基于RVE單元的石砌體有效模量計算方法

蔣宇洪，楊 娜

(北京交通大學(xué)土木工程系，北京 100044)

石砌體結(jié)構(gòu)具有造價低廉，取材方便，耐久性好的特點，在世界各地的歷史古跡中有廣泛的應(yīng)用。由于砌筑工藝和灰縫材料的多樣性，砌筑技術(shù)的差異性，再加上長期受雨水、風(fēng)化等作用，使得古建筑石砌體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能比現(xiàn)代磚砌體結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜。因此，深入研究古建筑石結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，對開展古建筑石結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)評估和加固修護(hù)有重要意義。

近年來，國內(nèi)外對于石砌體結(jié)構(gòu)的研究主要集中在抗震性能和承載力性能的方面。滕東宇等[1 ? 2]通過對石砌棱柱體試件進(jìn)行軸壓試驗，提出受壓承載力計算式，并基于分層均質(zhì)化理論，給出了藏式古建石砌體的各向有效模量。徐秀林等[3]通過對條石砌體試件進(jìn)行軸壓試驗，指出在砌體高厚比較低時，在灰縫中增加墊片會使得承載力提高，但隨著高厚比的增高，該提高效果會逐漸降低。王蘭等[4]通過對石墻灰縫試件進(jìn)行低周反復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)帶有墊片的灰縫在反復(fù)碾壓作用下，會產(chǎn)生不可忽視的豎向變形，并以摩爾庫倫定理為基礎(chǔ)，提出了考慮石材粗糙程度的抗剪強(qiáng)度計算式。楊娜和滕東宇[5]通過對泥漿砌筑石墻試件進(jìn)行雙剪試驗，指出試件受剪是一個同時發(fā)生泥漿變形和界面分離的延性破壞過程，并且分別基于彎剪理論模型和主拉應(yīng)力破壞-剪摩破壞混合模型，分析了灰縫試件在剪-壓復(fù)合作用下的強(qiáng)度。高曉鵬等[6]開展了有墊片粗料石砌體墻的低周反復(fù)試驗研究，發(fā)現(xiàn)豎向壓應(yīng)力和模型尺寸是影響失效模式和強(qiáng)度的重要因素。Milosevic等[7 ? 8]以4片毛石砌體墻低周反復(fù)試驗結(jié)果為基礎(chǔ)，將荷載-位移曲線、損傷機(jī)理、失效模式和性能參數(shù)作為校準(zhǔn)指標(biāo)，對材料參數(shù)進(jìn)行修正，建立了非線性毛石墻整體式模型。Vasconcelos等[9 ? 10]通過對U型毛石墻和粗料石墻模型進(jìn)行面外低周反復(fù)試驗，對其面外抗震性能進(jìn)行研究，并建立了整體式模型，進(jìn)行參數(shù)分析，指出材料的彈性模量和抗拉強(qiáng)度是影響面外強(qiáng)度的主要因素。

已有的石砌體研究取得一定成果，但還存在以下問題：1)小型石砌體試件的研究成果很難直接拓展到石墻的性能研究上；2)對于石砌體結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬研究較少；3)很少考慮砌塊形狀、大小和分布的隨機(jī)性對墻體性能的影響。

一些學(xué)者[11 ? 13]發(fā)現(xiàn)部分石砌體結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造存在一定程度隨機(jī)性：如圖1所示，結(jié)構(gòu)具有明顯的水平分層，同一層次的砌塊處于同一水平線并且砌塊高度基本一致，但寬度可能存在差別；此外，不同層次的砌塊高度也可能存在差別。Cluni等[11]基于均質(zhì)化理論，針對幾何構(gòu)造具有一定隨機(jī)性的砌體，提出了一種計算砌體有效模量的有限尺度測試窗法。一些學(xué)者[13 ? 18]基于砌塊、灰縫的尺寸和位置的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，提出了能描述砌體結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的概率統(tǒng)計分布模型。部分學(xué)者[11 ? 13]針對幾何構(gòu)造具有一定隨機(jī)性的砌體結(jié)構(gòu)，將包含構(gòu)造信息的概率統(tǒng)計分布模型與均質(zhì)化方法結(jié)合，提出了砌體有效模量的計算方法。

