短幅內(nèi)擺線型螺桿泵轉(zhuǎn)子逆向建模研究

畢達龍

（1.中國石油大慶油田有限責任公司采油工程研究院，黑龍 江大慶 163453；2.黑龍江省油氣藏增產(chǎn)增注重點實驗室，黑龍 江大慶 163453）

采油螺桿泵舉升技術(shù)采用密閉腔室連續(xù)螺旋運移原理，具有成本低，結(jié)構(gòu)簡單及安裝方便等優(yōu)點，適用于稠油舉升，目前已在國內(nèi)外得到廣泛應用[1-3]。采油螺桿泵主要由偏心螺桿（轉(zhuǎn)子）和帶有螺旋腔的泵體（定子）兩部分組成，在正常使用條件下，螺桿泵轉(zhuǎn)子表面的主要失效形式是磨損，磨損類型有磨粒磨損、磨蝕磨損和腐蝕磨損，其中磨粒磨損的作用更明顯[4-5]。定子與轉(zhuǎn)子固定接觸點是承受壓力最大的位置，所以磨蝕磨損最嚴重。通過對螺桿泵轉(zhuǎn)子磨損機理的研究，發(fā)現(xiàn)在轉(zhuǎn)子與定子之間的密封帶處，滑動速度最大，與定子的接觸應力最大，所以會在轉(zhuǎn)子表面形成一條螺旋形的磨損線，導致表面的鍍鉻層脫落[6-8]。在三元復合驅(qū)區(qū)塊，結(jié)垢嚴重，破壞轉(zhuǎn)子與定子之間的密封帶，加速轉(zhuǎn)子表面磨損。螺桿泵轉(zhuǎn)子磨損達到一定程度后，泵的承載能力下降，漏失量增加，容腔體積變小[9]。目前在大慶油田，螺桿泵檢泵作業(yè)后，更換下來的采油螺桿泵轉(zhuǎn)子，可以通過再制造修復工藝重復利用，主要工藝是采用超音速噴涂，再進行精磨成型[10]。精磨修復時需要明確轉(zhuǎn)子的外形線尺寸，以滿足螺桿泵過盈配合，達到螺桿泵本身的舉升能力。但是在設計和生產(chǎn)過程中，不公開螺桿泵的設計參數(shù)和加工誤差，因此確定轉(zhuǎn)子的具體設計參數(shù)成為研究的重點。目前油田采油應用的螺桿泵轉(zhuǎn)子主要分為普通內(nèi)擺線型和短幅內(nèi)擺線型兩種，普通內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子是短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子的特例，短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子具有普遍性[11-12]。因此本文以短幅內(nèi)擺線型采油螺桿泵轉(zhuǎn)子為研究對象，在其橫截面線型成形原理及建模研究的基礎(chǔ)上，通過測量特征點，結(jié)合幾何原理確定短幅內(nèi)擺線型采油螺桿泵轉(zhuǎn)子的設計參數(shù)，并總結(jié)出特征點的選取規(guī)律，指導各種采油螺桿泵轉(zhuǎn)子的逆向測量。

1 短幅內(nèi)擺線型采油螺桿泵轉(zhuǎn)子橫截面線型及建模研究

1.1 普通內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型

普通內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子骨線方程為[13]：

式中：Rr(θ,r) 為普通內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型復矢量；M為0～n 的自然數(shù)；α′為以尖點為圓心點圓弧的圓心角，rad，一般取值為π；r為等距半徑，mm。

1.2 短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型

短幅內(nèi)擺線型與普通內(nèi)擺線型的區(qū)別有兩點：①短幅系數(shù)K不為1.0，且0＜K＜1.0；②定子-轉(zhuǎn)子共軛曲線副的形成過程不同。短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型是用短幅內(nèi)擺線作定子骨線，定子骨線內(nèi)包絡的共軛曲線為轉(zhuǎn)子骨線，并以此骨線向外做等距曲線得到短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型。其方程為[13]：

