用Python驗(yàn)證費(fèi)馬—?dú)W拉素?cái)?shù)定理

王德貴

每個可表示為 4n + 1 形式的素?cái)?shù)，只能用一種兩數(shù)平方和的形式來表達(dá)。

17世紀(jì)偉大的法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（1601 – 1665 年）雖然于 1660 年就發(fā)現(xiàn)了這一著名的定理，然而直到 1670 年，才在費(fèi)馬的兒子編輯的丟番圖（Diophantus，古希臘數(shù)學(xué)家）的《算術(shù)》中以附注的形式發(fā)表。不過書中不能肯定費(fèi)馬是否已經(jīng)得出證明。直到一百年后，才由歐拉發(fā)表了這一定理的證明，他為了解決這個問題辛苦研究多年才寫出了論文“費(fèi)馬定理的證明，形為 4n + 1 素?cái)?shù)可以表示為兩數(shù)平方之和”。

今天我們就用Python來簡單地驗(yàn)證一下費(fèi)馬—?dú)W拉定理。

費(fèi)馬—?dú)W拉定理，也稱費(fèi)馬—?dú)W拉素?cái)?shù)定理，現(xiàn)在已經(jīng)有了多種證法。證明方法要涉及數(shù)論問題，在此不作過多論述，有興趣的老師和同學(xué)可以查閱相關(guān)資料。

今天我們只用Python做簡單驗(yàn)證。

數(shù)論，是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。歷史上的數(shù)學(xué)家做了很多相關(guān)研究，提出了很多有趣的問題，到了現(xiàn)在有的已經(jīng)證明，有的仍然是世界級的難題，尚未被證明。我們在學(xué)習(xí)編程的過程中通過對數(shù)論難題的驗(yàn)證，能提高我們對Python、圖形化或APPInventor的掌握，也能在鞏固編程知識的同時加強(qiáng)等級考試相關(guān)知識點(diǎn)的掌握。

我們驗(yàn)證在一定范圍內(nèi)的所有4n + 1 形式的素?cái)?shù)，是不是都可以表示為兩數(shù)平方和的形式。

首先我們利用自定義函數(shù)確定在這個范圍內(nèi)的所有素?cái)?shù)，再篩選出所有4n + 1 形式的素?cái)?shù)，然后利用枚舉算法一一驗(yàn)證每個素?cái)?shù)，是不是可以表示為兩數(shù)的平方和，如果可以，就輸出。

然后修改程序，根據(jù)兩數(shù)的和是否相同來去重。

程序涉及等級考試四級內(nèi)容，自定義函數(shù)、枚舉、集合等相關(guān)知識。

兩次循環(huán)加判斷輸出在一定范圍內(nèi)所有4n + 1 形式的素?cái)?shù)（圖1）。

根據(jù)篩選出來的素?cái)?shù)，先把所有滿足條件的兩數(shù)都輸出（圖2）。

比如先測試在100范圍內(nèi)的素?cái)?shù)情況。結(jié)果如下，大家可以看到，兩數(shù)有重復(fù)，但每個4n + 1 形式的素?cái)?shù)都是一組值（圖3）。

我們利用兩數(shù)和去重，是因?yàn)椴浑y推出兩數(shù)平方和相同，這兩個數(shù)的和一定不相等（圖4）。

輸出結(jié)果如下，可以看到，每個4n + 1 形式的素?cái)?shù)都是一組值（圖5）。

我們可以測試更大范圍的值。1000范圍內(nèi)，4n + 1 形式的素?cái)?shù)共有80個（圖6）。

定理的驗(yàn)證也可以用自定義函數(shù)，只需涉及等級考試二級內(nèi)容，還可以利用集合去重。有興趣的老師和同學(xué)可以自己研究一下。

這個程序在執(zhí)行中，先輸出所有質(zhì)數(shù)，再篩選4n+1 形式的素?cái)?shù)，所以我們在執(zhí)行程序時，也可以想到另一個方法，就是在4倍范圍內(nèi)判斷。

即是在1-n范圍內(nèi)循環(huán)，求得4n+1的值，如果它是素?cái)?shù)，那就輸出滿足條件的兩數(shù)，同時去重。程序如圖7：

可以看到輸出結(jié)果與前面相同（圖8）。

其實(shí)費(fèi)馬-歐拉素?cái)?shù)定理還涉及到很多相關(guān)數(shù)論問題，本文不作過多介紹。文章是我學(xué)習(xí)過程的心得，如有不當(dāng)之處，請各位同仁、朋友斧正。

NULL與0有著扯不斷理還亂的關(guān)系，其實(shí)也不那么高深。

1.對象的內(nèi)容不同

0表示對象的內(nèi)容確定為0。

NULL表示對象的內(nèi)容為空，即對象的內(nèi)容是空白的。

空值表示對象的內(nèi)容無法確定。

2.對象的值不同

0表示對象的值等于0。

NULL表示對象計(jì)算中具有保留的值，用于指示指針不引用有效對象。

空值表示值未知，空值一般表示數(shù)據(jù)未知、不適用或?qū)⒃谝院筇砑訑?shù)據(jù)。

總的來說，0本身有著一些原生的特性，諸如：起始、沒有、正負(fù)的分界線，0/1中的0還可以表示否定。NULL在數(shù)據(jù)庫中表示不知道的數(shù)據(jù)，主要有3種意思：知道數(shù)據(jù)存在，但不知道具體值;不知道數(shù)據(jù)是否存在;數(shù)據(jù)不存在。