試論高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)中的實(shí)踐

甘肅省隴西縣第二中學(xué) 謝克仁

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)重難點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)生后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)前提。高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)內(nèi)容，有助于學(xué)生在觀察分析、歸納、猜想、邏輯推理中，有效強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用能力，在反復(fù)實(shí)踐中逐步內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，維持高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。因此，結(jié)合新課程改革相關(guān)要求，應(yīng)進(jìn)一步深化高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)變教學(xué)理念、方法，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)高效的教學(xué)氛圍來(lái)激勵(lì)學(xué)生全身心投入到學(xué)習(xí)中，在清晰掌握數(shù)學(xué)概念、公式和解題方法基礎(chǔ)上，有效培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。新時(shí)期綜合分析研究高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容，深化教學(xué)改革，為枯燥的數(shù)學(xué)課堂注入新的生機(jī)與活力，為后續(xù)教學(xué)改革深化提供支持和參考。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)要素分析

1.數(shù)學(xué)分析。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)要點(diǎn)內(nèi)容，也是離散函數(shù)主要數(shù)學(xué)模型之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位。指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)等內(nèi)容，具有任意階導(dǎo)數(shù)，在函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)列具有重要作用，可以通過(guò)離散化方法來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容。如，函數(shù)y=f（x）在x0連續(xù)用數(shù)列刻畫，任何一個(gè)x0為極限的數(shù)列{xn}，其極限為f（x0），反之同樣成立。函數(shù)思想在數(shù)列問(wèn)題解決中具有積極作用，通過(guò)設(shè)立離散函數(shù)模型，與一次函數(shù)對(duì)照學(xué)習(xí)等差數(shù)列，對(duì)照指數(shù)函數(shù)來(lái)學(xué)習(xí)等比數(shù)列內(nèi)容，便于更加深刻的理解數(shù)列性質(zhì)。通過(guò)此種方式，將原本復(fù)雜的問(wèn)題精簡(jiǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，相較于簡(jiǎn)單的解決函數(shù)問(wèn)題。

2.課程標(biāo)準(zhǔn)分析。

等差數(shù)列關(guān)鍵在于等差，等比數(shù)列關(guān)鍵在于等比，用公式呈現(xiàn)即an-an-1=d和等比=q，是等差數(shù)列、等比數(shù)列概念理解的基礎(chǔ)所在，也是解決數(shù)列問(wèn)題的主要依據(jù)。在數(shù)列知識(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)該高度關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程，列舉具體實(shí)例歸納和總結(jié)數(shù)列特征，如，1，2，3，4，…，n為典型等差數(shù)列，等差數(shù)列特征與前n項(xiàng)和公式均可以在此基礎(chǔ)上歸納和推理出來(lái)。總的說(shuō)來(lái)，數(shù)列知識(shí)學(xué)習(xí)，是學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)的有效載體，可以引入生活中的分期付款和教育儲(chǔ)蓄內(nèi)容，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為教學(xué)問(wèn)題，有效鍛煉學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力。

3.教學(xué)方式分析。

高中數(shù)列內(nèi)容教學(xué)中，可以從概念、技能訓(xùn)練與問(wèn)題解決幾個(gè)角度靈活選擇最佳的教學(xué)方法。首先，從學(xué)生思維啟發(fā)角度著手。數(shù)列知識(shí)點(diǎn)在鍛煉學(xué)生觀察、分析和解決問(wèn)題能力方面有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，無(wú)論是概念引入還是問(wèn)題提出均可以有效激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)興趣，可以在講解數(shù)列概念時(shí)列出幾個(gè)數(shù)列，學(xué)生仔細(xì)觀察和總結(jié)共同點(diǎn)，在此基礎(chǔ)更加深刻的理解抽象數(shù)學(xué)概念。結(jié)論分析和推理層面，收集相關(guān)素材來(lái)挖掘有價(jià)值信息，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。例如，具體講解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)和引用方面，傳統(tǒng)教師課堂上直接介紹公式推導(dǎo)方式存在很大局限性，可以嘗試著問(wèn)題引導(dǎo)，如，一個(gè)工廠中有一批水管材料，上面一層5根，下面各層均超出上一層1根，底層共有9根，如何計(jì)算得到水管總數(shù)？通過(guò)此種方式，充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生的數(shù)列求解興趣，在觀察分析下總結(jié)和歸納數(shù)列對(duì)稱相關(guān)內(nèi)容，任意第k項(xiàng)和倒數(shù)第k項(xiàng)的和均等于首末兩項(xiàng)和，可以幫助學(xué)生明確思路，梳理知識(shí)點(diǎn)。其次，注重知識(shí)靈活運(yùn)用。在原有教材內(nèi)容基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一些應(yīng)用問(wèn)題，可以引入教育儲(chǔ)蓄問(wèn)題來(lái)設(shè)計(jì)等差數(shù)列例題；等比數(shù)列可以引入分期付款和學(xué)畫曲線問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生分析；數(shù)列應(yīng)用內(nèi)容，可以引入斐波那契數(shù)落內(nèi)容計(jì)算分析。最后，滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)列知識(shí)點(diǎn)中含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，深層次挖掘教材，從函數(shù)角度去學(xué)習(xí)數(shù)列內(nèi)容，便于數(shù)列性質(zhì)整體化呈現(xiàn)，有效解決學(xué)習(xí)問(wèn)題。多數(shù)的數(shù)列例題多為“已知數(shù)列滿足某些條件，采用方程式來(lái)計(jì)算這一數(shù)列?！痹诮忸}過(guò)程中，收集已知條件靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式方式求解，便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)列知識(shí)，提升學(xué)習(xí)效率的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力穩(wěn)步提升。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)分析

