新型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及尺度綜合

摘要針對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于機(jī)器人仿生領(lǐng)域時(shí)出現(xiàn)的耦合度高、控制不便、靈活性不足等問題，提出了一種具有半解耦特性的新型3 分支球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)?；诼菪碚搶?duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了自由度分析，通過矢量法求解了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解并分析了機(jī)構(gòu)的解耦特性。該機(jī)構(gòu)具有繞 X 軸、Y 軸、Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的3 個(gè)自由度，其中，繞 Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)僅由1 個(gè)分支控制，其余兩分支共同控制機(jī)構(gòu)做繞 X 軸、 Y 軸的運(yùn)動(dòng)?；谖⒎肿儞Q法得到雅可比矩陣并討論了奇異位形。以奇異位形和桿件干涉為約束條件，采用邊界搜索法確定了機(jī)構(gòu)的工作空間。基于機(jī)構(gòu)的解耦特性提出了一種具有解耦系數(shù)的全域均值靈巧度，以工作空間和全域均值靈巧度為優(yōu)化目標(biāo)，采用粒子群優(yōu)化算法（PSO）對(duì)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了尺度綜合。機(jī)構(gòu)優(yōu)化后，工作空間增大且在該空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)性能良好。研究為球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的樣機(jī)設(shè)計(jì)和其他半解耦機(jī)構(gòu)的尺度綜合提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)螺旋理論雅可比矩陣尺度綜合

Kinematics Analysis and Scale Synthesis of a Novel Spherical Parallel Mechanism

Chang Zhen Wang Chengbo Wang Gaofeng Gao Jianshe

（School of Mechanical and Power Engineering，Zhengzhou University，Zhengzhou 450001，China）

Abstract In order to solve problems of high coupling degree，inconvenient control and insufficient flexi-bility when spherical parallel mechanism is applied in the field of robot bionics，a novel three-branch spherical parallel mechanism with semi-decoupled characteristics is proposed. Based on the screw theory，the degree of freedom （ DOF ） of the mechanism is analyzed. The forward and inverse kinematics solutions of the mechanism are solved by the vector method and the decoupling characteristics of the mechanism are analyzed . The mecha-nism has a 3-DOF to rotate around the X axis，Y axis，Z axis，and the rotation around the Z axis is controlled byonly one branch，while the other two branches jointly control the mechanism to move around the X axis，Y axis. Jacobian matrix is obtained based on differential transformation method and singular configuration is discussed .The workspace of the mechanism is determined by the boundary search method with singular configuration and bar interference as constraints. Based on the decoupling characteristics of the mechanism，a global mean dexteri-ty with decoupling coefficient is proposed. Taking the workspace and global mean dexterity as the optimization goals，the particle swarm optimization algorithm （ PSO ） is used to synthesize the structure parameters of the mechanism. After the optimization，the workspace is enlarged and the motion performance in this space is good， which provides a theoretical basis for the prototype design of the spherical parallel mechanism and the scale syn-thesis of other semi-decoupling mechanisms.

Key words Spherical parallel mechanism Screw theory Jacobian matrix Scale synthesis

0引言

球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一類特殊的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，構(gòu)件上的所有點(diǎn)到一個(gè)固定點(diǎn)的距離不變，即構(gòu)件保持在固定球面上運(yùn)動(dòng)，具有結(jié)構(gòu)緊湊、不易干涉、工作空間相對(duì)較大、靈活可靠等優(yōu)點(diǎn)。球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在機(jī)器人仿生領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，如被用作機(jī)器人的肩關(guān)節(jié)[1]、腕關(guān)節(jié)[2]、髖關(guān)節(jié)[3]與靈活眼[4]等。