圖1 幾何構(gòu)造具有一定隨機(jī)性的石砌體[13]Fig.1 Stone masonry with a certain randomness in geometry[13]

本文基于Cluni等[11]的有限尺度測試窗法，提出了一種改進(jìn)的有效模量計算方法，與文獻(xiàn)的試驗和數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了對比，說明所得模量的準(zhǔn)確性。分別利用該計算方法和有限尺度測試窗法，對藏式古建石砌體有效模量進(jìn)行對比分析，并以所得有效模量為基礎(chǔ)，建立了整體式模型，與分離式模型進(jìn)行對比，證明了該模型可以較為合理地復(fù)制結(jié)構(gòu)的整體變形，彌補(bǔ)了有限尺度測試窗法不能反映泊松效應(yīng)的缺點。

1 砌體材料的有效模量計算方法

1.1 有效模量理論

本文的有效模量計算方法與Cluni等[11]的有限尺度測試窗法均以有效模量理論作為基礎(chǔ)。復(fù)合材料力學(xué)中，常用有效模量和有效柔度描述平均應(yīng)力和平均應(yīng)力的關(guān)系，該關(guān)系式如下所示：

式中： σij、 εij分別為RVE單元中任意位置的局部應(yīng)力、應(yīng)變分量；V為RVE單元的體積。

1)均勻應(yīng)變邊界條件

2)均勻應(yīng)力邊界條件

1.2 砌體材料的正交各向異性本構(gòu)

考慮許多研究者[19 ? 20]認(rèn)為正交各向異性本構(gòu)接近砌體材料的真實性質(zhì)，假定所求的砌體材料及其RVE單元均滿足正交各向異性，其有效模量矩陣如式(7)所示：

砌體材料的有效柔度矩陣與工程彈性常數(shù)的關(guān)系，如式(8)所示：

根據(jù)模量矩陣和柔度矩陣互逆的性質(zhì)可得式(9)：

1.3 砌體材料的有效模量求解

基于兩種邊界條件和正交各向異性假定，可對砌體材料的有效模量進(jìn)行求解。圖2為三維情況下RVE單元的邊界條件示意圖[21]。

圖2 三維RVE單元邊界條件[21]Fig.2 Boundary conditions of three-dimensional RVE[21]

將式(7)、式(8)分別代入式(1)、式(2)中，可以看出，正交各向異性材料的壓-拉應(yīng)力和切應(yīng)力不耦合。因此，當(dāng)RVE單元處于均勻應(yīng)力或應(yīng)變條件時，若受法向荷載，僅產(chǎn)生平均正應(yīng)力；若受切向荷載時，僅產(chǎn)生平均切應(yīng)力。

1)法向荷載

當(dāng)RVE單元的某條邊界受到i方向的法向均勻應(yīng)力或應(yīng)變時，除受到位移約束和荷載的一對邊界以外，其余邊界上無法向約束。再考慮到此時僅產(chǎn)生平均正應(yīng)力，因此RVE單元的平均正應(yīng)力分量如式(10)所示：

將式(8)、式(10)代入式(2)，得到彈性模量和泊松比的求解式，如式(11)、式(12)所示：

2)切向荷載

當(dāng)RVE單元的某條邊界受到ij方向的均勻切應(yīng)力或切應(yīng)變時，所施加的位移約束主要提供ij方向的剪切反力，其他方向的應(yīng)力極小。再考慮到此時僅產(chǎn)生平均切應(yīng)力，因此RVE單元的平均切應(yīng)力分量如式(13)所示：

將式(8)、式(13)代入式(2)，得到剪切彈性模量的計算式，如式(14)所示：

1.4 有效模量的計算步驟

1) 借鑒Cluni等[11]的有限尺度測試窗法，在砌體墻上選擇多個區(qū)域，于各區(qū)域框選多個尺寸的方框，框內(nèi)的部分即為備選RVE單元，如圖3所示。

圖3 砌體備選RVE單元的選取Fig.3 Selection for alternative masonry RVEs

2) 建立備選RVE單元線彈性數(shù)值模擬模型，按圖2所示，對RVE單元施加均勻應(yīng)變邊界條件和均勻應(yīng)力邊界條件，并進(jìn)行數(shù)值模擬。

