井中偶極聲源在橫向各向同性地層中的輻射波場

古希浩， 唐曉明,3*， 蘇遠大,3

1 中國石油大學(華東)地球科學與技術(shù)學院， 青島 266580 2 中國石油大學(華東)深層油氣重點實驗室， 青島 266580 3 青島海洋科學與技術(shù)國家實驗室海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術(shù)功能實驗室， 青島 266071

0 引言

各向異性地層中聲源的輻射與波傳播問題一直是地球物理領(lǐng)域內(nèi)十分重要的方向(Levin，1979；Thomsen，1986；Wang，2011；周欣等，2020).特別是在井孔地球物理模型中，由于各向異性地層與充液井孔的共同作用，井中聲源激發(fā)的彈性波場變得更為復雜(Fang et al.，2014).隨著非常規(guī)頁巖油氣勘探開發(fā)的進一步深入，研究井中聲源在各向異性(尤其是橫向各向同性)地層中的輻射特性(劉金霞等，2012；孫偉家等，2013；李希強等，2013)，對井間地震走時的準確拾取，VSP剖面的正確追蹤，特別是聲波遠探測技術(shù)(唐曉明和魏周拓，2012；Wang et al.，2015；Li and Yue，2017；Li et al.，2021；劉匯鑫等，2021)中井外地質(zhì)體的精確刻畫具有重要意義.明確各向異性和主頻對聲源輻射特性的影響對井下儀器的研制以及成像方法的改進具有指導作用.

多年來，國內(nèi)外學者對井中聲源的輻射特性已經(jīng)開展了一系列研究工作.Meredith(1990)采用解析和數(shù)值相結(jié)合的方法研究了軸對稱聲源在井外近場與遠場中的輻射指向性，為井間地震現(xiàn)場數(shù)據(jù)的理解提供了基本的模擬工具.隨著偶極聲波遠探測技術(shù)逐漸成為研究熱點，Tang等(2014)基于最速下降法，給出了井中偶極聲源的遠場輻射波形，通過與嚴格解所得結(jié)果對比，驗證了該方法在輻射波場計算中的有效性.許家旗和胡恒山(2020)通過遠場近似方法獲得了充液井中偏心膨脹源的輻射波場，并闡明了聲源偏心距與波場方位性之間的關(guān)系.但是上述研究皆設(shè)置井外地層為各向同性均勻介質(zhì)，對井外各向異性地層的研究涉略較少.目前僅有少量學者進行了研究，如White(1982)考慮到非常規(guī)儲層廣泛存在的各向異性特征，推導出井中低頻震源激發(fā)的彈性波遠場位移的嚴格解，并討論了波前面與各向異性的關(guān)系.Dong和Toks?z(1995)考察了井中無指向性的爆炸源在中等各向異性地層中的輻射指向性，但因受到當時計算機的計算精度限制，導致耦合分量的輻射指向性出現(xiàn)毛刺狀尖峰，且其未考慮特殊各向異性地層中的三叉區(qū).近年來，具有方位識別能力的多極聲源在井下探測中廣泛使用(王瑞甲和喬文孝，2015)，但是對于井中多極尤其是偶極聲源在各向異性地層中激發(fā)的波場尚未見詳細研究.而且與各向同性介質(zhì)不同的是，各向異性介質(zhì)中的彈性波速度與傳播方向有關(guān)，因此無法根據(jù)最速下降法求取遠場位移表達式的顯式解(Dong and Toks?z，1995)，這也為各向異性地層井外波場模擬的實現(xiàn)增加了的難度.

本文首先對井中偶極聲源在各向異性(主要考慮橫向各向同性)地層中激發(fā)彈性波的遠場位移表達式進行嚴格解析求解，然后運用最速下降法，借助群速度面與相速度面之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到各向異性地層中準P(簡稱qP)、準SV(簡稱qSV)和SH波的遠場位移漸近解，對比二者傅里葉變換后所得遠場波形，驗證了遠場漸近解的精確性.最后根據(jù)漸近解表達式計算得到輻射指向性與輻射波形，著重研究了聲源頻率和各向異性對井中偶極聲源輻射特性的影響.本文的結(jié)果可以為井外全波場的觀測解釋以及偶極聲波遠探測技術(shù)在各向異性地層中的應(yīng)用提供理論支持.