近年來，國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者展開了關(guān)于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論、性能與應(yīng)用方面的研究，并已將球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用到人體仿生領(lǐng)域。Tao 等[5]基于增大工作空間和減少桿件干涉提出了一種系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，對(duì)3-RRR 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。程剛等[6]設(shè)計(jì)了3SPS+1PS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，優(yōu)化了機(jī)構(gòu)的工作空間，并將其應(yīng)用到人體髖關(guān)節(jié)。楊亞敬等[7]參照人體股骨結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了基于偏置輸出的3-RRR+（ S-P ）仿生髖關(guān)節(jié)，從人體髖關(guān)節(jié)工作空間出發(fā)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。孫鵬等[8]提出了一種以球面5R 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為原型的仿人肩關(guān)節(jié)，基于旋量理論和指數(shù)積公式給出了少自由度非對(duì)稱型球面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法，分析了工作空間評(píng)價(jià)指標(biāo)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系并進(jìn)行了優(yōu)化。車林仙等[9]則以球面5R 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)質(zhì)傳遞工作空間面積為目標(biāo)建立機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)優(yōu)化模型，使優(yōu)質(zhì)工作空間面積達(dá)到最大。劉秀瑩等[10]考慮到由于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線交于一點(diǎn)不利于裝配的問題，提出了一種用于擬合踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的雙球心廣義球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于擬合模型的工作空間，采用遺傳算法優(yōu)化了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。侯雨雷等[11]針對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了一種功耗比評(píng)價(jià)指標(biāo)，并分別以3PSS/S 并聯(lián)機(jī)構(gòu)和3-RRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象進(jìn)行理論功耗比計(jì)算與實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了功耗比性能指標(biāo)的合理性。上述文獻(xiàn)中研究的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)多為對(duì)稱式并聯(lián)機(jī)構(gòu)，而對(duì)稱式球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在傾斜角度下的轉(zhuǎn)角相對(duì)受限。Wu G L 等[12-13]針對(duì)非對(duì)稱式球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了力/位移傳遞性能和剛度分析，討論了非對(duì)稱式球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能優(yōu)劣。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究工作為球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及工作空間優(yōu)化提供了可行的思路和方法，但上述文獻(xiàn)中研究的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)普遍存在耦合度高、控制難度大、靈活性不足等問題。本文中提出了一種具有半解耦特性的3 自由度非對(duì)稱式球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。其中，沿 X 軸、Y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)與 Z 軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)分別由不同運(yùn)動(dòng)分支控制;這保證了機(jī)構(gòu)在 X 軸、Y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，Z 軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)不受影響并且運(yùn)動(dòng)角度較大。機(jī)構(gòu)的第2 分支、第3 分支采用共軸線設(shè)計(jì)，能夠提高機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性和剛度。針對(duì)該機(jī)構(gòu)的半解耦特點(diǎn)，提出了一種帶耦合系數(shù)的全域靈巧度指標(biāo)，基于螺旋理論分析其自由度，通過矢量法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解分析并驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的解耦特性，基于微分變換法得到機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，提出了帶耦合系數(shù)的全域靈巧度指標(biāo)，以工作空間和靈巧度指標(biāo)為目標(biāo)，采用 PSO 算法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的工作空間增大且運(yùn)動(dòng)性能良好。

1機(jī)構(gòu)描述與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

圖1 （ a ）所示為本文中所提出的新型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由機(jī)架（定平臺(tái)）、動(dòng)平臺(tái)以及連接動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)的3 個(gè) RRR 串聯(lián)分支組成。機(jī)構(gòu)的3 個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)均固定在定平臺(tái)上，減小了動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)慣量，提高了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性。機(jī)構(gòu)每個(gè)分支中連接定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)副為該分支的驅(qū)動(dòng)副。其中，第1 分支相鄰轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線之間的夾角分別為30°和90°，第2 分支、第3 分支轉(zhuǎn)動(dòng)副之間夾角均為60°。該機(jī)構(gòu)各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線都交于一點(diǎn) O ，點(diǎn) O 與動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心重合，將該點(diǎn)設(shè)為定平臺(tái)坐標(biāo)系和動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系的原點(diǎn)。定平臺(tái)坐標(biāo)系的 X 軸垂直紙面向外，Z 軸豎直向下，Y軸由右手定則確定。以機(jī)構(gòu)能量消耗最小為目標(biāo)考慮動(dòng)平臺(tái)的初始位置，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)保持豎直向下時(shí)，能量消耗最小，取此位置為機(jī)構(gòu)的初始位置，動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系在初始位置下與定平臺(tái)坐標(biāo)系重合，如圖1（b）所示。