3) 對數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行后處理，根據(jù)式(15)和式(16)，計算備選RVE單元的平均應(yīng)力分量和平均應(yīng)變分量。

式中： σij、 εij分別為RVE單元內(nèi)任意單元的應(yīng)力、應(yīng)變分量；v為RVE單元內(nèi)任意單元的體積。

5) 將所得的工程彈性常數(shù)代入式(8)，即可得到均勻應(yīng)變邊界條件下的Voigt有效柔度矩陣SV和均勻應(yīng)力邊界條件下的Reuss有效柔度矩陣SR。

值得注意的是，為滿足正交各向異性的假定，對所求得的部分有效柔度進(jìn)行如下平均計算：

為了消除組元分布不均勻造成的影響，計算相同尺寸備選RVE單元的Voigt和Reuss有效模量平均值，作為該尺寸備選RVE單元的有效模量計算結(jié)果。

② 有效模量收斂幅值δ，通過式(19)計算：

③ 考慮有效模量的各個分量的收斂幅值有所差別，通過式(20)計算有效模量的收斂變化率v(k)：

式中：將備選RVE單元的次序按單元的尺寸由小到大進(jìn)行排列，上角標(biāo)(k)表示該變量為第k個備選RVE單元的變量； δ(1)、 δ(k)分別為第1、k個備選RVE單元的收斂幅值；v(k)為第k個備選RVE單元的收斂變化率。

上述有效模量計算步驟對應(yīng)的流程圖如圖4所示。

圖4 有效模量計算流程圖Fig.4 Flow chart of calculation of effective modulus

2 有效模量計算方法的驗證

2.1 有限元建模

本文采用有限元軟件ABAQUS，建備選RVE單元有限元模型。該模型的單元均采用空間三維六面體線性減縮積分單元(C3D8R)，構(gòu)件之間均采用merge。有限元模型的邊界條件如圖2所示。

2.2 驗證

為驗證本文的有效模量計算方法的準(zhǔn)確性及適用性，選取Vermeltfoort等[25]和Gumaste等[26]的試驗、Drougkas等[27]的數(shù)值模擬、Cluni等[11]的有限尺度測試窗法的模型進(jìn)行驗證。

2.2.1 試驗和數(shù)值模擬的驗證

由于具有幾何尺寸信息、材料本構(gòu)和砌體有效模量的石砌體試驗非常少，本文選取Vermeltfoort等[25]、Gumaste等[26]的磚砌體試驗進(jìn)行驗證，以說明本文方法所得有效模量的有效性?；谠墨I(xiàn)的幾何參數(shù)、材料屬性，建立有限元模型。有限尺度測試窗法的研究[21]表明：滿足幾何可復(fù)制性的磚砌體備選RVE單元可作為合理的RVE單元，所得有效模量非常接近。所以，本文對于一類磚砌體只選取一個RVE單元進(jìn)行計算，幾何模型和所選取的RVE單元形式如圖5所示。

圖5 磚砌體幾何模型及RVE單元Fig.5 Geometrical model and RVE of brick masonry

本文方法所得結(jié)果、磚砌體試驗結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果如表1所示，兩兩相互對比如圖6所示?？梢钥闯?，本文方法所得豎向有效模量接近試驗和數(shù)值模擬所得的有效模量，說明了本文方法所得有效模量的有效性。值得注意的是，與數(shù)值模擬所得模量的接近程度相對更高，這是由于建模所用本構(gòu)與實際有差距造成的。

圖6 磚砌體有效模量的對比 (虛線代表10%偏差范圍)Fig.6 Comparison of effective modulus on brick masonry(Dotted line represents 10% deviation range)

表1 磚砌體有效模量Table 1 Effective modulus of brick masonry

2.2.2 有限尺度測試窗法模型的驗證

具有足夠建模信息的石砌體結(jié)構(gòu)試驗研究很少，因此利用Cluni等[11]的有限尺度測試窗法的模型對模量計算方法進(jìn)行驗證，以說明本文方法適用于幾何構(gòu)造具有一定隨機(jī)性的石砌體。幾何模型和所選取的RVE單元形式如圖7所示。

