考慮剪切變形下基坑開挖引起下臥既有隧道的縱向變形研究

馮國輝，徐長節(jié)，鄭茗旺，薛文靜，楊開放，管凌霄

(1.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058；2.浙江大學 平衡建筑研究中心，浙江 杭州 310028；3.華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，江西 南昌 330013；4.江西省地下空間技術開發(fā)工程研究中心，江西 南昌 330013；5.華東交通大學 軌道交通基礎設施性能監(jiān)測與保障國家重點實驗室，江西 南昌 330013；6.浙江省交通投資集團有限公司，浙江 杭州 310014)

隨著社會經濟發(fā)展帶動城市空間的拓展，城市地鐵建設也越來越多，其安全性也越來越受人重視，其中有很多鄰近地鐵隧道的建筑施工工程對已建隧道產生影響。實際工程中，基坑開挖會引起下臥既有隧道隆起變形，并進一步會造成隧道管片開裂滲水的情況發(fā)生。

目前，國內外專家已深入研究基坑開挖對鄰近隧道的影響。分析方法大多分為三類：第一類離心機試驗方法，Huang等[1]采用離心機實驗的方法驗證了在軟土工況下，基坑開挖卸載的過程中會引起下臥既有隧道的隆起變形，Ng等[2]利用離心機模擬實驗驗證了在砂土地基中，基坑開挖會引起下臥既有隧道隆起變形，并且隨著開挖深度的增加隧道隆起的變形量也會增大；第二類[3-7]是采用大型商業(yè)有限元軟件分析緊鄰開挖卸載對既有隧道受力變形的影響；第三類是兩階段理論解析方法，該方法主要考慮到鄰近基坑開挖改變了隧道周圍土體的既有應力狀態(tài)，相當于在既有應力狀態(tài)下對既有隧道施加了向上的附加作用力，在附加作用力的作用下隧道發(fā)生相應的隆起變形。

現有的理論解析方法大部分是將既有隧道模擬成Euler-Bernoulli梁的兩階段分析法：第一階段是利用Mindlin解計算基坑開挖引起隧道軸線深度處附加應力；第二階段是附加應力施加在既有隧道上，從而獲得既有隧道變形響應。Zhang等[8]考慮基坑開挖引起的坑底及四周坑壁土體卸載作用在隧道軸線附加應力，采用Winkler地基模型并根據Galerkin計算方法獲得既有隧道縱向變形解析解。Liang等[9]先基于基坑坑底開挖卸載效應獲得隧道軸線處附加應力，后采用Pasternak地基模型和Euler-Bernoulli梁獲得隧道變形解析?？党傻萚10]采用非線性地基模型模擬隧道-土體之間相互作用，進一步獲得非線性Pasternak地基下既有隧道縱向變形解析解。Zhang等[11]基于非均質土體下基坑開挖引起鄰近管線附加應力，并采用Pasternak地基模型解析得到隧道縱向位移。Zhou等[12]考慮分部開挖下基坑坑底及坑四周卸載作用下在隧道軸線處的附加應力，利用Pasternak地基模型獲得隧道縱向變形的解析解。黃栩等[13]進一步采用三參數Kerr地基模型得到基坑開挖引起鄰近下臥隧道縱向變形的解析解，并與單參數Winkler地基模型和Pasternak地基模型進行對比，凸現出三參數地基模型的優(yōu)越性。

上述文獻均說明了基坑開挖會對鄰近隧道造成較大影響，但大多既有文獻均是將既有隧道簡化成Euler-Bernoulli梁(或稱無限長梁)。如圖1所示，Euler-Bernoulli梁理論僅考慮梁的縱向剛度忽略了梁的剪切剛度，使得梁變形前后梁截面仍然為平面且始終與中性軸保持垂直，由于僅考慮梁的縱向剛度，在數學理論上處理較為簡單，適合工程推廣。然而，地鐵隧道并非是連續(xù)整體結構，而是由許多管片和螺栓相互連接而成的復合結構物，這樣會導致每段管片與相鄰管片之間存在接頭處，而這接頭處剪切剛度明顯低于管片，這也是隧道容易發(fā)生災害的薄弱位置。為了解決梁在剪切作用下的變形問題，Timoshenko等[14]建立了兩個廣義位移的梁理論，稱為Timoshenko梁理論，對于Timoshenko梁，有少量文獻的報道。梁榮柱等[15-16]基于Timoshenko梁理論獲得基坑及隧道開挖引起鄰近隧道受力變形Winkler地基模型差分解，并與現場監(jiān)測數據比較較為吻合。Yin等[17]將隧道簡化成Timoshenko梁放在Pasternak地基模型上，利用微分方程解析得到梁在集中力下的縱向變形解析解。張冬梅等[18]將隧道簡化成Timoshenko梁放在Kerr地基模型上獲得隧道開挖引起上覆既有隧道變形解析解。