1 VTI地層井外遠場位移嚴格解

充液井中聲源激發(fā)的彈性波場主要分為井內(nèi)與井外兩部分，各向異性地層情況下的井內(nèi)波場基于聲波導理論已經(jīng)得到詳實地模擬與分析(Ellefsen，1990；He and Hu，2009)，本文主要關(guān)注井外的輻射波場.采用圖1所示的坐標系進行描述，設(shè)半徑為a的無限長圓柱井孔中充滿密度為ρf的流體，井外是以井軸為對稱軸的橫向各向同性地層，其各向異性特征由五個獨立的彈性常數(shù)表征(唐曉明和鄭傳漢，2004).井中的偶極聲源位于坐標原點，指向x軸正方向.θ為輻射波射線與z軸正方向的夾角，φ為輻射波射線和井軸所在矢面與聲源指向之間的夾角，R為聲源到輻射場點之間的距離，uR、uθ和uφ分別表示各向異性地層中qP、qSV和SH波產(chǎn)生的位移，其偏振方向與傳播方向并不平行或垂直.

圖1 描述井中偶極聲源在橫向各向同性地層中的輻射聲場所采用的坐標示意圖

根據(jù)霍姆赫茲定理，各向異性地層中彈性波的位移矢量場表示為：

(1)

(2)

其中，r0為偶極聲源的分布半徑，r和z分別為場點的徑向和軸向距離，ω為圓頻率，S(ω)為聲源函數(shù)，k是軸向波數(shù)，f、qP、qSV和qSH分別表示流體、qP、qSV和SH波的徑向波數(shù)(具體表達式參見(唐曉明和鄭傳漢，2004)).Kn是第二類變形貝塞爾函數(shù)，考慮偶極聲源取n=1.由于各向異性造成qP波與qSV波的耦合，式(2)中qP和qSV波的位移勢函數(shù)φ和Γ都包含qp、qsv兩種本征波動，qP波中的qsv分量由b′控制，qSV波中的qp分量由a′控制，其中：

(3)

此外SH波可獨立傳播，其勢函數(shù)只包含單純的環(huán)向分量.

式(2)中井外彈性波分量的振幅系數(shù)可由矩陣方程(4)求?。?/p>

(4)

其中，An為井內(nèi)偶極聲波的振幅系數(shù)，表征著井內(nèi)導波聲場的強弱；Bn、Dn和Fn分別為地層中qp、sh和qsv波動的振幅系數(shù)，是井外輻射波場的重點考慮對象.方程左側(cè)為Q矩陣與振幅系數(shù)的乘積，表示井內(nèi)導波與地層中彈性波在井壁上產(chǎn)生的應(yīng)力和法向位移，右側(cè)b向量表示井中偶極聲源在井壁處的直接貢獻，井壁兩側(cè)的應(yīng)力和法向位移連續(xù)，由此邊界條件建立矩陣方程.其中Q矩陣和b向量的元素表達式由附錄A給出.

將式(2)中的位移勢函數(shù)代入式(1)，可得到各向異性地層中qP、qSV和SH波的位移分量的積分解：

(5)

井中偶極聲源輻射到在VTI地層中的彈性波以球面波的形式向外傳播，輻射波的位移表達式也可用球坐標系來表示，對于地層中的qP波：

(6)

式中，uR-p代表qP波中的qp分量，由柱坐標系下qP波的徑向和軸向位移中的qp分量投影到球坐標系而得；uR-sv代表qP波中的qsv分量，由柱坐標系下qP波的徑向和軸向位移中的qsv分量經(jīng)坐標系轉(zhuǎn)換得來.

對于地層中的qSV波：

(7)

式中，uθ-sv代表垂向夾角為θ方向上的qSV波中的qsv分量，由柱坐標系下qSV波的徑向和軸向位移中的qsv分量投影到球坐標系而得；uθ-p代表qSV波中的qp分量，由柱坐標系下qSV波的徑向和軸向位移中的qp分量經(jīng)坐標系轉(zhuǎn)換得來.此外，各向異性地層中SH波位移uφ在球坐標系與柱坐標系中并無二致，表達式相同.