1.數(shù)學(xué)概念。

核心內(nèi)容為“以往的知識(shí)點(diǎn)對(duì)數(shù)列概念理解有什么影響”“概念變式”以及“數(shù)列概念理解的層次”。

作為數(shù)列單元教學(xué)的第一部分內(nèi)容，概念教學(xué)中可以選擇代表性的例題來(lái)講解數(shù)列概念，并且在課堂上大致介紹斐波那契數(shù)列知識(shí)點(diǎn)，作為教學(xué)補(bǔ)充材料，對(duì)開拓思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有著積極作用。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該堅(jiān)持學(xué)生主體地位，采用集合類比方式來(lái)幫助學(xué)生加深數(shù)列內(nèi)容理解和記憶，豐富知識(shí)儲(chǔ)備。通項(xiàng)公式內(nèi)容講解中，類比通項(xiàng)公式與函數(shù)，在此基礎(chǔ)上引出數(shù)列為特殊函數(shù)，采用數(shù)形結(jié)合方法逐步突破重難點(diǎn)。教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境來(lái)引入數(shù)列內(nèi)容，列舉特殊例子來(lái)引入等差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生切身感受數(shù)列概念，在討論和分析中取得結(jié)論，便于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與學(xué)科素養(yǎng)。等差數(shù)列通項(xiàng)公式本身并不難，但如何推導(dǎo)出來(lái)則需要多角度分析，改善以往強(qiáng)制性灌輸模式的不足，在情境中啟發(fā)學(xué)生推導(dǎo)公式，令學(xué)生更好的接受和學(xué)習(xí)。例題講解中，題型學(xué)生使用（-1）n，（-1）n+1調(diào)節(jié)項(xiàng)的符號(hào)，在例題講述后歸納和總結(jié)此類問(wèn)題解題方法，幫助學(xué)生更加深刻的理解通項(xiàng)公式屬于特殊函數(shù)范疇這一概念。在后續(xù)的例題講解中，加強(qiáng)師生互動(dòng)與生生互動(dòng)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)通項(xiàng)公式的同時(shí)，潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生合作精神和創(chuàng)新意識(shí)。對(duì)此，教師可以圍繞教學(xué)內(nèi)容來(lái)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，營(yíng)造師生密切互動(dòng)的學(xué)習(xí)范圍，彰顯學(xué)生主體地位的同時(shí)，理論聯(lián)系實(shí)踐來(lái)鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。

諸如，在課堂教學(xué)時(shí)，可以通過(guò)引入“2005年，我國(guó)的神舟六號(hào)航天飛船發(fā)射成功，在正式發(fā)射飛船前發(fā)令員倒數(shù)讀秒依次是多少？”在教師的支持和引導(dǎo)下，便于學(xué)生保持高度學(xué)習(xí)熱情投入其中，一塊大聲說(shuō)出“10，9，8，…2，1?！苯柚鷮?shí)際生活中的實(shí)例，巧妙吸引學(xué)生注意力，集中興趣投入到課堂學(xué)習(xí)中。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提問(wèn)“每個(gè)細(xì)胞每分鐘分裂為2個(gè)，每過(guò)一分鐘，一個(gè)細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)依次是多少？”挑選一名學(xué)生回答問(wèn)題：“1，2，4，8，16，……”

