公理化定義矩陣行列式的性質(zhì)推導

摘 要：行列式的理論和應用是代數(shù)中的一個經(jīng)典問題，矩陣的行列式是賦予矩陣的一個數(shù)，將矩陣的列向量視為變量，行列式可以視為列向量組的一個函數(shù)，其公理化定義為矩陣的性質(zhì)推導和分析帶來方便?；谛辛惺降墓矶x，從公理出發(fā)，給出相關重要性質(zhì)的詳細推導，直接由性質(zhì)研究線性方程組解的存在性和解的表達式。推導過程的簡潔與性質(zhì)間的關聯(lián)，體現(xiàn)了公理化定義的優(yōu)點。

關鍵詞：矩陣的行列式;公理定義;行列式性質(zhì);推導

中圖分類號：O151.2

文獻標志碼：A

矩陣的行列式值是矩陣的一個不變量，它是代數(shù)中一個重要的基礎概念，對矩陣各種性質(zhì)研究以及矩陣在其他領域中的應用，幾乎都與行列式相關。本文考慮的矩陣均指n階方陣，給定一個n階矩陣，可用列向量表示為

A=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=（A1 A2 … An）

通常，矩陣的行列式定義以如下公式給出[1]：

A=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）...an，π（n）（1）

其中，π是集合{1，2，…，n}上的一個置換。置換π可以被分解為對換的乘積，π的奇偶性由它被分解為最少對換個數(shù)的奇偶性決定，此與序列（π（1），π（2），…，π（n））的逆序數(shù)（記為τ（π））的奇偶性一致。式（1）中的求和則是取遍{1，2，…，n}上的所有置換。

從式（1）可以找到二階和三階行列式的計算規(guī)律，并用于計算。但對于四階以上的n階行列式，利用式（1）作為計算公式是不現(xiàn)實的。實際計算時，主要是基于行列式的性質(zhì)不斷地降階，或化為特殊矩陣，或按性質(zhì)進行計算。

一般，有關行列式的性質(zhì)是由式（1）推導，部分性質(zhì)推導較為復雜?；诠砘x的行列式，從公理形式出發(fā)進行推導，在邏輯思路、推導過程、簡潔性等方面都有其優(yōu)點。

文獻[2]中以矩陣的列向量（A1，A2，…，An）作為變量，引入行列式函數(shù)，以公理形式給出了行列式定義。

本文基于公理本身，討論了公理的等價性和獨立性，從公理化定義行列式出發(fā)，直接導出行列式常見的基本性質(zhì)和普通定義計算式（1），并給出相關重要性質(zhì)的推導。

1 行列式的公理化定義及等價公理

定義[2] 設矩陣A=（A1，A2，…，An），考慮一個實數(shù)函數(shù)det（A1，A2，…，An），如果函數(shù)滿足如下公理條件，則稱det（A1，A2，…，An）為矩陣A的行列式。

公理1 對于任意固定的（1≤k≤n），以Ak為變量，其余列不變的情況下誘導出的函數(shù)detk（Ak）具有齊次線性性質(zhì)。即，對于任意常數(shù)a，b，detk（aAk+bBk）=adetk（Ak）+bdetk（Bk）。

公理2 若存在相鄰兩列相等，其值為0。即，如果存在某個1≤klt;n，Ak=Ak+1，則det（A1，A2，…，An）=0。注意：由此公理自然導出，對矩陣A，有detk（Ak+1）=0。

公理3 對于單位矩陣U=（U1，U2，…，Un），det（U1，U2，…，Un）=1。其中Uk為第k個單位向量。

首先，可由公理條件直接推出如下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1 如果矩陣中有一列全為0，則行列式為0。