圖7 Cluni等[11]的砌體模型及備選RVE單元Fig.7 Masonry model and alternative RVE of Cluni et al[11]

本文所得的結(jié)果與Cluni等[11]的結(jié)果對比如圖8所示，有效模量的收斂變化速率如圖9所示。可以看出當(dāng)RVE單元的邊長達(dá)到400 mm后，所有模量分量的收斂變化率的變動極小，說明RVE單元的尺寸變化對有效模量收斂的影響極小，此時有效模量的收斂程度已足夠高。根據(jù)本文的模量計算方法，400 mm和500 mm的RVE單元的有效模量預(yù)估值均可作為完整砌體結(jié)構(gòu)的有效模量。該模量與Cluni結(jié)果的差距很小，這說明了本文的有效模量計算方法適用于幾何構(gòu)造具有一定隨機(jī)性的石砌體。

圖8 Cluni等[11]模型的有效模量對比Fig.8 Comparison of effective modulus of model of Cluni et al[11]

圖9 Cluni等[11]模型的有效模量收斂變化率Fig.9 Convergence rate of effective modulus of model of Cluni et al[11]

3 藏式古建石墻的有效模量計算

3.1 藏式古建石墻

藏式古建石墻是藏式古建筑中常見的承重結(jié)構(gòu)，該石墻最常見的砌筑工藝如圖10所示，通常以花崗巖和天然黃泥分別作為砌塊和砂漿，同時具有明顯的三葉墻特征：外觀上近似于夾心墻，外殼是兩片砌塊較大且規(guī)整的外葉墻，夾心是一片由黃泥、碎石和小石塊組成的內(nèi)葉墻。

圖10 藏式古建石墻[21]Fig.10 Tibetan ancient stone wall[21]

此外，藏式古建石砌體墻的砌塊規(guī)格和形狀并不統(tǒng)一：如圖11所示，外葉墻上體積較大、形狀較為規(guī)則的長方體狀石塊被稱為塊石。為了填充塊石之間的縫隙，相鄰塊石之間會砌入幾塊小石塊，該石塊被稱為碎石。塊石和碎石所在的水平層被稱為塊石層。砌筑時為了便于找平，塊石層之間會鋪筑大量的扁平狀石片，該石片被稱為片石。片石所在的水平層被稱為片石層。

圖11 藏式古建石砌體幾何構(gòu)造示意圖[21]Fig.11 Geometrical Structure of Tibetan ancient stone masonry[21]

3.2 藏式古建石墻隨機(jī)模型

對某藏式石砌體古建筑群進(jìn)行調(diào)研，得到大量藏式古建石墻的外葉墻組元尺寸的概率密度函數(shù)[28]，如表2所示，相應(yīng)的組元尺寸如圖12所示。

圖12 藏式古建石砌體墻組元尺寸示意圖Fig.12 Geometrical model and detailed dimension of Tibetan ancient stone masonry wall

表2 藏式古建石墻各組元概率密度函數(shù)表[28]Table 2 The probability density function of each component of Tibetan ancient stone masonry[28]

為了簡化隨機(jī)模型的生成難度，假定砌塊均為長方體，處于同一層的塊石或片石高度一致。參考某藏式古建筑的常見墻體的尺寸，并以統(tǒng)計所得的尺寸參數(shù)的概率密度函數(shù)為依據(jù)，生成了一個2250 mm×3000 mm×660 mm(長×高×厚)隨機(jī)墻體模型，如圖13所示。由于缺少厚度方向上的組元尺寸數(shù)據(jù)，參考常見的砌塊厚度，設(shè)定塊石厚150 mm，片石和碎石均厚90 mm，內(nèi)葉墻厚360 mm。在該墻體模型上，從A、B、C、D四個區(qū)域，各選取了邊長為200 mm、400 mm、600 mm、800 mm、1000 mm的5個正方形備選RVE單元。

圖13 藏式古建石砌體墻隨機(jī)幾何模型 /mmFig.13 Stochastic geometric model of Tibetan stone masonry wall