教師繼續(xù)提問(wèn)：“相信大家很容易就說(shuō)出三列數(shù)，那么你們仔細(xì)思考下他們有什么共同點(diǎn)？”學(xué)生們通過(guò)仔細(xì)思考，尋找共同點(diǎn)，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)字都是按照書序依次列出，最后由教師來(lái)總結(jié)歸納，這種按照一定次序排成的數(shù)稱之為數(shù)列。

除此之外，還要適當(dāng)?shù)厥占驼頂?shù)學(xué)史內(nèi)容，將其積極引入到數(shù)列教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，全身心投入到數(shù)列知識(shí)學(xué)習(xí)中。如，將棋盤擺放麥粒問(wèn)題引入到數(shù)列學(xué)習(xí)中，滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容，加深知識(shí)理解和記憶同時(shí)，有效強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。此種課堂引入方式，給予學(xué)生充分思考和分析的機(jī)會(huì)，切身感受數(shù)列概念，把握不同類型數(shù)列，為后續(xù)學(xué)習(xí)深入奠定基礎(chǔ)。

2.數(shù)列求和。

數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)內(nèi)容，教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)在于以下幾點(diǎn)：數(shù)列求和包含哪些基本技能？如何掌握技能訓(xùn)練尺度？如何超越技巧？

在數(shù)列求和設(shè)計(jì)中，主要選擇q倍錯(cuò)項(xiàng)相消法、拆項(xiàng)法和裂項(xiàng)求和法開展教學(xué)活動(dòng)。教師可以選擇學(xué)生相較于熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問(wèn)題著手分析，數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加后求和，引出拆項(xiàng)法。此種課堂引入方法，與高中生的認(rèn)知規(guī)律相契合，在后續(xù)練習(xí)題中選擇不同題型鞏固理解，了解拆項(xiàng)法適應(yīng)題型。然后將兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到數(shù)列求和結(jié)果。發(fā)揮教師引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生深入分析來(lái)消除思維障礙，在解題遇到問(wèn)題時(shí)由教師適度指導(dǎo)。q倍錯(cuò)項(xiàng)消法是一種抽象的解題方法，可以適當(dāng)?shù)姆怕菔舅俣?，清晰演示解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生深入理解和掌握。最后，介紹裂項(xiàng)求合法，以及對(duì)應(yīng)的解題方法，在師生交流中鍛煉學(xué)生的解題能力。

諸如，在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列、等差數(shù)列求和公式后，在黑板上列出兩個(gè)數(shù)列，具體如下：

學(xué)生看到黑板上的數(shù)列例題，分別計(jì)算通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和，化繁為簡(jiǎn)，學(xué)生計(jì)算后展示自己的答案，由教師來(lái)選擇一名學(xué)生回答問(wèn)題。①答案為an=n，Sn=，②答案為對(duì)于學(xué)生們可以正確計(jì)算得到答案并不意外，可以進(jìn)一步提問(wèn)，計(jì)算數(shù)列，…通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和。在之前兩道題目的訓(xùn)練基礎(chǔ)下，學(xué)生可以很快的得到答案。在此基礎(chǔ)上，教師提問(wèn)：“這個(gè)數(shù)列屬于等差數(shù)列還是等比數(shù)列？如何確定？”學(xué)生們經(jīng)過(guò)討論分析了解到，盡管并非是等差或等比數(shù)列，但每一項(xiàng)均為之前兩個(gè)等差等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加得到，所以同對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加來(lái)實(shí)現(xiàn)通項(xiàng)公式求和。

選擇較為熟悉的等比數(shù)列和等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和內(nèi)容，進(jìn)一步引出非等差等比數(shù)列求和問(wèn)題，循序漸進(jìn)，層層遞進(jìn)，充分彰顯數(shù)學(xué)化歸思想。在教師引導(dǎo)下，契合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和實(shí)踐，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，切實(shí)提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果。