事實上，如果矩陣A的第k列全為0，由公理1中的齊次性，有detk（0）=detk（0·0）=0·detk（0）=0。

性質(zhì)2 將矩陣中一列的c倍加到相鄰一列后，則行列式不變。

假設由矩陣中的第k+1列的c倍加到第k列，則新矩陣的第k列為Ak+cAk+1。由公理2，detk（Ak+1）=0。再由公理1，有detk（Ak+cAk+1）=detk（Ak）+c·detk（Ak+1）=detk（Ak）。

性質(zhì)3 將矩陣中相鄰兩列互換后，行列式改變符號。

證明 設A=（A1，…，Ak，Ak+1，…，An），兩列互換后得到矩陣A′=（A1，…，Ak+1，Ak，…，An）。

將矩陣A中第k列加到第k+1列，得到B=（A1，…，Ak，Ak+Ak+1，…，An）;將矩陣B中第k+1列的（-1）倍加到第k列，得到C=（A1，…，（-1）Ak+1，Ak+Ak+1，…，An）;將矩陣C中第k列加到第k+1列，得到D=（A1，…，（-1）Ak+1，Ak，…，An）。

由性質(zhì)2以及公理1中的齊次性質(zhì)，有

det（A1，…，Ak，Ak+1，…，An）

=det（A1，…，Ak，Ak+Ak+1，…，An）

=det（A1，…，（-1）Ak+1，Ak+Ak+1，…，An）

=det（A1，…，（-1）Ak+1，Ak，…，An）

=（-1）·det（A1，A2，…，Ak+1，Ak，…，An）

性質(zhì)1～3完全由公理本身得到。很顯然：①性質(zhì)1和性質(zhì)2可以導出公理2;②性質(zhì)1和性質(zhì)3也可以導出公理2。換言之，分別以性質(zhì)1和性質(zhì)2取代公理2，以性質(zhì)1和性質(zhì)3取代公理2，可以得到行列式函數(shù)的另外兩個等價公理定義。

請注意：公理定義中公理1和公理3是本質(zhì)的。

2 行列式的其他性質(zhì)

下面的性質(zhì)表明：公理2、性質(zhì)2和性質(zhì)3中的“相鄰”條件可以去掉。

性質(zhì)4 將矩陣中不同兩列互換后，行列式改變符號。

證明 指定兩個不同列號i，j（ilt;j），記t=j-i。在矩陣A=（A1，…，Ai-1，Ai，Ai+1…，Aj-1，Aj，Aj+1…，An）中，第i列向后作t-1次相鄰列互換，得到B=（A1，…，Ai-1，Ai+1…，Aj-1，Ai，Aj，Aj+1…，An）;在矩陣B中，第j列向前作t次相鄰列互換，得到C=（A1，…，Ai-1，Aj，Ai+1…，Aj-1，Ai，Aj+1…，An）。

因此，一共作了奇數(shù)次相鄰列互換。由性質(zhì)3，det（A）=（-1）det（C）。即：矩陣中不同兩列互換后，則行列式改變符號。

類似證明：

性質(zhì)5 如果矩陣中有兩列相等，則行列式為0。

性質(zhì)6 將矩陣中任一列的c倍加到另一列后，行列式不變。

證明 任意指定兩個不同列號i，j（ilt;j）。如果是j=i+1，則性質(zhì)2即得。否則，先將A=（A1，…，Ai，Ai+1，…，Aj，…，An）中第i+1列與第j列對調(diào)，得到B=（A1，…，Ai，Aj，…，Ai+1，…，An）;在矩陣B中，第i列的c倍加到第i+1列，得到C=（A1，…，Ai，cAi+Aj，…，Ai+1，…，An）;在矩陣C中，第i+1列與第j列對調(diào)，得到D=（A1，…，Ai，Ai+1，…，cAi+Aj，…，An）。

由性質(zhì)4，det（A）=（-1）det（B）; 由性質(zhì)2，det（B）=det（C）。再由性質(zhì)4，det（C）=（-1）·det（D）。所以，det（A）=det（D）。即：矩陣中任一列的c倍加到另一列后，行列式不變。