1.2 自由度分析

為分析該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能，采用螺旋理論計(jì)算該球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。分別對(duì)機(jī)構(gòu)的3 個(gè)分支進(jìn)行分析，由于3 個(gè)分支的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線都過定平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)，故第 i 分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系可表示為

式中，ai 、bi 、ci 分別為與各分支轉(zhuǎn)動(dòng)副的位置和方向有關(guān)的量。

由此可得第 i 個(gè)分支的反螺旋系為

該反螺旋系包含3 個(gè)約束力螺旋，3個(gè)反螺旋都經(jīng)過平臺(tái)中心點(diǎn) O ，并分別限制動(dòng)平臺(tái)沿3 個(gè)坐標(biāo)軸方向的移動(dòng)。由此可得，該機(jī)構(gòu)具有3 個(gè)分別繞坐標(biāo)軸 X、Y、Z 的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

1.3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

以機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)繞（α、β、γ） 3個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)為已知量，采用 Z - Y - X 型滾動(dòng)角、俯仰角、偏航角（ Row 、Pitch 、Yaw ， RPY ）（α、β、γ） 表示動(dòng)平臺(tái)相對(duì)定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求解機(jī)構(gòu)3 個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)角（θ1 、θ2 、θ3 ）。

B（A）T 即動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)的 RPY 變換矩陣，為

式中， sθ、 cθ分別代表 sin θ、 cos θ，θ=α、β、γ。下同。

式（3）可改寫為

機(jī)構(gòu)3 個(gè)分支的驅(qū)動(dòng)軸軸線矢量、主動(dòng)桿和從動(dòng)桿之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線矢量、從動(dòng)桿與動(dòng)平臺(tái)之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線矢量可以分別用 ui 、vi 和 wi 表示。

3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的軸線矢量可以表示為

式中，i、j、k 分別為向量的3 個(gè)方向分量。

3個(gè)驅(qū)動(dòng)軸的軸線矢量均在全局坐標(biāo)系中的 XY 平面上。φ i 為第 i 分支驅(qū)動(dòng)軸的軸線矢量與第1 分支驅(qū)動(dòng)軸軸線矢量的夾角。

由 D-H 坐標(biāo)法可得出3個(gè)分支主動(dòng)桿和從動(dòng)桿之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線矢量 vi 為

由3 個(gè)分支的從動(dòng)桿與動(dòng)平臺(tái)的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)可知，第 1分支的末端軸線矢量與動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系 X 軸矢量平行，第2 分支、第3 分支末端軸線矢量與動(dòng)坐標(biāo)系 Z 軸矢量平行。由此，在動(dòng)坐標(biāo)系下，各分支從動(dòng)桿與動(dòng)平臺(tái)旋轉(zhuǎn)副的軸線矢量 wi 為

根據(jù)該球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以得到

聯(lián)立可得

至此，根據(jù)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)的 RPY 轉(zhuǎn)角（α、β、γ） ，得到了機(jī)構(gòu)3 個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度（θ1 、θ2 、θ3 ）。

1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

給出機(jī)構(gòu)3 個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度（θ1 、θ2 、θ3 ），求解機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)3 個(gè)方向的轉(zhuǎn)角（α、β、γ）。

令 t1= tan （θ1 /2） ， t2= tan （θ2/2） ， t3= tan （θ3/2），由運(yùn)動(dòng)學(xué)反解式（9）可得

再根據(jù) RPY 變換矩陣的性質(zhì)，可建立約束方程為

聯(lián)立式（10） 、式（11）得

其中，（α、β、γ） 與變換矩陣B（A）T 的關(guān)系為

給定θ 1、θ2 、θ3 的值，利用 Matlab 軟件求解方程組（12） ，得到變換矩陣第1 列和第3 列的值，將其代入到式（13）中，即得出機(jī)構(gòu)的正解 （α、β、γ）。由機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可以得出，機(jī)構(gòu)的第1 分支與第 2分支、第3 分支存在解耦關(guān)系，第2 分支與第3 分支耦合。

