等變位斜齒錐齒輪動態(tài)嚙合特性有限元分析

摘要基于空間展成法加工原理，推導了等變位斜齒錐齒輪的齒面數(shù)學模型和齒面接觸線方程，建立了7 齒對齒面接觸的有限元動態(tài)分析模型，獲得了嚙合周期內邊緣接觸的位置、不同負載下齒面接觸應力和齒根彎曲應力的變化曲線，分析了斜齒錐齒輪穩(wěn)定嚙合時法向接觸力的變化規(guī)律和輪對重合度。結果表明，斜齒錐齒輪齒對在進入和退出嚙合時均發(fā)生了邊緣接觸，整個嚙合過程的接觸力曲線較為平滑，在3 齒嚙合區(qū)附近呈近對稱分布且具有較高的重合度，最大彎曲應力出現(xiàn)在大輪大端和小輪小端的齒根過渡圓角附近。

關鍵詞斜齒錐齒輪等變位邊緣接觸接觸力有限元分析

Finite Element Analysis of Dynamic Meshing Characteristic of Skew Bevel Gear with Equivocal Modification

Ran Xiaoping Gu Liyao Wang Jianfan

（School of Mechanical Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

Abstract On the basis of the principal of gear generating machining method，the gear flank mathematical model and gear tooth flank contact line equation of skew bevel gears with equivocal modification are derived，the contact finite element dynamic analysis model with seven teeth is built，the position of edge contact in a mesh-ing period，as well as the variation curves of contact stress and bending stress under different loads are obtained.The variation rule of normal contact force and the contact ratio of skew bevel gears in stable meshing period are analyzed. The result shows that edge contact occurs when skew bevel gears enter and exit meshing process . The contact force curve in the entire meshing period is smooth，which is symmetrically distributed near the three- tooth meshing period and has a high contact ratio. The maximum bending stress occurs near the tooth root transition fillet of the large end of the driven gear and the small end of driving pinion.

Key words Skew bevel gear Equivocal modification Tooth edge contact Contact force Finite element analysis

0引言

斜齒錐齒輪相較直齒錐齒輪具有高重合度系數(shù)、高承載能力、傳動平穩(wěn)等特點，是高速重載傳動系統(tǒng)中十分重要的零部件[1]652。學者們已利用球面漸開線齒廓生成原理及共軛嚙合原理實現(xiàn)了斜齒錐齒輪的參數(shù)化設計和虛擬加工[1]653-655[2]246-249[3]，由于斜齒錐齒輪齒面的獨特性和復雜性，需要對其在實際工程中的嚙合特性進行深入研究，特別是對于實際加載嚙合中的受力和邊緣接觸情況，應結合其齒面數(shù)學模型進行有限元分析，為斜齒錐齒輪傳動的設計和應用提供依據(jù)。

學者們對錐齒輪嚙合特性開展了大量研究分析。王中榮等[4-5]利用有限元法研究了直齒錐齒輪輪齒的接觸應力分布、變形規(guī)律和齒根彎曲應力。Litvin 等[6]利用有限元法研究了弧齒錐齒輪加載嚙合時的最大接觸應力和最大齒根彎曲應力，并且找到其邊緣接觸區(qū)域。鄧擁軍等[7]運用有限元法研究了弧齒錐齒輪在不同載荷和安裝誤差下的接觸斑點及接觸軌跡的變化規(guī)律。侯祥穎等[8]69-73利用有限元軟件進行了考慮邊緣接觸的弧齒錐齒輪加載接觸分析，定量分析了邊緣接觸軌跡隨載荷增加的變化規(guī)律。但是，國內外缺少等變位斜齒錐齒輪加載接觸分析方面的研究文獻，斜齒錐齒輪嚙合過程中接觸力的分析比較少見。

本文中基于空間展成法加工原理，建立了等變位斜齒錐齒輪副的齒面方程及其有限元模型，分析了變載荷條件下斜齒錐齒輪齒對嚙合周期內的齒面接觸應力和齒根彎曲應力以及齒輪接觸力的變化規(guī)律和輪對重合度。

1數(shù)學模型

本文中在已有研究的基礎上，通過空間展成法推導出等變位斜齒錐齒輪的齒面方程[2]246-248。如圖1 所示，產(chǎn)形輪與被加工齒輪以傳動比 i 嚙合傳動，產(chǎn)形輪齒面包絡生成被加工齒輪齒面，與產(chǎn)形輪固聯(lián)的坐標系為 S1，與被加工齒輪固聯(lián)的坐標系為 SP ，Σ為兩齒輪中心軸線 Z1和 ZP 的夾角。