又比如，在講解拆項(xiàng)法時(shí)，提問(wèn)什么樣的數(shù)列適合拆項(xiàng)法？如果沒(méi)有前兩個(gè)數(shù)列鋪墊，第三個(gè)數(shù)列能快速得到前n項(xiàng)的和嗎？在黑板上列出：，…學(xué)生自習(xí)思考后即可得到答案Sn=在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步提問(wèn)，如何思考得到的？學(xué)生們將自己的思路表達(dá)出來(lái)，是將通項(xiàng)公式拆解為一個(gè)等比數(shù)列和等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的差，然后再分別求和。

最后，教師提問(wèn)學(xué)生什么樣的數(shù)列適合拆項(xiàng)法求和？最后給出答案，采用拆項(xiàng)法來(lái)滿足等差數(shù)列求和。但是需要注意的是，即便是同樣的解題方法，在實(shí)際解題中也要靈活運(yùn)用，有時(shí)直接套用即可，有的時(shí)候則需要適當(dāng)轉(zhuǎn)化運(yùn)用，如果學(xué)生存在思維障礙，教師應(yīng)尊重學(xué)生的個(gè)體差異，提供充分時(shí)間思考和分析，適當(dāng)引導(dǎo)和幫助，幫助學(xué)生改進(jìn)不足，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是基礎(chǔ)內(nèi)容，其中數(shù)列求和是數(shù)列教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，需要掌握一定技巧和方法來(lái)解題。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該多選擇引導(dǎo)的方式，鼓勵(lì)學(xué)生自行分析、探究和解決問(wèn)題，而不是教師直接給出答案。給予學(xué)生充分的思考分析時(shí)間，選擇不同的解題方法來(lái)解決問(wèn)題，在收獲解題喜悅和成就感同時(shí)，在頭腦中更加深刻的理解記憶。但是教師不要過(guò)分急于求成，而是要循序漸進(jìn)，幫助學(xué)生高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

3.實(shí)踐分析。

數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)堅(jiān)持學(xué)生學(xué)習(xí)為核心，教師主要是起到引導(dǎo)作用，具體教學(xué)模式的選擇，則是要充分契合不同教學(xué)內(nèi)容靈活選擇，以期取得預(yù)期效果。如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)中，認(rèn)真吸收不同教師的不同詮釋方法，一種是圍繞教師為主體，另一種則是圍繞學(xué)生為主體，對(duì)比分析不同的教學(xué)效果。前者以教師講解方式為主，但受限于教師自身能力限制，無(wú)法帶給學(xué)生良好的啟發(fā)和引導(dǎo)，因此學(xué)生的思想存在偏差，難以最大程度上調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。同時(shí)，由于公式推導(dǎo)過(guò)程生硬、枯燥，不可避免的弱化學(xué)習(xí)效果。后者可以將公式推導(dǎo)和梯形面積公式有機(jī)整合在一起，營(yíng)造輕松、舒適、趣味的教學(xué)情境，便于將繁瑣、復(fù)雜的公式推導(dǎo)精簡(jiǎn)化，直觀呈現(xiàn)在學(xué)生面前。此種方式，有助于最大程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，集中注意力投入其中，取得理想的學(xué)習(xí)效果。

對(duì)于一些經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，在長(zhǎng)期實(shí)踐摸索中已經(jīng)沉淀出獨(dú)特的想法，并且被實(shí)踐證明為有效的學(xué)習(xí)方法。如，等差數(shù)列概念教學(xué)，可以結(jié)合以往所學(xué)的數(shù)列通項(xiàng)公式內(nèi)容，巧妙引入新課內(nèi)容，承上啟下，加深學(xué)生的理解和記憶。如，已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=3n-2。（1）計(jì)算a1，a2，a3，a4；(2)計(jì)算a2-a1，a3-a2，a4-a3，得到三個(gè)數(shù)值后，猜想對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an的值為同一常數(shù)。如果不是，則說(shuō)明理由。通過(guò)此種方式，令學(xué)生從具體立體中把握等差數(shù)列特征，在趣味化的情境中來(lái)鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，切身感受到等差數(shù)列本質(zhì)所在，提升學(xué)習(xí)效果的同時(shí)，還可以有效鍛煉學(xué)生邏輯思維能力和解題能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

結(jié)束語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，在高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)中，離不開教師的引導(dǎo)和支持，在突出學(xué)生課堂學(xué)習(xí)主體地位同時(shí)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生思考探究的空間。所以，教學(xué)設(shè)計(jì)要充分考量教學(xué)要點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)情況，用此視角，選擇最佳的方法來(lái)幫助學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，在提升學(xué)習(xí)效果的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生能力發(fā)展。