5 不同界面剪切強度下錨桿軸力與界面剪應力分布Fig.5 Distribution of axial force and shear stress of rock bolt with different interfacial strengths

3.2.3 界面剪切剛度對軸力和剪應力分布的影響

錨固界面剪切剛度分別為 1、2、5、10、20 GPa，計算得到的錨桿軸力及其界面剪應力分布曲線如圖6所示。分析圖6可知:隨著錨固界面剪切剛度增加，錨桿軸力逐漸增大，界面剪應力逐漸向隧道臨空面和錨桿末端聚集轉移，中性點位置移向隧道臨空面一側。主要原因是:錨桿與隧道圍巖之間產(chǎn)生的剪切位移相同時，剪切剛度越大的錨固界面所能傳遞的剪應力越大，從而使得錨桿所能提供的錨固作用力也越大。實際工程中，宜采用壓力注漿等方式來提高注漿體的施工質量，以確保錨桿與圍巖之間的界面層能更有效地傳遞荷載。

圖6 不同界面剪切剛度下錨桿軸力與界面剪應力分布Fig.6 Distribution of axial force and shear stress of rock bolt with different interfacial stiffnesses

3.2.4 位移釋放系數(shù)對軸力和剪應力分布的影響

錨桿施工前，隧道圍巖已釋放位移的大小即位移釋放系數(shù)直接關系著錨桿的受力及其錨固效果。取圍巖徑向位移釋放系數(shù)分別為 0.1、0.3、0.5、0.7、0.9，計算得到錨桿軸力及其界面剪應力的分布曲線如圖7所示。

圖7 不同位移釋放系數(shù)下錨桿軸力與界面剪應力分布Fig.7 Distribution of axial force and shear stress of rock bolt with different released displacements

由圖7可知:圍巖位移釋放系數(shù)越小，錨桿軸力越大即其在支護后所提供的錨固力越大，同時錨固界面剪應力取值及其分布范圍也越大。因此，當圍巖位移釋放系數(shù)較小即錨桿支護施作較早時，應適當增加錨桿長度和直徑，以提高錨桿的承載能力。當圍巖位移釋放系數(shù)很大即圍巖已釋放大部分位移時，錨桿在支護后所提供的錨固力很小，難以對隧道圍巖形成有效的約束和支撐。在實際工程中，應根據(jù)隧道圍巖的穩(wěn)定狀態(tài)以及所需錨固力的大小，及時施作錨桿支護。

4 結 論

本研究基于錨固界面剪應力與剪切位移的雙曲正切函數(shù)模型，推導了圍巖變形作用下全長粘結式錨桿的荷載傳遞方程。采用有限差分方法和Newton迭代公式建立了錨桿受力特性計算方法，并利用典型隧道工程錨桿試驗實測結果驗證了計算方法的合理性。主要得到以下結論:

(1)雙曲正切函數(shù)模型采用單一函數(shù)曲線刻畫了界面剪應力與剪切位移的非線性關系。隨著界面剪切位移值增大，界面剪應力值逐漸增大，并最終趨于界面剪切強度，界面剪切剛度則逐漸減小至0。

(2)增加錨桿長度可提高其錨固力，但存在臨界值;超過臨界值后，錨桿錨固力基本不變;隨著界面剪切強度和剛度增加，錨桿錨固力逐漸增大，中性點位置逐漸移向臨空面，界面剪應力向臨空面和錨桿末端聚集;圍巖位移釋放系數(shù)越小，錨桿支護后所提供的錨固力越大。工程實踐中，應根據(jù)所需錨固力的大小，合理確定錨桿支護時機和長度。

(3)結合典型隧道工程錨桿實測結果，驗證了所建立界面模型與錨桿受力計算方法的可靠性。在合理選擇界面模型的基礎上，錨桿受力特性分析的關鍵在于有效確定錨固界面的力學特性參數(shù)取值，故今后需對其取值方法展開進一步研究。