列號集{1，2，…，n}上的一個置換π=12…nπ（1）π（2）…π（n）可以表示成若干輪換，其中元素個數(shù)稱為輪換長度，所有輪換中的元素集簇構(gòu)成集合{1，2，…，n}的一個劃分。如：

π=123456789283675419=（1，2，8）（3）（4，6，5，7）（9），其輪換的長度分別為：3，1，4，1。通常，略去單點輪換后簡單地表示為π=（1，2，8）（4，6，5，7），未出現(xiàn)的元素表示自己映射到自己。長度為2的輪換稱為對換。

可以驗證：一個長度為k的輪換可以表示成k-1個對換的復合，且為最小對換個數(shù)：

（i1，i2，i3，…，ik）=（i1，i2） ° （i1，i3） ° … ° （i1，ik）（2）

如：（4，6，5，7）=（4，6） ° （4，5） ° （4，7），其中輪換運算的順序是“從左到右”。

假定將一個置換π分解為輪換積形式時，其輪換的長度序列為l1，l2，…，lm，則一個置換π可以表示為（l1-1）+（l2-1）+…+（lm-1）個對換的復合。記

τ#（π）=（l1-1）+（l2-1）+…+（lm-1）

它記錄了置換π表示為對換的個數(shù)。

可以證明：

1）τ#（π）是置換π表示為對換時的最小對換個數(shù)。因此，這個數(shù)是唯一的，以其奇偶性定義置換π的奇偶性。

2）τ#（π）的奇偶性與整數(shù)序列（π（1），π（2），…，π（n））的逆序數(shù)τ（π）的奇偶性一致。

事實上，單位置換對應的逆序數(shù)為0。相鄰元素作對換后，逆序數(shù)的改變相差1。一般對換使用后，逆序數(shù)的改變相差一個奇數(shù)。

有了上面的討論，由性質(zhì)4，我們有：

性質(zhì)7 給定A=（A1，A2，…，An），以及列號集{1，2，…，n}上的一個置換π，有如下關系：

det（Aπ（1），Aπ（2），…，Aπ（n））=（-1）τ（π）det（A）（3）

特別，由公理3，對于單位矩陣U=（U1，U2，…，Un），我們有

det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））=（-1）τ（π）（4）

其中，τ（π）為整數(shù)序列（π（1），π（2），…，π（n））的逆序數(shù)。

矩陣行列式有一條重要性質(zhì)：矩陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置AT的行列式相等。我們現(xiàn)在來看一下這條性質(zhì)如何從公理出發(fā)得到。

首先，我們注意到：對于單位矩陣U，U=UT。從而，det（UT）=det（U）=1。

對于A=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=（A1，A2，…，An）， 其轉(zhuǎn)置矩陣表示為

AT=（U1，U2，…，Un）a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann

=∑nj=1a1，jUj，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj（5）

將公理1應用到式（5）中，從第1個列向量開始，依次展開：

det（AT）=det（∑nj=1a1，jUj，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）

=a1，1det（U1，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）+

a1，2det（U2，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）+

…+a1，ndet（Un，∑nj=1a2，jUj，…，∑nj=1an，jUj）（6）

由性質(zhì)5，矩陣中有兩列相等時，行列式為0。因此，式（6）完全展開后得到

det（AT）=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（7）

其中，求和是取遍{1，2，…，n}上所有置換。

為了看清楚這一點，讀者可以n=3推導式（7）。

由式（4），我們有

det（AT）=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）（8）

同樣，對于

A=（A1，A2，…，An）

=∑ni=1ai，1Ui，∑ni=1ai，2Ui，…，∑ni=1ai，nUi

行列式展開后得到

det（A）=∑πaπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（9）

我們知道：{1，2，…，n}的所有置換π，在復合運算下構(gòu)成對稱群Sn，對于任一個置換π，逆元π-1與π一一對應，并且τ#（π-1）=τ#（π）。從而，（-1）τ（π-1）=（-1）τ#（π-1）=（-1）τ#（π）=（-1）τ（π）。

