基于羅茨泵平均理論流量的轉(zhuǎn)子容積利用系數(shù)反求法

摘要為簡單高效推導(dǎo)出泵用羅茨轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)，基于容積利用系數(shù)與平均理論流量間的因果關(guān)系，巧妙地提出了一種容積利用系數(shù)的反求方法;分析了有無余隙的兩種輪廓構(gòu)造對容積利用系數(shù)的不同影響。結(jié)果表明，由“果”（即平均理論流量）到“因”（即容積利用系數(shù)）的反求方法簡單高效，結(jié)果準(zhǔn)確可靠，通用性普適性強;有余隙的輪廓構(gòu)造利于實現(xiàn)容積利用系數(shù)的最大化;共軛輪廓的曲線類型通過控制輪廓系數(shù)的上限取值，對形狀系數(shù)及其容積利用系數(shù)的間接影響較大;容積利用系數(shù)可簡化為形狀系數(shù)的單變量函數(shù)，輪廓系數(shù)給定下的共軛輪廓曲線類型對容積利用系數(shù)的影響甚微。研究結(jié)果為轉(zhuǎn)子泵諸如容積利用系數(shù)及輪廓特征的其他計算提供了一種新思路與新方法。

關(guān)鍵詞羅茨泵容積利用系數(shù)平均理論流量因果關(guān)系反求法形狀系數(shù)輪廓系數(shù)

Inverse Method on Volume Utilization Factors of Rotor based on Average Theoretical Flow of Roots Pump

Xiao Ronghe1 Li Yulong2

（1 Xiamen Tobacco Industry Co.，Ltd.，Xiamen 361000，China）

（2 School of Mechanical and Electrical Engineering，Suqian University，Suqian 223800，China）

Abstract In order to derive the volume utilization factors of Roots rotor for pump simply and efficiently，a novel inverse method of volume utilization factors is proposed based on the causal relationship between volume utilization factors and the average theoretical flow，and the different effects of two profile structures with and with-out clearance on volume utilization factors are analyzed. All results show that the inverse method from the aver-age theoretical flow which is the effect to the volume utilization factors which are the cause is simple and effi-cient，the results are accurate and reliable，and the general applicability is strong;the profile structure with clear-ance is beneficial to maximize the volume utilization factor;by controlling the upper limit of profile factor，the shape factors and volume utilization factors are indirectly influenced by the curve type of conjugate profile;vol- ume utilization factor can be simplified as a single variable function of shape factors，and the type of conjugate profile determined by profile factors has little influence on the volume utilization factors etc . It provides a new idea and method for calculating the volume utilization coefficient and other profile characteristics of rotor pump .

Key words Roots pump Volume utilization factors Average theoretical flow Causal relationshipInverse method Shape factors Profile factors

0引言

羅茨轉(zhuǎn)子泵（簡稱為轉(zhuǎn)子泵）是一種應(yīng)用廣泛的流體設(shè)備。作為容積泵的一種形式，兩個完全相同的羅茨轉(zhuǎn)子是泵的核心部件[1]，其輪廓（即轉(zhuǎn)子橫截面的封閉輪廓線）為泵內(nèi)多個容積單元的邊界基礎(chǔ)[2]，并由此構(gòu)成了“轉(zhuǎn)子輪廓→容積單元→輸送流量”及其“容積利用系數(shù)→容積單元輸送→平均理論流量”的因果關(guān)系。羅茨轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)是泵輕量化效果評價[3]、泵排量[4]或轉(zhuǎn)子慣性矩[5]、轉(zhuǎn)子質(zhì)量和轉(zhuǎn)子加工量預(yù)估[6]以及輪廓參數(shù)影響分析[7]等回避不了的關(guān)鍵要素。在容積利用系數(shù)式的推導(dǎo)方面，目前多是從“因”本身即通過轉(zhuǎn)子副橫截面的分區(qū)計算[8-9]或 3D 實測結(jié)果擬合[10]得到的，屬于直接的計算方法，推導(dǎo)過程較繁瑣，針對性強而普適性不強。有鑒于此，本文中擬就轉(zhuǎn)子副的容積利用系數(shù)與泵平均理論流量間的因果關(guān)系，由“果”（平均理論流量）反推出“因”（容積利用系數(shù)）的反求方法，以實現(xiàn)容積利用系數(shù)式的簡單高效推導(dǎo)。