圖1 Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁變形

綜上所述，Kerr地基模型在Winkler地基模型基礎上不僅考慮了土體的剪切變形，還增加了一個控制參數c，使Kerr模型的計算結果更加準確。本文在前人的基礎上，采用二階段法求解基坑開挖對下臥既有隧道的縱向變形響應。第一階段是將基坑開挖釋放的地層應力作為附加應力施加在隧道上，此時附加應力可以用Mindlin經典解得到，第二階段將隧道簡化成Timoshenko梁擱置在Kerr地基模型上，并建立Kerr地基模型下隧道縱向受力平衡微分方程，合理提出計算剪切層彎矩的假設，從而獲得既有隧道縱向變形解析解。與實際工程監(jiān)測數據對比，驗證了本文解析解計算結果的合理性；并與和不同的地基模型及梁模型比較，突出了本文解析的優(yōu)越性。最后分析了基坑寬度、基坑深度、地基模量、既有隧道埋深和既有隧道與基坑水平距離變化對緊鄰隧道隆起變形的影響。

1 分析方法

1.1 基本假定

為了研究基坑開挖對既有隧道受力變形的影響，需要建立本文計算模型基本假定：

(1)用可考慮剪切變形的Timoshenko梁模擬隧道變形。

(2)隧道-土體之間作用采用Kerr地基模型。

(3)隧道變形過程中與周圍土體無間隙。

(4)隧道軸線處附加應力可由Mindlin解計算。

1.2 隧道附加應力計算

隧道與上覆矩形基坑相對位置示意見圖2，矩形基坑長、寬、深分別為L、B、H?；涌拥拙幪枮棰伲颖谒闹芤来尉幪枮棰?、③、④、⑤。以基坑中點o作為全局坐標系的原點，以o點到側壁②作為x軸正方向，以o點到側壁⑤作為y軸正方，以地面向下為z軸正方向。隧道軸線方向為ξ方向，與ξ方向垂直建立η方向，兩方向交點為o′，以o′建立關于隧道軸線的平面坐標系。隧道埋深為z0，隧道軸線與基坑中心o點的最短距離為S0，隧道軸線方向與全局坐標成α角。

圖2 基坑與隧道相對位置

1.2.1 坑底卸載引起隧道軸線處附加應力

(1)

1.2.2 坑壁卸載作用在隧道軸線的附加應力

(2)

考慮到坑壁與隧道非平行關系，故需將隧道軸線坐標系納入基坑的全局坐標里，兩個坐標xoy平面關系為

(3)

(4)

1.3 隧道變形理論推導

基坑開挖引起下臥隧道隆起變形示意見圖3，其中隧道-土體相互作用采用Kerr地基模型。

圖3 Kerr地基模型

根據Kerr地基模型理論知，隧道變形w(x)為

w(x)=w1(x)+w2(x)

(5)

式中：w1(x)為上層彈簧的變形量；w2(x)為剪切層的變形量。

利用兩層彈簧的受力特性可得

p1(x)=cw1(x)=c[w(x)-w2(x)]

(6)

p2(x)=kw2(x)

(7)

式中：p1(x)為隧道下方彈簧反力；p2(x)為剪切層下方彈簧反力；c為上層彈簧剛度；k為下層彈簧剛度。

對于剪切層受力特性有

(8)

式中：Gp為剪切層剛度。

將式(6)和式(8)合并可得

(9)

考慮到Timoshenko梁[14]的剪切剛度，其曲率方程為

(10)

式中：Φ=μGA為梁的剪切剛度M為隧道所受彎矩EI為梁的抗彎剛度。

根據Timoshenko梁[17]理論可得

(11)

式中：D為隧道直徑。

假設其剪切層滿足

(12)

式中：MS為剪切層的彎矩。

將式(8)～ 式(10)代入式(11)，可得

(13)

式(13)可利用差分法簡化為

A1(w2)i-3+B1(w2)i-2+C1(w2)i-1+D1(w2)i+

C1(w2)i+1+B1(w2)i+2+A1(w2)i+3=Fi

(14)

式中:i=0,1,2,…,n-2,n-1,n。

利用差分特性可知A1、B1、C1、D1分別為

(15)

式中：l為單位差分節(jié)點縱向長度且l=L/n，其中L為已有隧道縱向長度。

(16)