2 VTI地層井外遠場位移漸近解

井間地震、遠探測測井和VSP剖面所涉及的波場輻射范圍一般都遠大于波長，滿足遠場條件|ξr|?1(ξ為井外地層中彈性波的徑向波數(shù)，r為聲源與場點的徑向距離).將最速下降法(Aki and Richards，1980)用于上述嚴格解，忽略O(shè)(1/R2)的高階項，可得各向異性地層中qP波位移的遠場漸近解表達式：

(8)

qSV波位移的遠場漸近解表達式：

(9)

SH波位移的遠場漸近解表達式：

(10)

最速下降法的求解步驟為：定義ψ(k)=ikcosθ-qsinθ，確定滿足Ψ′(k0)=0的鞍點k0，使用不同振型(qp、qsv、sh)的軸向和徑向波數(shù)的表達式可分別求取不同振型的最速下降解，其中kP0、kSV0和kSH0分別為qp、qsv分量和SH波軸向波數(shù)的最速下降解，qP0、qSV0和qSH0分別為qp、qsv分量和SH波徑向波數(shù)的最速下降解，然后代入式(8)—(10)中相應(yīng)的位移分量中可得各向異性地層中彈性波的位移遠場漸近解，ψ″(k)的具體表達式由附錄B給出.

在各向同性介質(zhì)中，軸向波數(shù)的最速下降解為k0=ωcosθ/v，其中v為地層的彈性波速.在各向異性介質(zhì)中，由于相速度與群速度具有差異，顯式類型的最速下降解不復存在，此時可以借助相速度面與群速度面之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系來獲得隱式的最速下降解(Dong and Toks?z，1995).如圖2所示，井外為各向異性地層(參數(shù)見表1)，根據(jù)Kelvin-Christoffel方程(Carcione，2014)可求得彈性波相速度在特定方向的解析表達式：

(11)

式中可以看出各向異性介質(zhì)中彈性波的相速度vph具有角散性質(zhì)，速度大小隨著相角θph改變.相速度vph與群速度vg可通過幾何關(guān)系互相轉(zhuǎn)換：

(12)

群角θg與相角θph也符合下述轉(zhuǎn)換公式：

(13)

針對式(8)—(10)中給定的觀測角度θ(觀測方向與井孔的夾角，即群角θg)，得出qp、qsv和sh波動在群速度面上的對應(yīng)點(見圖2a)，然后根據(jù)式(12)和(13)可以反推找到給定的觀測角度θ在相速度面上所對應(yīng)的點(見圖2b)，以確定vph和θph.各向異性介質(zhì)中軸向波數(shù)的最速下降解為k0=ωcosθph/vph(對應(yīng)式(8)—(10)中的kP0、kSV0和kSH0)，徑向波數(shù)的最速下降解為q0=-iωsinθph/vph(對應(yīng)式(8)—(10)中的qP0、qSV0和qSH0).值得注意的是在特殊各向異性地層(如石膏與土質(zhì)夾層)中，各向異性參數(shù)滿足關(guān)系式(Payton，1983)

圖2 借助qp、qsv和sh波動的(a)群速度面和(b)相速度面來確定中等各向異性介質(zhì)中輻射波波數(shù)的隱式最速下降解

(c13+c44)2-c11(c33-c44)>0，

(14)

或：

此時qsv波動的群角在某些范圍內(nèi)會出現(xiàn)三個群速度與之對應(yīng)的情況(Auld，1973)，如圖3所示.此時針對特定觀測角度θg對應(yīng)的三個群速度分別找到其相應(yīng)的相速度，獲取三個最速下降解，分別代入qsv分量的位移表達式可得其位移在特殊各向異性地層中的遠場漸近解.