1有無余隙轉(zhuǎn)子輪廓的頂特征

基于羅茨轉(zhuǎn)子的不同輪廓構(gòu)造，尤其是旋轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)子副輪廓間的避讓需要，轉(zhuǎn)子副的頂部位往往存在類似于齒輪副頂隙[11]、壓縮機余隙[12]那樣的空間或間隙，稱之為余隙容積或無用容積或有害容積，如圖 1（ a ）所示。其中，轉(zhuǎn)子頂圓弧的圓心與轉(zhuǎn)子中心 O 重合，雖然能取得相對較大的形狀系數(shù)，但頂、根部的輪廓加工相對復(fù)雜[13]。

余隙容積內(nèi)的高壓出口介質(zhì)會隨著轉(zhuǎn)子副的旋轉(zhuǎn)而回流到泵的低壓進口腔，從而影響到羅茨真空泵進口腔內(nèi)介質(zhì)的真空度質(zhì)量，此時，余隙容積不僅無用而且有害。所以，羅茨真空泵更多采用的是無余隙轉(zhuǎn)子副，如圖1 （b）所示。此時，轉(zhuǎn)子頂圓弧與配對轉(zhuǎn)子根圓弧的圓心重合，雖然形狀系數(shù)較有余隙轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)要小一些[14]，但頂、根部的輪廓加工卻相對簡單。

2羅茨轉(zhuǎn)子輪廓的統(tǒng)一構(gòu)造

從輪廓構(gòu)造角度看，無余隙屬于有余隙的一種特殊形式。如圖2 所示，轉(zhuǎn)子的半葉理論輪廓均由頂圓弧01（圓心為轉(zhuǎn)子中心 O）、外過渡輪廓12（能完全避讓配對轉(zhuǎn)子上輪廓點4 ）、外共軛輪廓23（與配對轉(zhuǎn)子上內(nèi)共軛輪廓34相共軛）、內(nèi)共軛輪廓34（與配對轉(zhuǎn)子上外共軛輪廓23相共軛）、內(nèi)過渡輪廓45（能完全避讓配對轉(zhuǎn)子上輪廓點1 ）、根圓弧56（圓心為轉(zhuǎn)子中心 O）共6 段首尾相連組成。其中，0′2圓弧的圓心為點7 ，46′圓弧的圓心為點9，由0′1、12、23、34、45、56′組成的為無余隙轉(zhuǎn)子輪廓。

設(shè)外共軛輪廓23上動點 n 處的法線長度（即 n8的長度）為ρ;傳動角為α，αlt; 90°;以中軸 O3為起始邊的轉(zhuǎn)角為θ，0≤θ≤φ，φ=90°/N 為半葉輪廓圓心角，N 為葉數(shù);τ為頂半圓心角。記0′O 連線長度為 rε0，則27連線長度為 r （ε0-1 ）， O6′連線長度為 r （2-ε0） ;記0O 連線長度為 rε，則 O6連線長度為 r （2-ε）。其中，r 為同尺寸轉(zhuǎn)子副的節(jié)圓半徑;ε0為外共軛輪廓 23的輪廓系數(shù)，也為無余隙轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù);ε為有余隙轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)。

則在圖2 所示 XOY 坐標(biāo)系下，外23、內(nèi)34共軛輪廓的構(gòu)造方程分別為

和

式中，ρ（θ）、α（θ）由共軛輪廓的曲線類型及其輪廓系數(shù)ε0唯一確定。

3羅茨轉(zhuǎn)子泵瞬時理論流量

設(shè)泵的瞬時流量為 Q ，圖 3所示打剖面線區(qū)域所對應(yīng)的泵內(nèi)容積為 V ，此時，內(nèi)共軛輪廓上的點 m 與配對轉(zhuǎn)子（中心為 O′）外共軛輪廓上的點 n 共軛。

設(shè)在微小時間 dt 內(nèi)，轉(zhuǎn)子副轉(zhuǎn)角θ的微變化量為dθ;容積 V 的微變化量為 dV;rm 、rn 分別為轉(zhuǎn)子、配對轉(zhuǎn)子在共軛處到各自轉(zhuǎn)子中心的連線長度;ω為轉(zhuǎn)子副的旋轉(zhuǎn)角速度。那么，有[15]

由式（3）得轉(zhuǎn)子泵的瞬時理論流量為

其中，

將式（1 ）和式（2）分別代入式（5）中，有

由式（4） 、式（6）的瞬時理論流量為

其無量綱的瞬時理論流量為

例如，ε=ε0=1.47時，3葉的無余隙漸開線轉(zhuǎn)子和無余隙擺線轉(zhuǎn)子對應(yīng)的無量綱瞬時理論流量如圖4 所示。由圖4 中可知，輪廓點3 共軛時的理論流量值最大，輪廓點2 、輪廓點4 共軛時的理論流量值最小，且瞬時理論流量關(guān)于輪廓點3 （即θ=0軸）左右對稱。