(17)

如圖4所示，隧道縱向長度方向被平均等分為n份，隧道被離散成n+7個節(jié)點單位長度(兩端各有3個虛擬單位長度)。

圖4 隧道離散化

最后隧道的縱向位移w(x)、彎矩M(x)、剪力Q(x)的表達式為

(18)

(19)

(20)

由于隧道兩端各有3個虛擬單元，而實際基坑開挖對既有隧道無限遠端影響極小，那么無限長隧道兩端可簡化成自由狀態(tài)，即隧道兩端彎矩M=0，剪切層彎矩MS=0，剪力Q=0，即

(21)

(22)

此時可根據邊界情況得到位移w2(x)為

w2=K-1·{Fi-Ωi}

(23)

式中：w2、Fi、Ωi分別為

(24)

矩陣K可表示為

(25)

其中，N1、N2、N3、N4表達式為

(26)

Ω為補充向量,Ω1、Ω2、Ω3、Ω4分別為可計算值，即

(27)

至此，得到為w2(x)位移的解析解，將得到的結果代入公式(18)～ 式(20)即可得到隧道的縱向位移w(x)、彎矩M(x)、剪力Q(x)。然而，若Kerr地基模型中彈簧剛度c為0時，本文方法將退化成為Timoshenko梁下Pasternak地基模型解析。

1.4 Kerr地基模型參數確定

根據簡化彈性空間法[19]可得Kerr地基模型參數確定為

c=3k

(28)

k=4Es/3z0

(29)

Gp=2Esz0/9(1+ν)

(30)

簡化彈性空間法操作簡便，但是由于缺乏考慮實際工程，其計算結果與實際存在較大偏差，故需要重新修訂地基參數的取值以滿足實際工程情況。根據前人的研究可知，黃栩等[13]提出了可考慮實際工程下的Kerr地基模型參數調整為

c=7k

(31)

k=4Es/3z0

(32)

Gp=2Esz0/9(1+ν)

(33)

2 算例驗證

2.1 工程案例1

上海外灘的地下通道開挖可視為矩形基坑開挖，其開挖深度11 m，基坑寬度10 m，長度約為50 m。已建的延安東路隧道為南北兩條長距離公路隧道，既有北線隧道為大直徑11 m的盾構隧道，基坑坑底與既有北線隧道縱向間距僅為5.4 m，由于坑底與隧道拱頂距離較近，基坑在開挖過程中對下部隧道產生較大影響。基于本工程，黃宏偉等[20]采用三維有限元軟件模擬了基坑開挖對既有隧道的影響，并將計算數據與檢測數據進行了比較；梁榮柱等[15]將本工程中的隧道簡化成Timoshenko梁擱置在Winkler地基模型上，并獲得了既有隧道在上覆基坑開挖下的變形響應。同樣的，本算例將依托此工程驗證本文方法的合理性。場地地質條件及土體參數詳見文獻[20]。

由文獻[22-23]方法可分別計算求得隧道的抗彎剛度及剪切剛度值為3.99×105MN·m2和3.38×103MN/m。隧道埋深20.9 m，位于④淤泥質黏土中，地基模量取30.8 MPa[20]。本文計算結果與工程實測、有限元和既有理論梁方法的對比見圖5。其中工程實測和有限元方法來自文獻[20]，關于本案例已有的理論方法是將隧道簡化成Timoshenko梁擱置在Winkler地基模型上(圖5中梁方法)，詳見文獻[15]。由圖5可見，通過本文方法計算得到的隧道縱向最大位移為7.2 mm，相比于梁方法計算得到的隧道縱向最大位移7.7 mm，本文方法計算結果更貼近于實測最大位移6.6 mm，進一步說明本文方法的優(yōu)越性。采用梁方法時，由于Winkler地基模型既無法考慮土體的剪切變形也沒有考慮上彈簧參數c的加入，致使Winkler地基模型下隧道縱向位移的預測產生較大偏差。此案例的有限元模擬來自于文獻[20]，且本文方法和文獻[20]有限元模擬擬合較好，進一步說明本文方法的合理性。