大輪產(chǎn)形輪的齒形方案如圖 2所示。 O1′ab、 O1′cd 均為切向變位前的齒面; O1′a′b′、O1′c′d′均為切向變位后的齒面;齒面傾斜角為壓力角α;點 P 為齒面上節(jié)線 O1′N、O1′M 端點間圓弧中點; O1′P 為輪齒中心線;平面 O1′JP 垂直于節(jié)平面且與圖中半徑為 r 的圓相切于點 O1′;β為齒傾斜角;節(jié)平面上的齒厚弧長 PN=PM=S/2=πm/4; O1′N′、 O1′M′均為變位節(jié)線;切向變位弧長 NN′=MM′=xt ?m ;S 為節(jié)圓齒厚; m 為齒輪模數(shù);xt 為切向變位系數(shù)。大輪產(chǎn)形輪采用切向正變位對應齒面方程中的 xt 為正值，而小輪產(chǎn)形輪采用切向負變位對應齒面方程中的 xt 為負值，且兩者互為相反數(shù);大輪與小輪輪齒中心線 O1′P 關于 O1 Y1軸對稱，其他參數(shù)相同。

在固聯(lián)坐標系 S1中，產(chǎn)形輪齒面的參數(shù)方程和法矢量方程為

式中，u1、θ1 均為產(chǎn)形輪齒面的參數(shù);M 為齊次坐標變換矩陣;矩陣 L 由 M 去掉第4 行和第4 列得到。

對于大輪產(chǎn)形輪，式（1 ）中矩陣 M 表達式為

式中，矩陣各分量分別為

a 11= cos α cosβ cos ξ+ cos α sin β sin ξ

a 12= -cosβ sin ξ+ sin β cos ξ

a 13= sin α cosβ cos ξ+ sin α sin β sin ξ

a21= cos α cosβ sin ξ- cos α sin β cos ξ

a22= sin β sin ξ+ cosβ cos ξ

a23= sin α cosβ sin ξ- sin α sin β cos ξ

式中，ξ為圖2（b）中節(jié)平面上輪齒中心線 O1′P 與變位節(jié)線 O1′N′的夾角，表達式為

對于小輪產(chǎn)形輪，式（1 ）中矩陣 M 表達式為

式中，矩陣各分量分別為

其中，ξ表達式為

上述式中，z 為產(chǎn)形輪齒數(shù);xt 為切向變位系數(shù)。

被加工齒輪齒面與產(chǎn)形輪齒面互為共軛齒面，則在與被加工齒輪固聯(lián)的坐標系 SP 中，被加工齒輪的齒面方程和法矢量方程分別為

式中，MP1為坐標系 S1到坐標系 SP 的變換矩陣;矩陣 MP1中的Σ為兩齒輪的軸交角;φ 1、φ2分別為產(chǎn)形輪齒面和被加工齒輪齒面到達嚙合位置所轉動的角度;矩陣 LP1由 MP1去掉第4 行和第4 列得到。MP1的表達式為

式中，矩陣各分量為

根據(jù)齒輪接觸條件[9]，得大輪和小輪嚙合時的齒面接觸方程為

式中，r1、r2分別為小輪和大輪在同一坐標系中的齒面方程;n1、n2分別為小輪和大輪在同一坐標系中的齒面法矢量方程。

根據(jù)上述被加工齒輪齒面的數(shù)學模型，考慮表1 中所示斜齒錐齒輪副的基本參數(shù)，根據(jù)式（1 ）～式（4） 求解齒面離散點坐標，使用 NX 軟件對被加工齒輪齒面進行重構，建立等變位展成斜齒錐齒輪副三維實體模型，如圖3 所示。

2有限元模型

將斜齒錐齒輪的三維幾何模型導入 Hypermesh 中進行結構化網(wǎng)格劃分。將齒輪切割得到單個輪齒，再對單個輪齒剖分為6 部分，進行結構化網(wǎng)格劃分。根據(jù)齒面接觸斑點連續(xù)的網(wǎng)格尺寸條件[10]，分別在工作齒面齒高方向劃分40層單元，在齒根過渡部分劃分10層單元，在齒寬方向劃分140層單元。綜合考慮模型計算精度和計算時間，分別對大輪與齒輪中心軸線上的參考點建立受力耦合約束，對小輪與齒輪中心軸線上的參考點建立運動耦合約束，劃分的單齒嚙合有限元網(wǎng)格模型如圖4 所示。