4羅茨轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)

容積利用系數(shù)λ表示羅茨轉(zhuǎn)子的可利用空間占轉(zhuǎn)子頂旋轉(zhuǎn)1 周所掃過空間（即頂圓柱體積）的容積百分比，也可表示為λ=1（不可利用空間占頂圓柱的容積百分比）。其中，不可利用空間等于轉(zhuǎn)子的本身體積加上可能存在的余隙容積。

對于羅茨轉(zhuǎn)子泵這樣的容積泵，羅茨轉(zhuǎn)子的可利用空間是用來輸送工作介質(zhì)的，在不考慮泄漏、壓縮等無容積損失的理論狀態(tài)下，每轉(zhuǎn)所能輸送的介質(zhì)量應(yīng)等于可利用空間的容積，而轉(zhuǎn)子副每轉(zhuǎn)由兩個轉(zhuǎn)子輸送的介質(zhì)量又等于泵平均理論流量 Qmean 乘以每轉(zhuǎn)的時間2π/ω，即

式中，2π（ rε）2b 為同尺寸轉(zhuǎn)子副的雙頂圓柱容積。由式（7）和圖4 中關(guān)于θ=0軸的左右對稱性，得平均理論流量 Qmean 為

將式（10）代入式（9） ，得羅茨轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)λ為

這與文獻[16]中通過分區(qū)計算得到的結(jié)果完全一致。

5容積利用系數(shù)的實例驗證

以 N=3， r=100 mm ，ε0=1.45，ε=1.5 的漸開線轉(zhuǎn)子為例[17]。其中，表達式為

由式（12）可得

由式（11）計算得到的容積利用系數(shù)為

由圖5 所示實測結(jié)果得到的容積利用系數(shù)為

完全相等，說明式（11）完全正確。其中，A1為半葉轉(zhuǎn)子自身的截面積;A2為半葉轉(zhuǎn)子的余隙截面積;A3為半葉轉(zhuǎn)子的可利用截面積。

且由式（5）計算可得

由式（6）容積利用系數(shù)的簡化式為

可知，約5%的簡化誤差在允許范圍內(nèi)。

由此可知，ε越大，λ越大。另外，式（15）直觀上λ僅與ε有關(guān)，而共軛輪廓曲線類型的影響甚微;但曲線類型卻通過控制ε0的不同取值上限，間接影響著ε及其λ的大小。由于曲線類型不同，ε0的上限差異較大[18]，所以，共軛輪廓的曲線類型對λ的影響也較大。

6形狀系數(shù)輪廓系數(shù)間關(guān)系

以τ=2°，N=3時的ε0=1.2～1.45的漸開線轉(zhuǎn)子為例。由圖2所示的輪廓構(gòu)造及轉(zhuǎn)子輪廓點1 恰好避讓配對轉(zhuǎn)子輪廓點4 的幾何關(guān)系，能唯一確定出ε （ε0） 隨ε0的變化關(guān)系及其λ（ε0）隨ε0的變化關(guān)系，如表1 所示。由表1 中可知，ε0越大，ε及其λ更大。其中，λ0為無余隙轉(zhuǎn)子容積利用系數(shù)。

7結(jié)論

（1 ）由“果”（平均理論流量）反推出“因”（容積利用系數(shù)）的反求方法簡單高效，結(jié)果準(zhǔn)確可靠，通用性普適性強。

（2 ）共軛輪廓的輪廓系數(shù)越大，轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)及其容積利用系數(shù)更大，有余隙輪廓構(gòu)造利于實現(xiàn)容積利用系數(shù)的最大化。

（3 ）共軛輪廓的曲線類型通過控制輪廓系數(shù)的上限取值，對轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)及其容積利用系數(shù)的間接影響較大。

（4 ）容積利用系數(shù)可簡化為形狀系數(shù)的單變量函數(shù)，輪廓系數(shù)給定下的共軛輪廓曲線類型對容積利用系數(shù)的影響甚微。

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收稿日期：2021-12-07

基金項目：宿遷市“千名領(lǐng)軍人才集聚計劃”項目（2019JJ090）宿遷市科技計劃項目（K201924）

作者簡介：肖榮和（1972—），男，福建廈門人，碩士，工程師;研究方向為液壓機械及電氣自動化。

通信作者：李玉龍（1968—），男，江蘇泰興人，博士，教授;研究方向為泵理論及傳動設(shè)計方法。