圖3 借助qp、qsv和sh波動的(a)群速度面和(b)相速度面來確定特殊各向異性介質(zhì)中輻射波波數(shù)的隱式最速下降解.這種情況下qsv波動的群速度面會出現(xiàn)三叉區(qū)

為考察井孔與各向異性對偶極聲源的影響，基于式(8)、(9)和(10)分別定義qP、qSV和SH波的輻射指向性為：

(16)

將最速下降解代入式(8)、(9)和(10)可以計算任意頻率下各向異性介質(zhì)中qP、qSV和SH波的遠場輻射波形，利用式(16)便可以得到三種波的輻射指向性.

3 數(shù)值計算結(jié)果及分析

本文從各向異性地層中偶極聲場的遠場漸近解出發(fā)，著重研究聲源頻率和各向異性對井中偶極聲源的遠場輻射特性的影響.

3.1 算法對比驗證

為了證明該方法的可靠性，首先考察在砂巖條件下各向異性遠場近似方法與Tang等(2014)論文中各向同性方法的自洽性，然后將奧斯汀白堊層中遠場漸近解(式(8))模擬的波形結(jié)果與式(6)中的嚴格解計算的波形結(jié)果進行對比，模型中流體與地層的彈性參數(shù)見表1.

表1 模型參數(shù)

圖4a是在砂巖地層情況下，使用各向異性遠場近似方法和Tang等(2014)中各向同性方法計算的P波遠場波形的對比結(jié)果，計算采用中心頻率為3 kHz的Kelly聲源，井孔半徑為0.1 m；偶極聲源指向x軸正方向，在xoz面內(nèi)存在由10個間距為1 m的接收器組成的接收陣列，并且在距離聲源5m處垂直于x軸放置.其中黑色實線為各向同性方法計算的結(jié)果，紅色虛線為本文各向異性方法計算的結(jié)果.在砂巖地層中各向異性為零，群速度面與相速度面重合，式(3)中的耦合因子取值為零，P波位移中不包含qsv分量.兩種方法計算所得波形的到時和幅度都十分吻合，表明各向異性遠場漸近結(jié)果退化為各向同性時，與已發(fā)表的各向同性結(jié)果自洽.

圖4b是井外為奧斯汀白堊層的情況下，qP波遠場位移的嚴格解和遠場漸近解計算的對比結(jié)果，黑色實線為嚴格解計算的輻射波形，紅色虛線為漸近解計算的輻射波形.與砂巖地層不同的是，此時qP波輻射波場中存在qp和qsv兩種波動形式，qp分量到時較早并且幅度較大，由于各向異性的存在而耦合出的qsv分量到時稍晚并且幅度較小.無論是qp分量還是qsv分量，兩種方法計算所得波形都幾乎完全重合，驗證了各向異性條件下漸近解計算所得結(jié)果的正確性和可靠性.

圖4 (a)砂巖地層情況下，P波位移的各向同性與各向異性遠場漸近結(jié)果的自洽驗證；(b)奧斯汀白堊層中，qP波位移的嚴格解與遠場漸近結(jié)果對比

接下來利用各向異性條件下的遠場漸近解，詳細討論聲源頻率和地層各向異性對充液井中偶極聲源的輻射指向性的影響.

3.2 不同聲源頻率下的偶極輻射特性

在井孔地球物理勘探中，不同類型的勘探方法所使用聲源的激發(fā)主頻通常也在不同的區(qū)間，VSP和井間地震方法通常使用低頻震源(100 Hz左右)，聲波遠探測中偶極聲源激發(fā)頻帶涵蓋2～5 kHz，相對其他地震成像方法具有分辨率高的優(yōu)勢(古希浩等，2020)，同時也存在更遠距離成像的需求(董經(jīng)利等，2020).在各向異性條件下，考察頻率對井中偶極聲源輻射特性的影響，優(yōu)選出適宜的激發(fā)主頻，對井下探測儀器的設(shè)計與改進具有重要的意義.