改寫式（9）中系數(shù)項中的乘積順序。行、列下標自然順序調(diào)整有如下關系：

aπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））（10）

因為

aπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=（-1）τ（π）a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）det（U1，U2，…，Un）

=（-1）τ（π）+τ（π-1）a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）·

det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））

=a1，π-1（1）a2，π-1（2）… an，π-1（n）det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））

因此，我們有

det（A）=∑πaπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），n·

det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=∑πa1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）·

det（Uπ-1（1），Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））（11）

當求和取遍所有置換時，有如下關系：

det（A）=∑πa1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）det（Uπ-1（1），

Uπ-1（2），…，Uπ-1（n））

=∑π-1a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=det（AT）（12）

由此，有如下性質(zhì)：

性質(zhì)8 矩陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置AT的行列式相等。即，det（AT）=det（A）。

有了性質(zhì)8，行列式公理定義中，由“列向量”改為“行向量”作變量定義行列式函數(shù)同樣有上述平行性質(zhì)。因此，有關“列”的性質(zhì)，對“行”同樣成立。

同時，由式（11）及公理3，我們可以得到通常行列式的定義公式：

det（A）=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）·

det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））

=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）·

det（U1，U2，…，Un）

=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）（13）

其中，求和是取遍{1，2，…，n}的所有置換π，一共有n！項。

由于是對全體置換求和，我們有

∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）·

=∑π（-1）τ（π-1）a1，π-1（1）a2，π-1（2）…an，π-1（n）（14）

在上述推導過程中，我們得到如下2個有用公式：

det（U1，U2，…，Un）a11a21...an1a12a22...an2a1na2n...ann

=∑πa1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）det（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（15）

det（U1，U2，…，Un）a11a12...a1na21a22...a2nan1an2...ann

=∑πaπ（1），1aπ（2），2…aπ（n），ndet（Uπ（1），Uπ（2），…，Uπ（n））（16）

注意：式（15）中，等式左端矩陣部分是取A的轉(zhuǎn)置AT，右端求和系數(shù)項中的乘積是以行標為自然順序;而在式（16）中，等式左端矩陣部分是取A，右端求和系數(shù)項中的乘積是以列標為自然順序。

用公理方法，可以自然地推出著名的Laplace定理：矩陣乘積（矩陣乘）的行列式等于矩陣行列式的乘積（實數(shù)乘）。即，det（AB）=det（A）det（B）。