3.3 有限元模型的參數(shù)設(shè)計

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)和強(qiáng)度相近材料的性能參數(shù)，設(shè)定本文的本構(gòu)模型參數(shù)，如表3所示。

表3 藏式古建石砌體的材料本構(gòu)模型參數(shù)Table 3 Material constitutive model parameters of Tibetan ancient stone masonry

3.4 有效模量的對比分析

從圖14可以看出，隨著備選RVE單元尺寸增大，根據(jù)有限尺度測試窗法和本文方法所得的有效模量的變化趨勢較為接近，多數(shù)有效模量分量在逐漸收斂，并且呈現(xiàn)先快后慢的趨勢。通過觀察Voigt和Reuss有效模量的變化幅度可以看出：200 mm～400 mm階段，有效模量的變化幅度往往最大；400 mm～800 mm階段，有效模量的變化幅度往往較大；800 mm～1000 mm階段變化幅度往往最小。這是因為隨著單元尺寸增大，砌體RVE單元的材料性質(zhì)逐漸接近完整結(jié)構(gòu)的性質(zhì)；初始階段，RVE單元和結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)差距很大，有效模量的收斂和變化幅度較為明顯；當(dāng)尺寸增大到一定范圍以后，二者的材料性質(zhì)基本一致，有效模量的收斂趨勢和變化幅度變得很小。對比有限尺度測試窗法和本文方法所得的有效模量，可以看出，有限尺度測試窗法所得的C11、C22、C33比本文方法所得的略大，這是由于有限尺度測試窗法假定了泊松比為0造成的。

圖14 RVE單元有效模量Fig.14 Effective modulus of RVEs

根據(jù)本文的模量計算方法，對比圖15中各個有效模量分量的收斂變化率，可以看出，在800 mm ～1000 mm范圍內(nèi)，除了C33，其他模量分量的收斂變化率的數(shù)值很小并且相鄰點間差值很小，說明邊長800 mm、1000 mm的RVE單元的Voigt和Reuss有效模量的收斂程度已足夠高。那么800 mm、1000 mm的RVE單元有效模量預(yù)估值均可作為藏式古建石墻的有效模量。

圖15 有效模量收斂變化率Fig.15 Convergence rate of effective modulus

從圖14、圖15可以看出，兩種方法所得的不同模量分量收斂速率的分布規(guī)律大致相近。有限尺度測試窗法所得的六個有效模量，按其受RVE單元影響程度，可以分為三組：1)幾乎不受影響：C33；2)受影響較小：C55、C66；3)受影響較大：C11、C22、C44。按本文的方法所得的九個有效模量分量，按其受到RVE單元尺寸的影響程度，可以分為以下三組：1)幾乎不受影響：C33；2)受影響較?。篊13、C23、C55、C66；3)受影響較大：C11、C22、C44、C12。即RVE單元尺寸對厚度方向的軸向模量幾乎沒有影響，對其他面外的模量分量影響較小，對面內(nèi)的模量分量影響較大。這是因為隨著備選RVE單元尺寸發(fā)生改變，砌體結(jié)構(gòu)平面上的幾何構(gòu)造會隨之發(fā)生改變，但沿厚度方向上，幾何構(gòu)造的改變很小。

4 石砌體結(jié)構(gòu)整體式模型

基于本文方法所得的有效模量，可以建立整體式模型，代替對完整結(jié)構(gòu)的精細(xì)化建模，進(jìn)而大量地減少計算時間和收斂難度。為了證明本文提出的整體式模型的有效性，以藏式古建石墻為例，分別按本文的方法和有限尺度測試窗法建立整體式模型，與傳統(tǒng)分離式模型一并進(jìn)行砌體墻壓剪模型的對比分析。

模型幾何尺寸均與圖13所示的墻體相同。模型邊界條件[21]設(shè)置如圖16所示，墻體底部設(shè)置為固結(jié)約束，上端放置一塊平面尺寸略大于墻體的剛性板(2500 mm×700 mm×150 mm)。該剛性板與墻體之間定義面對面接觸，法向行為定義為默認(rèn)的硬接觸，切向行為定義為罰函數(shù)，摩擦系數(shù)為0.45。首先對剛性板頂部作用0.5 MPa的均勻壓應(yīng)力，然后保持壓力不變，再對剛性板的左端中點作用集中荷載10 kN。分離式模型構(gòu)件之間均采用merge。模型均采用C3D8R單元。分離式模型本構(gòu)所采用的組元材料的性能參數(shù)如表3所示；整體式模型為正交各向異性本構(gòu)，參數(shù)分別為按本文的方法和有限尺度測試窗法所得的1000 mm RVE單元的有效模量預(yù)估值。