偶極聲波遠探測技術(shù)通常使用SH波對井外裂縫進行探測，因此我們首先設(shè)置式(16)中φ=90°，此時場點在yoz平面內(nèi)，通過計算RSH來關(guān)注不同主頻情況下奧斯汀白堊層中偶極SH波的輻射指向性(如圖5所示)，其中環(huán)向刻度代表聲源輻射方向與井軸的夾角，徑向刻度為單位強度的聲源輻射到地層中彈性波的相對幅值.從圖中可以看出偶極聲源向井外輻射的SH波較為純凈，不存在其他耦合分量.當聲源主頻為低頻0.1 kHz時，由于波長遠大于井徑，聲源的輻射并不受井孔的調(diào)制作用(Tang et al.，2014)，但與各向同性介質(zhì)不同的是，各向異性地層中SH波的輻射指向性并非均勻輻射的圓形，而是軸向稍扁、徑向略鼓的橢圓形(見圖5a)，這說明水平偏振的SH波更傾向于沿著層理面?zhèn)鞑?，各向異性的存在使得SH波的輻射能量向徑向壓縮，這樣對井外豎直裂縫等反射體的探測敏感度更高.隨著頻率的增加(圖5a—f)，SH波的輻射指向性的幅度先增大后減小，在3 kHz和4 kHz之間激發(fā)強度最大，相比于砂巖地層中輻射能流峰值位于4.2 kHz(曹景記等，2016)，奧斯汀白堊層中優(yōu)勢激發(fā)頻率向低頻移動.而且在優(yōu)勢頻率(3.5 kHz)附近SH波輻射指向性的覆蓋性良好，徑向探測能力突出，更有利于識別與井平行的反射體.

圖5 不同聲源主頻條件下，井外各向異性地層中偶極SH波的輻射指向性

接下來設(shè)置式(16)中φ=0°，此時場點在xoz平面內(nèi)，通過計算RqSV可得出不同主頻情況下偶極qSV波的輻射指向性.與各向同性地層中SV波類似，qSV波中qsv分量(簡稱qSV-sv波，用空心圓圈表示)的輻射指向性呈現(xiàn)蝶形.受地層的各向異性影響，qSV波還存在式(3)中耦合項a′所貢獻的qp分量(簡稱qSV-p波，用實線表示，并在右側(cè)放大顯示)，這是各向異性地層充液井中偶極聲源輻射的重要特征.如圖6a所示，當聲源主頻為低頻0.1 kHz時，qSV-sv波的輻射指向性呈現(xiàn)上下對稱的兩瓣，相對于各向同性中的圓形(Tang et al.，2014)，各向異性的存在使得輻射能量向45°匯聚，這是因為垂直層理結(jié)構(gòu)阻礙了能量的傳播，而qSV-sv波在徑向存在零點，導致能量只能從0°至90°的中間角度向外輻射.值得注意的是，qSV-p波的輻射指向性也是蝶形，在徑向和垂向為零，說明層理面或者垂直層理面方向qSV波還原為嚴格意義上的SV波.隨著激發(fā)頻率的增加(圖6a—f)，qSV-sv波的幅度變化不大，但輻射能量更加集中于45°方向，輻射覆蓋范圍也更加狹窄；qSV-p波的波幅隨著頻率的增加先增大后減小，在5 kHz左右激發(fā)強度最大，但是頻率對其輻射形狀影響不大.由于qSV波無徑向探測能力，聲波遠探測中常不予考慮，但是井外若存在45°傾斜的反射體，該振型或許有微弱響應(yīng).

偶極qP波與qSV波在相同平面內(nèi)，通過計算式(16)中的RqP得到其輻射指向性.從圖中可以看出偶極聲源向井外輻射的qP波中存在qp和qsv兩種成分，其中qp分量(簡稱qP-p波，用空心圓圈表示)的輻射指向性與各向同性地層中的純P波相似，以井孔為軸呈現(xiàn)出對稱的兩瓣，具有良好的輻射覆蓋性.其耦合分量(簡稱qP-sv波，用實線表示)的輻射指向性的形狀與上文中的qSV-p波相似，呈現(xiàn)出蝶形.從圖7可以看出，qP波中耦合分量與主分量的幅度在同一量級，在低頻(圖7a)尤為明顯，相比之下圖6中qSV波中耦合分量要比主分量微弱的多，說明橫波耦合分量對各向異性的敏感度要強于縱波.隨著激發(fā)頻率的增加(圖7a—f)，qP-p波的幅度先增大后減小，在4～5kHz之間最易激發(fā).值得注意的是，qP波的輻射指向性的幅度遠小于比SH波，而qSV波無徑向探測能力，因此SH波在輻射波場中依然占據(jù)主導地位，在各向異性地層依然需要使用SH波進行遠探測成像.