設有兩個同階方陣A和B，其矩陣乘法AB形式可以表示為

AB=（A1，A2，…，An）b11b12…b1nb21b22…b2nbn1bn2…bnn（17）

仿式（15）（16），我們有

det（AB）=det（∑ni=1bi，1Ai，∑ni=1bi，2Ai，…，∑ni=1bi，nAi）

=∑πbπ（1），1bπ（2），2…bπ（n），n·

det（Aπ（1），Aπ（2），…，Aπ（n））

=∑πb1，π-1（1），1b2，π-1（2）…bn，π-1（n）·

det（Aπ-1（1），Aπ-1（2），…，Aπ-1（n））

=∑π（-1）τ（π-1）b1，π-1（1），1b2，π-1（2）… bn，π-1（n）·

det（A1，A2，…，An）

=det（A1，A2，…，An）·

∑π（-1）τ（π-1）b1，π-1（1）b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

=det（A1，A2，…，An）·

∑π-1（-1）τ（π-1）b1，π-1（1）b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

=det（A1，A2，…，An）·det（B1，B2，…，Bn）

=det（A）·det（B）

其中

∑π（-1）τ（π-1）b1，π-1（1），1b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

=∑π-1（-1）τ（π-1）b1，π-1（1），1b2，π-1（2）…bn，π-1（n）

是依據(jù)求和取遍{1，2，…，n}的所有置換。

3 高階行列式降階與行列式的分解

我們知道：高階行列式的計算主要是通過降階。

由公理得到的一些主要性質(zhì)（如：行（列）互換行列式變號，一行（列）的c倍加到另行（列）行列式不變），以及如下的降階原理可以計算n階行列式。

對于n階矩陣A=（A1，…，An），可以表示成如下形式：

A=a1，1a1，2…a1，nB1B2…Bn（18）

如果A中第1行全為0，則det（A）=0，否則至少有一個不為0。于是，通過適當?shù)牧谢Q，以及第1（行）列的某個倍數(shù)加到另一（行）列，矩陣可化為如下形式：

A=a0…00B2…Bn（19）

其中，矩陣B=（B2，…，Bn）為n-1階方陣。對于形如式（19）的矩陣，利用已經(jīng)由公理推導出的行列式

det（A）=∑π（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）

可以推導出：det（A）=adet（B）。

我們現(xiàn)在觀察n階矩陣A的行列式分解為它的n-1階子矩陣的行列式之間的關系：

對于式（18）表示的矩陣A，記A[i，j]為在矩陣A中刪去第i行、第j列后得到的n-1階子矩陣。

展開如下公式：

det（A）=deta1，1a1，2…a1，nB1B2…Bn

=deta1，1+0a1，2…a1，n0+B1B2…Bn

=deta1，1a1，2…a1，n0B2…Bn+

det0a1，2…a1，nB1B2…Bn

=a1，1det（A[1，1]）+

det0a1，2…a1，nB1B2…Bn

=a1，1det（A[1，1]）+…

我們有

det（A）=∑nj=1（-1）j-1a1，jdet（A[1，j]）（20）

一般地，對于固定的i，有如下分解計算公式：

det（A）=∑nj=1（-1）i+j-2ai，jdet（A[i，j]）

=∑nj=1（-1）i+jai，jdet（A[i，j]）（21）

對于式（20），對于2≤i≤n，由兩行相同行列式為0，我們有

∑nj=1（-1）j-1ai，jdet（A[1，j]）=0（22）

由此導出一條重要性質(zhì)：如果行列式det（A）≠0，對于第1個n維單位向量U1，線性方程組

x1A1+…+xnAn=U1

有解，其中解x（1）的分量

x（1）j=（-1）j-1det（A[1，j]）det（A）" （j=1，…，n）（23）

一般地，類似方法可得到：如果行列式det（A）≠0，對于第k個n維單位向量Uk，線性方程組

x1A1+…+xnAn=Uk

有解，其中解x（k）的分量計算公式為

x（k）j=（-1）k+jdet（A[k，j]）det（A）" （j=1，…，n） （24）

請注意：在det（A）≠0條件下，文中線性方程組解的存在性完全由公理及行列式性質(zhì)獨立推出，并非由det（A）≠0條件按如下路徑得到：A1，…，An線性無關，由A1，…，An構(gòu)成Rn空間的生成系，再由生成系生成B（如文獻[2]）。由生成系生成B要用到線性方程組的解，從邏輯上講，這里出現(xiàn)一個循環(huán)推導問題。

將式（23）（24）組合在一個公式中，得到

（A1，…， An）x（1）1x（2）1…x（n）1x（1）2x（2）2…x（n）2x（1）nx（2）n…x（n）n=（U1，…，Un）

由此，矩陣A的逆矩陣

x（1）1x（2）1…x（n）1x（1）2x（2）2…x（n）2x（1）nx（2）n…x（n）n

=1det（A）c1，1c1，2...c1，nc2，1c2，2...c2，ncn，1cn，2...cn，n

ci，j=（-1）i+jdet（A[i，j]）（25）

這就是可逆矩陣的逆矩陣計算公式（方法）——代數(shù)余子式方法。

4 線性方程組解的存在性及解的表示

行列式之所以重要，最主要的原因之一是它提供了求解線性方程組的一般方法：克萊姆（Cramer）法則。

公理化定義的行列式很容易導出克萊姆法則，這體現(xiàn)了公理化方法的優(yōu)點。

給定一組n維列向量A1，…，Am，稱A1，…，Am線性相關，指：存在其中一個列向量Ak，Ak可以表示由其余列向量的線性組合表示。如果不是線性相關，則稱為線性無關（或線性獨立）。