1.3 短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子建模

短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型方程是在復平面i、j下的平面方程，現(xiàn)引入垂直于復平面的縱軸Z，線型方程（3）沿Z軸正方向在每一個復平面內(nèi)均旋轉(zhuǎn)角度φ之后，繪制可得到短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子模型（圖1）。則短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子模型方程為[13]：

圖1 短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子模型示意圖

式中：φ為短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型旋轉(zhuǎn)角，本文中取值為0～2π；ρrs(θ,r,φ)為平面內(nèi)不同角度的短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面線型復矢量；Z為橫截面垂直方向上的位置坐標；T為導程，mm。

2 短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子逆向研究

短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子的逆向研究主要為特征點的測量方法，其核心為特征點的選擇，要選取最少的點，利用特征點的坐標和各個點之間的幾何關(guān)系，通過數(shù)學計算對短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子進行逆向重構(gòu)。在逆向重構(gòu)過程中需要確定的參數(shù)包括滾圓半徑R2、等距半徑r、短幅系數(shù)K、導程T及轉(zhuǎn)子頭數(shù)N。其中轉(zhuǎn)子頭數(shù)N通過觀察即可確定，其他四個參數(shù)則需要由測量特征點的坐標計算得出。

2.1 等距半徑r 的計算

圖2 為三頭短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面示意圖，M00為原點，等距半徑r為一個頭的圓弧半徑，可由三個點來計算確定。隨機在每個頭的圓弧上各選取三個測量點，第一個頭上的測量點為M1、M2、M3，第二個頭和第三個頭上的測量點分別為M4、M5、M6，M7、M8、M9；如為多頭短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子，同理可依次選取其他頭上的測量點。

圖2 三頭短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面示意圖

通過第一個頭上的三個測量點坐標分別能計算出第一個頭的圓心點（M01）的坐標和第一個等距半徑r1，同理計算得出第二個頭的圓心點（M02）的坐標和等距半徑r2，第三個頭的圓心點（M03）的坐標和等距半徑r3。如為多頭短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子，同理可得到M04、r4，M05、r5…M0n、rn。

2.2 滾圓半徑R2的計算

應用式（1）繪出K取1.0、0.8、0.7 的骨線，用式（3）繪出K'取0.8、0.7 的骨線（圖3）。圖中細實線為根據(jù)式（1）繪制的短幅內(nèi)擺線骨線，虛線為根據(jù)式（3）繪制的短幅內(nèi)擺線骨線。通過對比相同短幅系數(shù)下二者的區(qū)別發(fā)現(xiàn)，除了線型不同外，根據(jù)式（3）繪制出的骨線，無論短幅系數(shù)為多少，其尖點都與普通內(nèi)擺線的尖點重合，而根據(jù)式（1）繪制出的骨線則不同，短幅系數(shù)越小交點位置越偏向內(nèi)側(cè)。在轉(zhuǎn)子短幅系數(shù)不為1.0 的情況下，轉(zhuǎn)子的骨線是由定子骨線以偏心距E為半徑，繞圓心自轉(zhuǎn)同時公轉(zhuǎn)形成的內(nèi)包絡線。這樣得到的短幅內(nèi)擺線在其他參數(shù)一樣的情況下，雖然短幅系數(shù)不同，但他們的尖點重合（表1）。

表1 尖點坐標

圖3 不同短幅系數(shù)內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面尖點位置示意圖

由此可以確定尖點到圓心的距離不變，即R不變，其中R為圓心點到一個尖點的距離。由圖（2）所示，R也是由尖點M01、M02、M03…M0n確定的圓半徑，通過M01、M02、M03…M0n坐標即可求得R。那么滾圓半徑R2可以通過短幅內(nèi)擺線的成形原理和尖點位置來計算：