圖6 不同聲源主頻條件下，各向異性地層中偶極qSV波的輻射指向性

圖7 不同聲源主頻條件下，各向異性地層中偶極qP波的輻射指向性

3.3 各向異性對偶極輻射特性的影響

接下來利用式(8)、(9)和(10)計算井中偶極聲源激發(fā)，通過井外豎直平面內(nèi)各個方向接收器所記錄的波場，來觀測輻射波場隨地層各向異性的變化規(guī)律.聲源主頻設(shè)置為偶極測井常用的3 kHz，井外接收器以5m等源距環(huán)繞在聲源周圍，分別考慮地層為各向同性(選用奧斯汀白堊層中的c11和c66為各向同性地層的壓縮和剪切模量)、中等各向異性(奧斯汀白堊層)和特殊各向異性(石膏-土質(zhì)夾層)的情況，SH、qSV和qP波的輻射波場分別以各向同性地層中該類型輻射波的最大幅度為標準進行歸一化，地層具體彈性參數(shù)見表1(數(shù)據(jù)來源于(White，1982)).

圖8給出不同各向異性情況下，井外偶極SH波的輻射波場.在各向同性地層中(圖8a)，SH輻射波良好地覆蓋井外各個方向，受到井孔的調(diào)制作用，徑向(90°)輻射波形幅度最大；此時彈性波傳播速度與角度無關(guān)，到時面也呈現(xiàn)出規(guī)則的圓形.隨著地層各向異性增強(圖8b、c)，SH波的輻射能量向徑向集中，其他方向的能量減弱，在特殊各向異性的石膏-土質(zhì)夾層中，能量甚至極端匯聚到徑向，大部分能量沿著水平層理方向輻射傳播，這與上文輻射指向性的分析一致.受到彈性波速度角散性質(zhì)的影響，不同接收器所記錄SH波的傳播速度不同，到時面呈現(xiàn)橢圓形甚至蝶形.此時若使用井中測量波速進行速度建模會造成反射體位置誤差，因此在遠探測成像時考慮各向異性校正(Tang et al.，2008)非常有必要.

圖8 (a)各向同性、(b)中等各向異性和(c)特殊各向異性地層中，井外環(huán)向接收到的偶極SH波的輻射波場，聲源主頻為3 kHz

圖9給出不同各向異性情況下，井外偶極qSV波的輻射波場.在各向同性地層中(圖9a)，純SV輻射波以聲源為圓心在平面內(nèi)均勻分布，但是波幅在徑向和軸向為零.在中等各向同性地層中(圖9b)，qSV波由主分量qSV-sv波和微弱的耦合分量qSV-p波兩部分構(gòu)成，qSV-sv波幅度在30°～60°較強，qSV-p波在50°～80°較為明顯；兩種波分別以qsv波動與qp波動的速度傳播，由于受到速度角散的影響，它們的到時面也呈現(xiàn)出橢圓形.在特殊各向同性的石膏-土質(zhì)夾層中(圖9c)，qSV-sv波場在15°～75°出現(xiàn)三叉區(qū)(Triplication or cusps).從圖中可以看到，在三叉區(qū)的尖點附近還會呈現(xiàn)出振幅奇異性，這是因為常規(guī)球面波的幾何衰減為R-1，但是尖點處qSV-sv波傳播的幾何衰減為R-0.8(White，1982)，所以造成尖點方向的波形振幅的異常.