圖5 隧道縱向位移計算、有限元及實測數據對比曲線

2.2 工程案例2

上海雅居樂廣場基坑[21]開挖深度為5 m，上海地鐵一號線從基坑底部近距離穿過，一號線隧道頂部埋深約為8.6 m，距離基坑坑底以下3.6 m縱向凈距?；有螤畲笾聻榫匦?，且隧道與基坑邊緣平行，基坑長度約為110 m，開挖寬度約為46 m。已建的上海一號線地鐵隧道，分為南北兩條隧道，隧道內徑為5.5 m，襯砌厚度為35 cm，每環(huán)由6塊管線拼裝而成。為了保護既有隧道，坑底以下進行了隧道卸載回彈變形控制措施，并對現場隧道變形進行了數據監(jiān)測。李家平等[21]采用有限元軟件對此工程案例進行了模擬且將北線隧道實測結果與模擬結果進行了對比。同樣本算例對北線進行隧道變形進行計算，并與前人的方法進行對比分析。場地地質條件及其他參數詳見李家平等[21]。

由文獻[22-23]方法可分別計算求得隧道的抗彎剛度及剪切剛度值為6.74×105MN·m2和3.32×103MN/m。既有隧道位于淤泥質黏土土層中，取其地基模量為16.8 MPa[21]。在本文方法中將Kerr地基模型中彈簧剛度c=0時，解析退化成Timoshenko梁下Pasternak地基模型解析(圖6中的T-P法)，以及李家平等[21]對此工程做的有限元模擬結果和實測分析。由圖6可知，本文方法以及T-P法與實測數據變化趨勢相同，相比于T-P法，本文方法計算結果更加接近于實測數據，基本上與已有的有限元數據吻合。這是由于Pasternak地基模型地基參數選取時沒有考慮多參數的加入，致使在分析土與結構相互作用時與實際情況相差較大。而本文方法汲取了上述模型的不足，所用的Kerr地基模型是三參數地基模型，計算所得數據與實測數據以及有限元模擬數據較為一致，再一次證明了本文方法的有效性。

圖6 隧道縱向位移計算、有限元及實測數據對比曲線

3 參數分析

為了研究基坑寬度、基坑深度、地基模量、既有隧道埋深和既有隧道與基坑水平距離變化對既有隧道隆起變形的影響，以工程案例1的實際工況為基本參數展開參數研究。

3.1 基坑開挖寬度

為了考慮既有隧道隆起變形與基坑開挖寬度之間的關系，基坑寬度分別取B=10、20、30、40、50 m，采用本文方法計算獲得隧道受力變形變化曲線。

不同基坑寬度開挖下引起既有隧道受力變形曲線見圖7。由圖7(a)可知，隨著基坑開挖寬度增大，隧道的縱向位移從7 mm逐漸增大到25 mm，且增大速率逐漸放緩；隧道發(fā)生位移的影響范圍也會隨之增大，但是總體來說在距離中心點±60 m外隧道縱向變形位移幾乎為0。由圖7(b)可知，彎矩的影響范圍隨基坑開挖寬度的增大而逐漸增大，隧道最大正彎矩出現在隧道中心點處，且其增速先增大后減小，而產生的隧道最大負彎矩是不斷增大的。隨著基坑開挖范圍增大，對基坑下方土體卸載效應影響是不斷增大的，故隧道變形會越來越大；但是隨著矩形基坑開挖寬度不斷增大，當長寬比越接近1時，基坑開挖對下臥既有隧道影響在整個隧道長度上受到的附加應力表現越“均勻”，導致隧道最大正彎矩的減小。

圖7 基坑寬度變化對隧道豎向位移和彎矩分布影響

3.2 基坑開挖深度

為了考慮既有隧道隆起變形與基坑開挖深度之間的關系，基坑深度分別取H=6、8、10、12、14 m，采用本文方法計算獲得隧道受力變形變化曲線。

不同基坑深度開挖下引起既有隧道受力變形曲線見圖8。由圖8(a)可知，隨著基坑開挖深度的增大，隧道的縱向位移從2 mm逐漸增大到12 mm，且增大速率逐漸加快；隧道發(fā)生位移的影響范圍也會隨之增大，但是總體來說在距離中心點±40 m外隧道縱向變形位移幾乎為0。由圖8(b)可知，彎矩峰值隨著基坑開挖深度的增加逐漸增大，且增大速率也逐漸增大。圖8說明隨著基坑開挖深度的增加，致使坑底與隧道拱頂凈距的減少，勢必會導致隧道-土之間相互作用力的增大，且這種影響不呈線性關系，其增速也逐漸增大的。