線性相關等價于：存在一組不全為0的數(shù)α1，…，αm，使得α1A1+…+αmAm=0。線性無關等價于：對任意一組數(shù)α1，…，αm，如果α1A1+…+αmAm=0，則α1=…=αm=0。

在討論線性方程組解的存在性與系數(shù)矩陣的行列式之間的關系之前，從邏輯上講，我們應該先考慮行列式與列向量線性相關性質(zhì)之間的關系，而不是從線性方程組解的性質(zhì)討論這一關系。

關于向量組的線性相關性質(zhì)，容易驗證：①在一個向量組中，如果存在部分向量構(gòu)成的子向量組線性相關，則該向量線性相關;②對一組n維列向量A1，…，Am，B1，…，Bm是由A1，…，Am在同一位置（如第1位置）插入0后得到n+1維向量組，則A1，…，Am與B1，…，Bm的線性相關性一致。

由第3節(jié)得到的性質(zhì)，我們可以得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)9 對于矩陣A=（A1，…，An），如果det（A1，…，An）=0，并且A第1列都不全為0，則通過如下操作：

1）調(diào)整行的順序使（1，1）位置元素不為0;

2）將第1列的某個倍數(shù)加到第2，…，n列某一列，得到矩陣

A′=a0…0B1B2…Bn （a≠0）

其中det（B2，…，Bn）=0。

請注意：第一類操作只可能改變行列式符號，第二類操作不改變行列式值，因此

deta0…0B1B2…Bn=0

性質(zhì)9就是通常將一個矩陣劃為三角矩陣的方法：行列式值只改變符號。對于行列式為0的原始矩陣，每一步操作后所得到矩陣的行列式仍為0，并且A1，…，An與B1，…，Bn的線性相關性一致。

請注意：對于一階矩陣，當其行列式為0時，該矩陣只能為零矩陣。

由上述討論，矩陣A=（A1，…，An）中，A1，…，An的線性相關性可以由A的行列式值是否為0判定。

性質(zhì)10 對于矩陣A=（A1，…，An），向量組A1，…，An的線性相關性當且僅當det（A）=0。

證明 如果A1，…，An線性相關，則存在一個列向量Ak，Ak=α1A1+…+αk-1Ak-1+αk+1Ak+1…+αnAn，則由性質(zhì)6及性質(zhì)1，det（A1，…，Ak，…，An）=det（A1，…，0，…，An）=0。

反之，如果det（A）=0，如果A中有一列向量全為0，則A1，…，An中含有零向量，從而線性相關。否則，取定A1，其中至少有一個非零分量。按性質(zhì)9，從A可以得到一個形式如下的矩陣：

A′=a0…0B1B2…Bn （a≠0）

其中det（B）=det（B2，…，Bn）=0，且A1，…，An與B1，…，Bn的線性相關性一致。

對B重復上述操作（至多n-1次），可以在某一步上得到C=（Ck，…，Cn）（1lt;k≤n），其中含有一列全為0，并且A1，…，An與Ck，…，Cn的線性相關性一致。由于Ck，…，Cn含有零向量，從而線性相關。因此，A1，…，An線性相關。