圖16 壓剪墻體模型示意圖[21]Fig.16 Model of wall subjected to compression and shear load[21]

外、內(nèi)葉墻的材料性能存在較大差別，導(dǎo)致分離式模型外、內(nèi)葉墻的響應(yīng)存在顯著差異，因此分別選取外、內(nèi)葉墻厚度中心處的A-A、B-B兩個截面，代表墻體的絕大部分區(qū)域；整體式模型材料性質(zhì)均勻統(tǒng)一，不存在明顯的外、內(nèi)葉墻響應(yīng)差異，故取其厚度中心的截面進(jìn)行分析。

圖17為分離式模型、基于本文方法和有限尺度測試窗法的整體式模型在壓剪荷載作用下的Mises應(yīng)力云圖。從圖17(a)可以看出，分離式模型外葉墻的Mises應(yīng)力分布不均勻，砌塊所受應(yīng)力明顯比灰縫所受應(yīng)力大。在塊石層，塊石中部區(qū)域的應(yīng)力較小，越靠近邊緣，應(yīng)力越大；與塊石相比，碎石所受應(yīng)力明顯較小。在片石層，上下兩側(cè)均與塊石相鄰的片石所受應(yīng)力較大，與碎石相鄰的片石所受應(yīng)力較小。這說明，模型處于一個剛度分布不均勻的狀態(tài)：在塊石層，塊石的剛度比碎石區(qū)域的剛度大得多，導(dǎo)致塊石承擔(dān)了大部分的壓力，而碎石承擔(dān)的壓力較小。塊石和碎石區(qū)域的壓力傳遞到片石層，片石層有一定的分散應(yīng)力作用，使得應(yīng)力的不均勻程度有明顯降低。與外葉墻相比，分離式模型內(nèi)葉墻的Mises應(yīng)力較為均勻，所受應(yīng)力低得多。從圖17(b)可以看出，按本文方法所建的整體式模型的大部分區(qū)域呈現(xiàn)較為均勻的狀態(tài)，僅在墻體的底部，受到邊界條件的約束，Mises應(yīng)力相對較小。從圖17(c)可以看出，按有限尺度測試窗法所建的整體式模型在墻體中間大部分區(qū)域的Mises應(yīng)力較為均勻，但在左右兩側(cè)出現(xiàn)了反對稱分布的應(yīng)力。分離式模型和兩種整體式模型的應(yīng)力分布狀態(tài)存在顯著的差異，這主要由于分離式模型和整體式模型的建模精細(xì)程度存在差別導(dǎo)致的，但整體式模型的應(yīng)力可以看作是分離式模型外葉墻、內(nèi)葉墻應(yīng)力綜合后所得的結(jié)果。將兩種整體式模型進(jìn)行對比，可以看出，有限尺度測試窗法所得的整體式?jīng)]有考慮泊松比，不能反映更接近實際情況的狀態(tài)：水平向剪力荷載使墻體左右兩側(cè)分別產(chǎn)生了拉、壓應(yīng)力，該應(yīng)力與墻體頂部所受的均勻壓應(yīng)力疊加，使墻體左右兩側(cè)所受的豎向壓應(yīng)力不同?？紤]泊松比，此時墻體兩側(cè)應(yīng)產(chǎn)生不同大小的橫向應(yīng)力，所以Mises應(yīng)力云圖應(yīng)該呈現(xiàn)更接近圖17(b)的分布，而并不是如圖17(c)一樣的簡單反對稱分布。

圖17 墻體Mises 應(yīng)力對比分析 /MPaFig.17 Comparison of Mises stress for the wall subjected to compression and shear load