為保證齒面接觸分析的穩(wěn)定性和收斂性，在 Abaqus 動態(tài)分析環(huán)境將分析過程分為3 步：①小輪繞齒輪軸線施加微小轉動量，使小輪與大輪齒面接觸;②利用幅值曲線中的平滑分析步，使繞大輪軸線的負載轉矩緩慢增大到給定值;③給小輪施加繞軸線轉動一定角度，使小輪驅動大輪轉動。

齒面接觸分析時，在齒面接觸斑點連續(xù)的同時，也需要考慮接觸單元的數(shù)量對計算結果精度的影響。本文中選取斜齒錐齒輪單齒嚙合有限元模型驗證所劃分單元的有效性。小輪完整嚙合周期的瞬時接觸線如圖5 所示，根據(jù)齒面接觸方程式（6）可以得到斜齒錐齒輪副瞬時接觸線為空間直線[11]。小輪完整的嚙合周期為由齒根位置 P點進入嚙合到齒頂位置 N 點退出嚙合，其中，進入嚙合區(qū)由 P點到接觸線1 和退出嚙合區(qū)由接觸線2 到 N點間的嚙合位置由于邊緣接觸而出現(xiàn)應力集中，故本文中選取接觸線1 到接觸線2 間的5 個嚙合位置進行加載接觸分析，獲得其最大接觸應力，并將其與基于赫茲接觸理論的解析式（7） [12-13]進行對比（表2）[ 14]，驗證了有限元模型的準確性。

式中，P0為最大接觸應力;P 為齒面所受法向載荷; E 為彈性模量;R 為綜合曲率半徑;L 為接觸線長度。

考慮到輪齒動態(tài)接觸分析存在3 對齒同時嚙合的情況，故本文中選取斜齒錐齒輪7 齒對有限元模型進行加載嚙合接觸分析，裝配模型如圖6 所示。齒輪材料選用45鋼，彈性模量為206 GP ，泊松比為0.3，大輪施加的負載轉矩分別為200 N ·m 和500 N ·m。

3嚙合特性分析

3.1 齒面接觸應力與齒根彎曲應力

通過7 齒對的有限元分析，獲得的整個模型的接觸應力及最大彎曲應力云圖如圖7 所示。圖7（ a ）所示為某瞬時3 齒接觸應力云圖，可以看出，中間齒接觸線較長且無邊緣接觸，另外兩齒則由于邊緣接觸而出現(xiàn)應力集中。通常， Mise 應力可作為通用的應力計算準則，但斜齒錐齒輪嚙合時，小輪齒面接觸區(qū)域距離齒根過渡曲面較近，因而， Mise 接觸應力會影響齒根處的應力分布[15]，故選用最大主應力來表征齒根過渡曲面的彎曲強度。圖7（b）和圖7（ c ）所示分別為負載500 N ·m 時大輪和小輪的最大主應力云圖，由圖中可知，大輪的最大彎曲應力出現(xiàn)在靠近輪齒大端齒根過渡曲面附近，小輪的最大彎曲應力出現(xiàn)在靠近輪齒小端齒根過渡曲面附近。

為了直觀反映斜齒錐齒輪的嚙合特性，提取各嚙合位置的最大齒面接觸應力和齒根彎曲應力，其與小輪轉角相關的應力變化曲線分別如圖8 和圖9 所示。圖8 中的接觸應力曲線中，邊緣接觸區(qū)間較大，而正常嚙合區(qū)間較小，這是因為斜齒錐齒輪副進入和退出嚙合是一個緩慢過渡的過程。從大輪接觸應力云圖7（ a）中可見，齒對在進入嚙合區(qū)間，大輪齒頂與小輪齒根邊緣接觸，使得小輪齒根過渡曲面附近的接觸應力較大;在正常嚙合區(qū)間，在圖5 中接觸線2 位置附近達到接觸應力最大值;在退出嚙合區(qū)間，小輪齒頂與大輪齒根邊緣接觸，使得小輪齒頂處接觸應力較大。由圖8 中還可以看出，兩種負載下的接觸應力曲線變化趨勢和邊緣接觸區(qū)基本相同，這是因為負載大小并未改變齒輪副接觸線的分布和接觸線的長度，這與點接觸的弧齒錐齒輪副有所不同[8]71-72。