利用性質(zhì)10，我們得到如下行列式與線性方程解之間的關系。

性質(zhì)11 對于線性方程x1A1+…+xnAn=B，我們有：

1）如果對于任意一個n維列向量B，方程有解，則det（A1，…，An）≠0。

2）如果det（A1，…，An）≠0，則對于任意給定的一個n維列向量B，方程有解。從而，如果存在某個n維列向量B，方程無解，則det（A1，…，An）=0。

證明 1） 假定對于任意的n維列向量B，方程有解，分別取B為單位向量U1，…，Un，記方程x1A1+…+xnAn=Ui的解為Bi，則（A1，…，An）（B1，…，Bn）=（U1，…，Un）。因此

det（（A1，…，An）（B1，…，Bn））

=det（U1，…，Un）=1

由Laplace定理：

det（（A1，…，An）（B1，…，Bn））

=det（A1，…，An）det（B1，…，Bn）

從而，det（A1，…，An）≠0。

2）假定det（A1，…，An）≠0，對于任意給定的n維列向量B=（bk），B可以表示為B=b1U1+…+bnUn，由第4節(jié)討論，對每個k， 線性方程x1A1+…+xnAn=Uk有解，且解x（k）的分量x（k）j=（-1）k+jdet（A[k，j]）det（A） （j=1，…，n）。從而，x1A1+…+xnAn=B=b1U1+…+bnUn有解。

而解x*的分量由如下公式計算：

x*j=∑nk=1bk（-1）k+jbkdet（A[k，j]）det（A）

=1det（A）∑nk=1（-1）k+jbkdet（A[k，j]）（j=1，…，n）

可以驗證

∑nk=1（-1）k+jbkdet（A[k，j]）

=det（A1，…，Ak-1，B，Ak+1，…，An）

從而

X*j=det（A1，…，Aj-1，B，Aj+1，…，An）det（A1，…，An）（j=1，…，n）

這就是Cramer法則對解向量的分量的計算公式。

反過來，如果det（A1，…，An）≠0，且方程x1A1+…+xnAn=B有解（請注意，這里先假設有解），則解向量中分量xj可以表示為

Xj=det（A1，…，Aj-1，B，Aj+1，…，An）det（A1，…，An）

這就是著名的Cramer法則。

Cramer法則的推導：由x1A1+…+xnAn=B，以第1列為例：將B替換A1，計算行列式det（B，A2，…，An）。由性質(zhì)6，從第2列至第n列，分別以第k列的-xk倍加到第1列（行列式不變），最后使用公理1得

det（B，A2，…，An）

=det（x1A1+x2A2+…+xnAn，A2，…，An）

=det（x1A1+x3A3+…+xnAn，A2，…，An）

…

=det（x1A1，A2，…，An）

=x1det（A1，A2，…，An）

因此，x1=det（B，A2，…，An）det（A1，…，An），其余分量類似分析和計算。

5 結(jié)語

在行列式的公理定義中，三條公理是相互獨立的。原因是：公理1只考慮矩陣中任一列上的齊次線性性質(zhì);公理2是考慮矩陣中兩列比較，不涉及運算;公理3是界定行列式函數(shù)的“初始”邊界值，以單位矩陣U的行列式為1作為“種子值”。因此，由其中任意兩個公理不能導出第三條公理。

其次，根據(jù)第1節(jié)中的討論，行列式的公理定義中的公理2有兩種替換方式。

對于公理3，可修改det（U1，U2，…，Un）的初始值。如：定義一個函數(shù)F（A）=F（A1，…，An）滿足公理1和公理2，修改公理3為F（U）=F（U1，…，Un）=c≠0，則可以證明：F（A1，…，An）=c·det（A1，…，An）。

更進一步，我們可以將F（A）=F（A1，…，An）的取值不是定義在實數(shù)集上，而是定義于一個域上（或者一個抽象空間上），通過適當規(guī)定公理，可以將矩陣的性質(zhì)映射到相應空間上。同樣，可以修改公理，研究滿足公理的函數(shù)的相關性質(zhì)。