2奇異位形分析

由球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)得出式（8），對(duì)其進(jìn)行微分得

由于矢量 w1、w2和 w3均交于動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)，因此，可將其視作繞同一軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，設(shè)繞該軸旋轉(zhuǎn)的角速度為ω，由向量的叉乘關(guān)系可得

對(duì)驅(qū)動(dòng)桿與從動(dòng)桿之間的軸線矢量 vi 進(jìn)行微分得

聯(lián)立式（14） 、式（15） 、式（16）得

式中，θ?i 為第 i 個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的角速度。

式（17）可改寫為

式中，θ? = [ θ? 1 θ?2 θ?3]T ;Jω= []T。

對(duì)變換矩陣 B（A）T進(jìn)行求導(dǎo)得

式中，[ ω] 矩陣為角速度矢量ω的反對(duì)稱矩陣形式，即

式（20）進(jìn)行矩陣變換可得

結(jié)合式（4）和式（21） ，可推導(dǎo)出等效角速度矢量ω 與（ α? β? γ? ） 的關(guān)系式。

式中，

與式（18）聯(lián)立，可得機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)軸角速度矢量與動(dòng)平臺(tái)相對(duì)定平臺(tái)的轉(zhuǎn)速矢量的關(guān)系為

因此，可得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆向雅可比矩陣為 Jk = Jω Jq 。顯然，當(dāng)| Jω| =0 或| Jq |= 0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異;| Jω| =∞時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生奇異。| Jω| =0 時(shí)，可知 Jω出現(xiàn)線性相關(guān)，此時(shí)機(jī)構(gòu)會(huì)得到一個(gè)額外自由度，導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)不確定。| Jq |= 0時(shí)，可得到-cβ= 0，計(jì)算得β= π/2或β= 3π/2。| Jω| =∞時(shí)，（ui × vi ）·wi =0，表明3 個(gè)軸線矢量處于同一平面，也就是機(jī)構(gòu)至少有1 個(gè)分支出現(xiàn)完全伸直或完全折疊的情況，此時(shí)，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)出現(xiàn)自由度缺失的情況，無法對(duì)驅(qū)動(dòng)輸入做出相應(yīng)響應(yīng)。

3工作空間與靈巧度分析

3.1 工作空間

球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)可用于機(jī)器人的肩、髖、踝關(guān)節(jié)的設(shè)計(jì)與使用，但每個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍并不一致，因此，對(duì)特定場(chǎng)景下球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析是必要的。本文中以人體髖關(guān)節(jié)[14]為應(yīng)用場(chǎng)景，表1 所示為人體髖關(guān)節(jié)的活動(dòng)角度，采用邊界搜索法求解機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，并將分析結(jié)果作為后續(xù)尺度綜合優(yōu)化的結(jié)果。

由第2 節(jié)中的雅可比矩陣分析可得到機(jī)構(gòu)的奇異位形位置，考慮到機(jī)構(gòu)的奇異位置和桿件之間的干涉，本文中以電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)角作為機(jī)構(gòu)的約束條件。第 1支鏈的轉(zhuǎn)角范圍為[-π/2，π/2]，第2 支鏈、第3 支鏈的轉(zhuǎn)角范圍為[0，π/2]，為使機(jī)構(gòu)尺寸盡可能緊湊，并考慮到后續(xù)加工要求，設(shè)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)3 個(gè)分支的初始半徑如表2 所示。

本文中綜合機(jī)構(gòu)的奇異位形約束和桿件干涉約束，選取機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端點(diǎn)作為末端執(zhí)行器的參考點(diǎn)，采用 Matlab 軟件，通過邊界搜索法對(duì)該球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間進(jìn)行搜索。求解該機(jī)構(gòu)工作空間的 Matlab 程序流程如圖2 所示。