圖9 (a)各向同性、(b)中等各向異性和(c)特殊各向異性地層中，井外環(huán)向接收到的偶極qSV波的輻射波場，聲源主頻為3 kHz

圖10給出在不同各向異性情況下，井外偶極qP波的輻射波場.各向同性地層中的偶極P波向井外均勻輻射，到時面為圓形，波幅在徑向略高.隨著各向異性增加，在奧斯汀白堊層中井外波場除了qP-p波主分量外，在45°附近還耦合出具有相當可觀的qP-sv波，受各向異性的影響，兩種波的到時面為橢圓形，qP-p波在徑向波速較快.在特殊各向異性的石膏-土質(zhì)夾層中，qP-p波的到時面更是向徑向集中壓縮，其幅度在徑向也是極為強烈.此外qP-sv波在特殊各向異性地層中也出現(xiàn)三叉區(qū)并產(chǎn)生振幅奇異性，與White(1982)文章中所得結(jié)論吻合，證實了基于遠場近似理論的井外偶極波場模擬方法在各向異性地層中的有效適用性.

圖10 (a)各向同性、(b)中等各向異性和(c)特殊各向異性地層中，井外環(huán)向接收到的偶極qP波的輻射波場，聲源主頻為3 kHz

4 結(jié)論

本文基于最速下降法，借助相速度與群速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，給出了井中偶極聲源在各向異性地層中輻射波場的快速模擬方法，并深入研究了聲源激發(fā)主頻與各向異性對偶極輻射特性的影響，得到以下幾點認識：

(1)SH波在輻射波場中依然占據(jù)主導地位，各向異性的存在使得其輻射能量向徑向壓縮，其優(yōu)勢輻射頻率也發(fā)生改變，由于到時面呈現(xiàn)橢圓形甚至蝶形，因此有必要在遠探測成像時考慮各向異性校正.

(2)受地層的各向異性影響，qSV與qP波的輻射波場中均存在qp和qsv兩種分量，qSV波的輻射能量集中于45°方向，井外若存在45°傾斜的反射體，該振型或許有微弱響應(yīng).橫波耦合分量對各向異性的敏感度要強于縱波.

(3)在各向異性參數(shù)滿足一定條件的特殊各向異性的地層中，qSV-sv和qP-sv波的輻射波場都會出現(xiàn)三叉區(qū)(Triplication or cusps)和振幅奇異性，這是特殊各向異性介質(zhì)的重要特征.

附錄A

Q矩陣和b向量中各元素的具體表達式為：

Q11=-nIn(fa)/a-fIn+1(fa)，

Q12=(1+ika′)[nKn(qPa)/a-qPKn+1(qPa)]，

Q13=nKn(qSHa)/a,

Q14=(b′+ik)[nKn(qSVa)/a-qSVKn+1(qSVa)]，

Q21=ρfω2In(fa)，

+2c66(1+ika′)[(n2-n)Kn(qPa)/a2

+qPKn+1(qPa)/a]，

Q23=2nc66[(n-1)Kn(qSHa)/a2-qSHKn+1(qSHa)/a],

+2c66(b′+ik)[(n2-n)Kn(qSVa)/a2

+qSVKn+1(qSVa)/a]，

Q31=0,

Q32=2nc66(1+ika′)[(1-n)Kn(qPa)/a2

+qPKn+1(qPa)/a],

+2qSHKn+1(qSHa)/a},

Q34=2nc66(b′+ik)[(1-n)Kn(qSVa)/a2

+qSVKn+1(qSVa)/a],

Q41=0,

-qPKn+1(qPa)],

Q43=iknc44Kn(qSHa)/a,

-qSVKn+1(qSVa)],

b1=εn[nKn(fa)/a-fKn+1(fa)]，

b2=-εnρfω2Kn(fa),

b3=0，b4=0，b4=0,

其中a是井孔半徑，εn是紐曼因子，當n=0時εn=1，當n>0時εn=2.

附錄B

計算qp分量時ψ″(k0)的表達式為：

(B1)

其中：

(B2)

ψ″SV0(kSV0)的表達式與式(B2)類似，只需將式中徑向波數(shù)與軸向波數(shù)進行替換.

計算SH波時ψ″(k0)的表達式較為簡便：

(B3)

式中參數(shù)的含義在正文中已給出.