圖18為分離式和兩種整體式模型在壓剪作用下的位移云圖。對比可以看出，三個模型的位移數(shù)值大小較為接近，位移分布近似，說明基于本文方法和有限尺度測試窗法的整體式模型均可以較為合理地復(fù)制砌體結(jié)構(gòu)的壓剪變形特征。

圖18 墻體位移對比分析(位移擴(kuò)大1000倍) /mmFig.18 Comparison of deformation for the wall subjected to compression and shear load (The deformation expands 1000 times)

為了比較各模型的變形數(shù)值大小，將各模型的頂部壓縮位移 Δv、 水平位移 Δu進(jìn)行對比，如表4所示。通過對比可以看出三個模型在關(guān)鍵部位上的變形是很接近的。

表4 墻體頂部壓縮位移和水平位移Table 4 Compressive and horizontal displacement on the top of the wall

為了說明基于本文方法的整體式模型在模擬側(cè)向變形的優(yōu)勢，將分離式和兩種整體式模型在壓剪作用下的水平位移進(jìn)行對比，如圖19所示。考慮到水平位移在厚度方向上變化極小，故取厚度方向中線的水平位移為代表值，同時設(shè)定向右位移為正?？梢钥闯觯蛛x式模型和基于本文方法的整體式模型的水平位移是極為接近的；而基于有限尺度測試窗法的整體式模型，左側(cè)和右側(cè)的水平位移基本一致，與分離式模型的水平位移相比，具有明顯差異。這是因為有限尺度測試窗法忽略了泊松比，將軸向壓應(yīng)力和切應(yīng)力引起的側(cè)向變形簡化為單純的剪切變形，而本文的方法彌補(bǔ)了該缺陷?；诒疚姆椒ǖ恼w式模型可以反映分離式模型的變形狀態(tài)：墻體在軸壓力作用下，向兩側(cè)膨脹；在受到水平荷載作用后，墻體出現(xiàn)向右的剪切變形。墻體底部受到固結(jié)約束，位移基本為零；墻體中部位移是膨脹變形和剪切變形疊加的結(jié)果；墻體頂部受到摩擦力的作用，膨脹變形受到限制，左、右兩側(cè)位移的差距與中部的相比有少許的下降。

圖19 墻體水平位移對比分析Fig.19 Comparison of horizontal deformation for the wall subjected to compression and shear load

綜合上述內(nèi)容，證明了基于本文方法的整體式模型可以較為合理地復(fù)制砌體結(jié)構(gòu)在宏觀層面上的整體變形，并且彌補(bǔ)了有限尺度測試窗法不能反映泊松效應(yīng)的缺陷。

5 結(jié)論

本文基于有限尺度測試窗法，提出了一種改進(jìn)的有效模量計算方法。分別利用該計算方法和有限尺度測試窗法，對藏式古建石砌體有效模量進(jìn)行對比分析，并以所得有效模量為基礎(chǔ)，建立了整體式模型，與精細(xì)化模型進(jìn)行了應(yīng)力和變形的對比。主要結(jié)論如下：

(1)本文基于代表性體積單元，假定砌體材料為正交各向異性，針對幾何構(gòu)造具有一定隨機(jī)性的石砌體，提出了一種有效模量計算方法，能得到石砌體的九個有效模量分量。

(2)將本文方法所得的有效模量與有限尺度測試窗法所得的有效模量對比，得知兩種方法所得的各有效模量分量數(shù)值大小和變化趨勢相近，但本文方法彌補(bǔ)了有限尺度測試窗法不能獲得泊松比的缺陷。

(3)通過分析RVE單元的尺寸大小對有效模量的影響，得知單元尺寸的增大會使得其組元分布逐漸向完整結(jié)構(gòu)的組元分布接近，導(dǎo)致大部分的Voigt、Reuss有效模量分量呈現(xiàn)先快后慢的收斂趨勢。RVE單元尺寸對厚度方向的軸向模量收斂程度幾乎沒有影響，對其他面外的模量分量影響較小，對面內(nèi)的模量分量影響較大。

(4)基于本文方法所得有效模量建立了整體式模型，在減少計算時間和收斂難度的同時，可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的精細(xì)化模型，模擬結(jié)構(gòu)的宏觀變形。