利用表2 所示球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，設(shè)大腿的長(zhǎng)度為450 mm ，繪制工作空間，如圖3 所示。機(jī)構(gòu)繞 X 軸、 Y 軸和 Z 軸的運(yùn)動(dòng)范圍分別為[-55°， 70°]、[-30°，45°]和[-40°，40°]。由于桿件干涉的原因，機(jī)構(gòu)的工作空間無法滿足髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，需要對(duì)機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)進(jìn)行優(yōu)化來增大工作空間，基于機(jī)構(gòu)的 RPY 轉(zhuǎn)角構(gòu)建機(jī)構(gòu)的工作空間指標(biāo)。工作空間指標(biāo)為

式中，Δα= α max-α min;Δβ= βmax-βmin;Δγ= γ max-γ min。

3.2 靈巧度分析

Angeles 等[15]提出用最小條件數(shù)的倒數(shù)作為評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)即靈巧度指標(biāo)，Gosselin 等[16]為了獲得整個(gè)工作空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)性能提出了全局條件數(shù)指標(biāo)，用以衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)精度和控制精度性能。由于該機(jī)構(gòu)具有半解耦特性，Z 軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和 X 軸、Y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)獨(dú)立，因此，本文中分別考慮了 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)和 X 軸、 Y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的條件數(shù)，從運(yùn)動(dòng)維數(shù)上賦予兩條件數(shù)的耦合系數(shù)，結(jié)合兩種情況下的條件數(shù)綜合出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的具有耦合系數(shù)的全域均值靈巧度。具有耦合系數(shù)的全域均值靈巧度指標(biāo)為

式中，ω1 和ω 2分別為耦合分支和解耦分支的耦合度，ω1 +ω 2= 1。kα為耦合分支的全局均值靈巧度，僅考慮耦合分支在工作空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，靈巧度 kα的形式為

kβ為解耦分支的全局均值靈巧度，基于解耦分支的運(yùn)動(dòng)空間，得其形式為

式中，kKCI 為工作空間內(nèi)特定位置雅可比矩陣的條件數(shù)的倒數(shù)，即局部靈巧度。顯然，半解耦全局靈巧度的取值范圍為（0， 1）。當(dāng)靈巧度的取值接近1 時(shí)，表示機(jī)構(gòu)的全局運(yùn)動(dòng)學(xué)性能較好;反之，靈巧度接近 0時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能較差。因此，該機(jī)構(gòu)的優(yōu)化目標(biāo)是具有耦合系數(shù)的全域均值靈巧度指標(biāo)數(shù)值盡可能大。

4球面機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

4.1 優(yōu)化函數(shù)的建立

具有耦合系數(shù)的全域均值靈巧度指標(biāo)可以表示整個(gè)可達(dá)工作空間內(nèi)的性能優(yōu)劣，但不能表達(dá)出機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間大小。對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，可達(dá)工作空間的大小同樣影響機(jī)構(gòu)的操作性能。實(shí)際工程使用中，通常希望機(jī)構(gòu)不僅可達(dá)工作空間大，并且工作空間范圍內(nèi)操作性能好。因此，在對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化時(shí)，應(yīng)綜合考慮全域靈巧度指標(biāo)和工作空間指標(biāo)，而且期望兩種指標(biāo)都應(yīng)盡可能大，同時(shí)，考慮靈巧度指標(biāo)平均值和工作空間指標(biāo)大小，構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

式中，LKI 為全域均值靈巧度的倒數(shù);λ（λ≥0 ）為權(quán)重系數(shù);WKI （0 ≤ WKI ≤1）為工作空間指標(biāo)大小。

由于機(jī)構(gòu)第2 分支、第3 分支存在耦合而第1 分支相對(duì)解耦，因此，設(shè)全域均值靈巧度中ω 1= 2/3，ω 2= 1/3，為綜合評(píng)估工作空間指標(biāo)和靈巧度指標(biāo)，設(shè)置權(quán)重系數(shù)λ =20。