以三頭短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子為例，則其滾圓半徑R2為：

2.3 短幅系數(shù)K 的計算

根據(jù)短幅系數(shù)的定義，即

式中：d為發(fā)生點到導圓圓心O'的距離，mm。

圖4 為短幅內(nèi)擺線型定子-轉(zhuǎn)子共軛副，短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子骨線的三個尖點分別為A、B、C，AF為轉(zhuǎn)子骨線的一條中線，交BC于F；DE為定子骨線的一條中線，交定子骨線于D、E，O'E即為d。根據(jù)定子與轉(zhuǎn)子共軛形成密閉腔室的原理，轉(zhuǎn)子由此位置逆時針繞圓心O旋轉(zhuǎn)，當A與D重合時，那么F和E也重合，此時短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子將定子分成對稱的兩個部分，此時可得到：

圖4 短幅內(nèi)擺線定子-轉(zhuǎn)子共軛副示意圖

故選取特征點測量，通過計算可得到AF的值（圖5）。

圖5 三頭短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子橫截面示意圖

式中：Kj為短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子頭數(shù)為奇數(shù)時的短幅系數(shù)；Ko為短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子頭數(shù)為偶數(shù)時的短幅系數(shù)。

2.4 導程T 的計算

根據(jù)短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子建模原理，導程T與螺距D有以下關(guān)系：

即導程T是螺距D的N倍（N為轉(zhuǎn)子頭數(shù)）。圖6 為短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子縱截面圖，在兩個波谷同一Z坐標方向分別選取兩點T1、T2和T3、T4。通過這四個點可知T12、T34這兩個點的Z軸方向坐標值，分別為ZT12，ZT34。那么短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子的一個螺距D為：

圖6 短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子縱截面圖

根據(jù)式（9）、（11）、（19）、（22），總結(jié)測量特征點的選取方法，可以確定短幅內(nèi)擺線型螺桿泵建模參數(shù)。

3 實驗驗證

根據(jù)前述理論，利用三坐標測量機對一個磨損嚴重的五頭螺桿鉆具轉(zhuǎn)子進行測量，驗證該理論。

圖7 為測量特征點實驗圖，任意選擇一個橫截面進行特征點的選擇和測量（圖8），特征點坐標值見表2。在實際測量中可采用多組測量以減少誤差。然后結(jié)合式（9）、（11）、（19）、（22），計算可得r、R2、K、T，并對比測量計算值與設計值（表3），測量計算值存在測量誤差，優(yōu)化取整后，所得到的數(shù)值與廠家所提供淘汰產(chǎn)品的設計值一致，證明了這種測量特征點方法的正確性及合理性。

表3 短幅內(nèi)擺線型轉(zhuǎn)子參數(shù)測量計算值與設計值對比

圖7 測量特征點實驗圖

圖8 短幅內(nèi)擺線型五頭螺桿鉆具轉(zhuǎn)子選取特征點示意圖

表2 測量特征點坐標值

4 結(jié)論

（1）在短幅內(nèi)擺線型螺桿泵轉(zhuǎn)子橫截面建模原理分析的基礎(chǔ)上，提出通過測量特征點來對短幅內(nèi)擺線型螺桿泵轉(zhuǎn)子逆向重構(gòu)建模研究；并總結(jié)測量特征點的選擇方法，通過特征點的坐標計算得到短幅內(nèi)擺線型螺桿泵轉(zhuǎn)子的重要參數(shù)。短幅系數(shù)是短幅內(nèi)擺線型螺桿泵轉(zhuǎn)子逆向重構(gòu)的核心參數(shù)，其測量方法是測量特征點計算中重要的方法，通過短幅內(nèi)擺線型定子-轉(zhuǎn)子共軛副的幾何關(guān)系總結(jié)出短幅系數(shù)計算公式。

（2）以五頭螺桿鉆具轉(zhuǎn)子為例，應用三坐標測量機對特征點測量方法進行實驗驗證，對比測量計算值與設計值結(jié)果一致，從而驗證了這種測量特征點方法的正確性及合理性。該方法可為螺桿類轉(zhuǎn)子的綠色再制造及螺桿類轉(zhuǎn)子加工方法和改進提供依據(jù)。