圖8 基坑深度變化對隧道豎向位移和彎矩分布影響

3.3 地基模量

為了考慮既有隧道隆起變形與地基模量之間的關系，地基模型分別取Es=5、 15、25、35、45 MPa，采用本文方法計算獲得隧道受力變形變化曲線。

不同地基模量下基坑開挖引起既有隧道受力變形曲線見圖9。由圖9(a)可知，隨著土體彈性模量的增大，隧道的縱向位移從32 mm逐漸減小到5 mm，且減小速率逐漸放緩，當地基模量達到35 MPa后，隨著地基模量的增加，隧道縱向位移變化很小；隧道發(fā)生位移的影響范圍也會隨之減小，這是由于地基模量增大地基抵抗變形的能力增強。由圖9(b)可知，彎矩峰值隨著地基模量的增加逐漸減小，且減小速率也逐漸減小，正彎矩極值點較大且最大正彎矩所在處沒有發(fā)生變化，使得在工程實踐中要注重這些地方的施工質量。說明隨著地基模量的增加，土體的抵抗變形能力增強，使得隧道的縱向位移和彎矩均會產生較大的減小。值得注意的是在地基模量較小的軟土地區(qū)上穿地鐵隧道進行基坑開挖，適當的通過注漿等措施提高土體模量可以顯著增加地鐵隧道的安全性。

圖9 地基模量變化對隧道豎向位移和彎矩分布影響

3.4 隧道埋深

為了考慮既有隧道隆起變形與隧道埋深之間的關系，隧道埋深分別取z0=20、25、30、35、40 m，采用本文方法計算獲得隧道受力變形變化曲線。

不同隧道埋深下基坑開挖引起既有隧道受力變形曲線見圖10。由圖10(a)可知，隨著隧道埋深的增大，隧道的縱向位移從7.8 mm逐漸減小到3.3 mm，且減小速率逐漸放緩；隧道埋深的增大也會使得隧道發(fā)生位移的影響范圍增大，但是總體來說在距離中心點±60 m外隧道縱向變形位移幾乎為0。由圖10(b)可知，彎矩峰值隨著隧道埋深的增加逐漸減小，且減小速率也逐漸減小。說明隨著隧道埋深的增加，使得坑底與隧道拱頂凈距的增大，基坑開挖對隧道位移的影響在逐漸減小，且這種影響不呈線性關系，其速率逐漸放緩。

圖10 隧道埋深變化對隧道豎向位移和彎矩分布影響

3.5 隧道軸線與基坑中心距離S0

為了考慮既有隧道隆起變形與隧道-基坑相對水平位置之間的關系，分別取S0=0、10、20、30、40 m，采用本文方法計算獲得隧道受力變形變化曲線。

不同隧道軸線與基坑中心距離下基坑開挖引起既有隧道受力變形曲線見圖11。由圖11(a)可知，隨著S0數值的增大，隧道的縱向位移從7.4 mm逐漸減小到0.7 mm，且其減小速率先增大后逐漸放緩；隧道發(fā)生位移的影響范圍也會隨之增大，但是總體來說在距離中心點±40 m外隧道縱向變形位移幾乎為0。由圖11(b)可知，彎矩峰值隨著S0數值的增加逐漸減小，且其減小速率也出現先增大后逐漸放緩的現象。這是由于在基坑與隧道相對位置的俯視圖中，當既有隧道的位置將要超出在建基坑矩形的范圍時，基坑開挖引起的既有隧道軸線處的附加應力會驟然減小，此時隧道位移及內力變化對S0值減小最為敏感。說明隨著隧道軸線與基坑中心距離的增加，使得隧道遠離基坑中心，基坑開挖對隧道應力應變的影響也在逐漸減小，且這種影響不成線性關系，其速率先增大后放緩。

圖11 S0數值變化對隧道豎向位移和彎矩分布影響

4 結論

基坑開挖對下臥既有隧道的變形響應解析方法中，既有研究將隧道簡化成Timoshenko梁擱置在Winkler地基模型上，沒有考慮土體剪切變形的影響。針對前人研究的不足，提出了將隧道簡化成Timoshenko梁擱置在Kerr地基模型上的解析解，得到如下結論：

(1) 將隧道簡化成既能考慮縱向剛度又能考慮剪切變形的Timoshenko梁，隧道-土體之間相互作用采用Kerr地基模型，利用有限差分法獲得基坑開挖引起下臥既有隧道變形響應。

(2) 通過與2個工程案例做比較，顯示出本文方法計算數據與實測結果及有限元結果基本吻合。驗證了本文方法的合理性。

(3) 與上述2個工程案例已有解析的T-W法和本文可退化的T-P法比較，本文方法更具有優(yōu)越性。

(4) 參數分析研究結果表明，基坑開挖寬度及深度的增大會引起既有隧道受力變形的增大；地基模量、隧道軸線埋深和隧道軸線與基坑中心距離的增大會引起既有隧道變形響應的減小。