均勻磁化永磁棒的磁場

陳伊涵，張譯文，張艷芳，黃 飛

(1. 中國科學(xué)院大學(xué) 本科部，北京 100049；2. 中國科學(xué)院高能物理研究所，北京 100049；3. 中國科學(xué)院大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，北京 101408；4. 中國科學(xué)院大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 101408)

趙凱華教授和陳熙謀教授主編的《電磁學(xué)(第4版)》[1]中有這樣一道習(xí)題(第6章習(xí)題6.1-3)：“題圖所示是一根沿軸向均勻磁化的細(xì)長永磁棒，磁化強(qiáng)度為M，求圖中標(biāo)出各點(diǎn)的B和H.”

圖1 6.1-3題圖

這里因?yàn)橛来虐簟凹?xì)長”且磁化強(qiáng)度沿軸向，對(duì)點(diǎn)1、2、3來說，可以將永磁棒看成無限長的，對(duì)點(diǎn)5、6來說，可以將永磁棒看成半無限長的，由無限長通電螺線管的磁場可知

B2=B3=0，

再由磁感應(yīng)強(qiáng)度法向連續(xù)這一邊界條件知

各點(diǎn)的磁場強(qiáng)度可由H=B/μ0-M計(jì)算得到

H1=H2=H3=0，

問題是，如果磁棒不是“細(xì)長”的，其軸線上各點(diǎn)的磁場分布如何？如果磁棒不是軸向均勻磁化的，而是橫向均勻磁化的(如圖2所示)，各點(diǎn)的磁場分布會(huì)怎樣？進(jìn)一步，如果磁棒是沿任意方向均勻磁化的，其軸線上的磁場又將如何？如果磁棒是無限長的，在軸向、橫向及其它任意方向均勻磁化的情況下，其全空間的磁場分布又將如何？本文對(duì)這些問題逐一給出解答.具體地，我們綜合運(yùn)用分子電流觀點(diǎn)和磁荷觀點(diǎn)，系統(tǒng)地計(jì)算了沿軸向、橫向及其它任意方向均勻磁化的有限長永磁棒在軸線上的磁場以及無限長永磁棒在全空間的磁場.據(jù)我們所知，對(duì)沿橫向均勻磁化及沿其它任意方向均勻磁化永磁棒的磁場分布這一問題，本文屬首次提及并給出詳細(xì)解答.

圖2 橫向均勻磁化永磁棒磁場的示意圖

需要指出的是，本文在永磁棒的不同磁化狀態(tài)下，靈活采用了分子電流觀點(diǎn)和磁荷觀點(diǎn)來計(jì)算其磁場分布，但所得結(jié)果與采用哪種觀點(diǎn)無關(guān).正如趙凱華教授和陳熙謀教授在《電磁學(xué)(第4版)》[1]的6.2章節(jié)中詳細(xì)論述的，雖然分子電流觀點(diǎn)和磁荷觀點(diǎn)所假設(shè)的微觀模型不同，分子電流觀點(diǎn)更符合物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)圖像，磁荷觀點(diǎn)不太符合磁介質(zhì)的微觀本質(zhì)，但在這兩種觀點(diǎn)下得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場強(qiáng)度H的宏觀規(guī)律的表達(dá)式完全相同，因而用兩種觀點(diǎn)計(jì)算所得的具體結(jié)果也完全一樣.從這個(gè)意義上說，這兩種觀點(diǎn)是等效的.在處理實(shí)際問題時(shí)，不同場合下靈活運(yùn)用磁荷觀點(diǎn)和分子電流觀點(diǎn)，可以大大簡化計(jì)算[2,3]，而所得結(jié)果是客觀的，不依賴于采用哪種觀點(diǎn).