該球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)因其具有各轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線匯交于一點(diǎn)的特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)較為緊湊?？紤]動(dòng)平臺(tái)到兩側(cè)機(jī)架的距離相等，因此，該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量主要為3 個(gè)分支驅(qū)動(dòng)桿件的半徑 r1、r2、r3。通過改變3 個(gè)連桿半徑的取值，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，以優(yōu)化目標(biāo)函數(shù) W 作為參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化目標(biāo)為

參數(shù)的約束條件為

4.2 優(yōu)化算法的選擇與求解

采用粒子群（PSO ）算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。粒子群算法是模擬群體智能所建立起來的一種優(yōu)化算法，通過跟蹤兩個(gè)極值在全局范圍內(nèi)搜索最優(yōu)解，其中一個(gè)極值為單個(gè)粒子自我更新的最優(yōu)解，即個(gè)體極值;另一個(gè)極值為種群中的最優(yōu)解，即全局極值。不同于遺傳算法復(fù)雜的交叉和變異操作，粒子群算法具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)。

表3 所示為粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置，按照上述參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化算法進(jìn)行仿真得到的優(yōu)化曲線如圖4 所示。迭代次數(shù)在第6 代左右，目標(biāo)函數(shù)值 W 達(dá)到最小，其值為13.2655 ，表明適應(yīng)度函數(shù)已經(jīng)收斂到最優(yōu)解，即此時(shí)新型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間和全局靈巧度指標(biāo)達(dá)到平衡。

優(yōu)化后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如表4 所示。使用優(yōu)化后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，利用 Matlab 軟件編程繪制出新型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間散點(diǎn)圖，如圖5 所示。優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)繞 X 軸、Y 軸和 Z 軸的運(yùn)動(dòng)范圍分別為[-68°80°]、[-45°60°]和[-45°45°]。與第3.1 節(jié)中所述髖關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度相比，機(jī)構(gòu)優(yōu)化后的運(yùn)動(dòng)角度范圍略有超出，能夠基本滿足髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)要求。與初始運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)下繪制的工作空間相比，可以看出優(yōu)化后的工作空間相比之前在 YZ 平面和 XY 平面內(nèi)面積增加，且內(nèi)部沒有空洞，表明在工作空間內(nèi)無球面連桿干涉現(xiàn)象的發(fā)生，因此，該新型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)適用于仿人髖關(guān)節(jié)的使用場(chǎng)景。

5結(jié)論

提出了一種具有半解耦特性的新型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有繞 X 軸、Y 軸、Z 軸的3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度?；谑噶糠ǖ玫搅藱C(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解，通過正反解驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的半解耦特性，即分支1 控制機(jī)構(gòu)做繞動(dòng)平臺(tái) Z 軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，其余兩分支控制機(jī)構(gòu)做繞 X 軸、Y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。該特性一方面提高了機(jī)構(gòu)繞 Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，降低了機(jī)構(gòu)的控制難度，另一方面提高了機(jī)構(gòu)在 X 軸、Y 軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性。研究為機(jī)器人腕關(guān)節(jié)和攝像機(jī)定位裝置的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了參考。

針對(duì)機(jī)構(gòu)的解耦特性提出了一種具有耦合系數(shù)的靈巧度指標(biāo)，基于靈巧度指標(biāo)和工作空間構(gòu)建優(yōu)化函數(shù)，采用 PSO 算法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的尺度綜合，得到一組基本符合人體髖關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍的機(jī)構(gòu)參數(shù)，即 r1=60 mm 、r2=68 mm 、r3=58 mm 。優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)繞 X 軸、Y 軸和 Z 軸的運(yùn)動(dòng)范圍分別為[-68°， 80°]、 [-45°， 60°]和[-45°，45°]。結(jié)果表明，優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的工作空間增大且工作空間內(nèi)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能良好?；跈C(jī)構(gòu)的解耦特性提出的靈巧度指標(biāo)為研究解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能提供了思路。

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收稿日期：2021-06-24修回日期：2021-07-12

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（U1304510）

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目（19A460008）

作者簡(jiǎn)介：常振（1997—），男，河南商水人，碩士研究生;主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)。

通信作者：高建設(shè)（1977—），男，河南舞陽人，博士研究生，教授;主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)及多體系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)。