有關行列式的定義方式，還可以用Valiant給出的圖論方法引入，相關定義請參見文獻[3-4]。對于高階稀疏矩陣行列式的計算，有時以圖的方式引入的定義更有效。對于MacMahon主定理、Cayley-Hamilton定理、矩陣樹定理、特征多項式定理等的證明，圖論方法引入行列式體現(xiàn)了新的思路。詳細介紹請參閱文獻[5-10]。

由通常行列式定義公式A=∑π（-1）τ（π）·

a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n），其求和是對集合J={1，2，…，n}上所有置換求和，即在對稱群Sn中取每個元素作用于列標號集J。我們知道：對于定義在J上的任意一個（有限）群G，都對應產(chǎn)生Sn的一個子群?；蛘哒f，G同構(gòu)于Sn的一個子群。

于是，我們可以引入G-行列式概念：AG=detG（A）=∑π∈G（-1）τ（π）a1，π（1）a2，π（2）…an，π（n）。通過G-行列式，我們可以研究矩陣的局部性質(zhì)，以及行列的分解與逼近計算。

類似可以引入G-積和式概念：permG（A）=∑π∈Ga1，π（1）a2，π（2）…an，π（n），并研究G-積和式的性質(zhì)及其應用。特別，對于0/1矩陣A的量permG（A），可以刻畫圖的若干有用的計數(shù)。

參考文獻：

[1]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M]. 王萼芳， 石生明， 修訂. 3版. 北京： 高等教育出版社， 2003.

[2] 阿廷. Galois理論[M]. 李同孚， 譯. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學出版社， 2011.

[3] BRGISSER P. Completeness and reduction in algebraic complexity theory[M]. Berlin， Heideberg： Springer-Verlag， 2000.

[4] 許道云. 圖論意義下的Laplace定理[J]. 貴州大學學報（自然科學版）， 2001， 18（3）： 1-8.

[5] 李俊， 戴星宇. 特征多項式的系數(shù)[J]. 大學數(shù)學， 2020， 36（4）： 101-105.

[6] HOANG T M， THIERAUF T. The complexity of verifying the characteristic polynomial and testing similarity[C]//Proceeding of 15th annual IEEE conference on computational complexity， Florence， Italy： IEEE， 2000： 87-95.

[7] MAHAJAN M， VINAY V. Determinant： old algorithms， new insight[J]. SIAM Journal Discrete Mathematics， 1999， 12（4）： 474-490.

[8] 胡建華， 王資敏， 曾博文. 哈密爾頓-凱萊定理在多項式矩陣上的推廣[J]. 大學數(shù)學， 2015， 31（5）： 89-92.

[9] ZEIBERGER D. A combinatorial approach to matrix algebra[J]. Discrete Mathematics， 1985， 56（1）： 61-72.

[10]陳璞， 劉運謀. Cayley-Hamilton定理的證明[J]. 大學數(shù)學， 2019， 35（6）： 48-57.

（責任編輯：周曉南）

Axiomatic Definition of Determinant of Matrix

and Derivation of its Properties

ZHAO Jiaozhen1， XU Daoyun*2

（1.Faculty of Big Data and Information Engineering， Guiyang Institute of Humanities and Technology， Guiyang 550025，China; 2.College of Computer Science and Technology， Guizhou University，Guiyang 550025，China）

Abstract：

The theory and application of determinant is a classical problem in algebra， the determinant of a matrix is a number assigned to the matrix. The column vectors of the matrix are viewed as variables， and then the determinant is a function of the column vectors. Its axiomatic definition has many advantages for the derivation and analysis of the properties of matrices. Based on the axiomatic conditions in the definition， we give the detail derivation of some important properties directly from the axioms， and investigate the existence and the expression of the solution of the system of linear equations. The derivation processes and the relations between the properties show the advantages of the axiomatic definition.

Key words：

determinant of matrix; axiomatic definition; determinant property; derivation