圖9 所示彎曲應力變化曲線中，在進入嚙合區(qū)間，大輪小端接觸線距離齒根的高度遠大于小輪，所以，大輪彎曲應力大于小輪;同理，在退出嚙合區(qū)間，小輪大端接觸線距離齒根的高度遠大于大輪，所以，小輪彎曲應力高于大輪。由圖9 中還可以看出，當大輪小端齒頂進入嚙合時，出現(xiàn)了一個彎曲應力極值點，另一個彎曲應力極值點出現(xiàn)在雙齒嚙合最高點位置，即圖7（b）中的 A點處;而小輪是小端齒根進入嚙合，其唯一的彎曲應力極值點出現(xiàn)在雙齒嚙合最高位置，即圖7（ c ）中的 B點處。圖10所示為彎曲應力云圖中點A 和點 B 的時間歷程曲線，可以看出，點 A 和點 B 在嚙合周期內只存在1 個峰值，且?guī)缀醭霈F(xiàn)在同一嚙合位置。

3.2 齒面法向接觸力

斜齒錐齒輪齒廓曲面的名義法向接觸力 Fn 可在大輪齒寬中點的分度圓處分解為切向力 Ft 、徑向力 Fr 和軸向力 Fa 共3 個分量，根據(jù)直齒錐齒輪法向接觸力的解析式，斜齒錐齒輪法向接觸力的表達式為

式中， T 為施加的負載轉矩; dm 為大輪齒寬中點分度圓直徑;αn 為法向壓力角;δ為大輪節(jié)錐角;β為齒寬中點的螺旋角。

通過設置大輪負載轉矩得到的整個模型法向接觸力變化曲線如圖11所示。由圖11可知，接觸力的變化過程包括：建立接觸階段、緩慢加載階段和穩(wěn)定嚙合階段，分別對應有限元模型前處理中的3 個分析步。根據(jù)式（8）計算可得，負載轉矩為200 N ·m 和500 N · m 時，接觸力計算值分別為3 609.2 N 和9 023.1 N 。在穩(wěn)定嚙合階段，由于輪齒不斷進入和退出嚙合，接觸力呈現(xiàn)小范圍的上下波動，其中，負載轉矩越大，對應接觸力波動值就越大，最大波動值分別為149.6 N 和-247.3 N。

3.3 輪對重合度

根據(jù)文獻[16]和文獻[17]中的齒輪重合度計算方法，通過測量單齒對參與嚙合的時間ΔT 和相鄰兩齒對進入嚙合的時間差Δt ，則重合度為

將接觸齒對接觸力的時間歷程輸出，進一步得到中間相鄰3 對輪齒接觸力時間歷程曲線如圖12所示，由式（9）計算可得，當負載分別為200 N ·m 和500 N ·m 時的輪對重合度分別為2.313和 2.375。從圖 12中可知，斜齒錐齒輪接觸力曲線較為平滑，在3 齒嚙合區(qū)附近呈近對稱分布，且具有較高的重合度，滿足齒輪傳動平穩(wěn)性的必要條件。

4結論

推導了等變位斜齒錐齒輪齒面數(shù)學模型及齒輪副接觸線方程，建立了斜齒錐齒輪有限元動態(tài)接觸分析模型，研究了斜齒錐齒輪的嚙合特性。主要結論如下：

（1 ）齒對進入嚙合時，大輪齒頂發(fā)生邊緣接觸，使得小輪齒根過渡曲面附近接觸應力值較大;齒對退出嚙合時，小輪齒頂發(fā)生邊緣接觸，使得小輪齒頂處應力值較大;整體來看，小輪在進入嚙合時的齒面接觸應力值大于退出嚙合時的齒面接觸應力值。

（2 ）大輪和小輪的彎曲應力極值點都發(fā)生在輪齒退出嚙合時的雙齒嚙合最高點附近，大輪的最大彎曲應力出現(xiàn)在靠近大端的齒根過渡圓角處，小輪的最大彎曲應力出現(xiàn)在靠近小端的齒根過渡圓角處。

（3 ）斜齒錐齒輪副加載嚙合過程中，在穩(wěn)定嚙合階段，接觸力時間歷程曲線在理論計算值附近上下波動，其中，負載越大對應波動值也越大;同時，驗證了計算結果與有限元分析結果的一致性。

（4 ）斜齒錐齒輪單齒接觸力曲線較為平滑，在3 齒嚙合區(qū)附近呈近對稱分布，且具有較高的重合度，滿足齒輪傳動平穩(wěn)性的必要條件。研究結果為斜齒錐齒輪的進一步拓撲修形和性能優(yōu)化奠定了基礎。

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收稿日期：2021-07-09修回日期：2021-08-23

基金項目：中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金（2682020CX33）

作者簡介：冉小平（1996—），男，重慶忠縣人，在讀碩士研究生;主要研究方向為斜齒錐齒輪拓撲修形與有限元分析。

通信作者：谷麗瑤（1983—），男，遼寧沈陽人，副教授、碩士生導師;研究方向為高速切削理論與應用、高性能錐齒輪設計與制造。