1 有限長永磁棒軸線上的磁場分布

1.1 軸向均勻磁化

永磁棒沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度矢量為M，磁化電流分布在永磁棒表面，其面密度為

i′=M×en

(1)

磁化電流等效為如圖3所示的通電螺線管，永磁棒的磁感應(yīng)強(qiáng)度完全由磁化電流產(chǎn)生.設(shè)水平向右為正方向，圖中P點(diǎn)(P點(diǎn)可位于永磁棒內(nèi)外軸線上)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

圖3 磁化電流形成的通電螺線管

將式(1)代入，并考慮方向，得永磁棒軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

永磁棒軸線上的磁場強(qiáng)度可由H=B/μ0-M計(jì)算得到

(3)

1.2 橫向均勻磁化

設(shè)圓柱型永磁棒長度為2L，半徑為R，選圓柱體中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，磁化強(qiáng)度矢量M沿x軸正方向.我們用磁荷觀點(diǎn)來分析該永磁棒軸線上的磁場.永磁棒內(nèi)的磁極化強(qiáng)度矢量為

J=μ0M=μ0Mex

(4)

永磁棒內(nèi)磁荷體密度為0，磁荷只分布在圓柱體表面，其面密度為

σm=J·en=Jcosθ

(5)

其中θ為永磁棒表面一點(diǎn)的法向方向與永磁棒磁化強(qiáng)度矢量之間的夾角，即永磁棒表面上一點(diǎn)在xy平面內(nèi)與x軸的夾角，如圖4所示.式(5)表明，永磁棒表面的磁化電荷面密度σm在z軸方向上是均勻分布的.

圖4 永磁棒表面的磁荷分布圖

如圖5所示，將永磁棒切分為許多個(gè)高度為dl的薄圓盤，并繼續(xù)將薄圓盤切分為許多個(gè)頂角角度為dθ的三棱柱，其磁化電荷量為

圖5 微分法示意圖

dqm=σmRdθdl=JRcosθdθdl

該三棱柱在軸上距離圓盤l處Q點(diǎn)產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度沿x、y、z軸方向的分量分別為：

設(shè)軸線上Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z)，積分得

進(jìn)一步考慮式(4)，得

(6)

即永磁棒軸線上的磁場強(qiáng)度方向與永磁棒的磁化強(qiáng)度矢量方向相反.

永磁棒軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由B=μ0H+J計(jì)算得到

(7)

由式(7)知，在永磁棒外部，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反.在永磁棒內(nèi)部，軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與磁化強(qiáng)度方向相同，在永磁棒外則相反.

1.3 一般情況

我們已經(jīng)得到了軸向均勻磁化和橫向均勻磁化的有限長永磁棒內(nèi)外軸線上的磁場分布.如果永磁棒的磁化方向既不是軸向，也不是橫向，我們可以將其磁化強(qiáng)度矢量沿軸向和橫向分解，然后將軸向分量和橫向分量各自激發(fā)的磁場疊加起來，即得沿任意方向均勻磁化的永磁棒在軸線上的磁場分布.

將1.1節(jié)里的β1和β2用1.2節(jié)里的物理量L，R和z表示

代入式(2)和(3)，將軸向均勻磁化永磁棒軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度及永磁棒內(nèi)外軸線上的磁場強(qiáng)度表示為

(8)

(9)

其中式(9)的上、下式分別代表永磁棒內(nèi)、外軸線上的磁場強(qiáng)度.

如圖6所示，設(shè)一般情況下永磁棒的磁化方向與其軸的夾角為φ.以永磁棒的軸為z軸，以橫向磁化方向?yàn)閤軸正方向，可得永磁棒磁化強(qiáng)度矢量的橫向和軸向分量分別為

圖6 永磁棒沿任意方向磁化

Mx=Msinφex

(10)

Mz=Mcosφez

(11)

將其分別代入式(6)、式(7)、式(8)、式(9)，并將得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁場強(qiáng)度重新組合，可得沿任意方向均勻磁化的永磁棒軸線上的磁場為

2 無限長永磁棒在全空間中的磁場分布

2.1 軸向均勻磁化

令式(2)中β2=0，β1=π，并依據(jù)磁場的環(huán)路定理，可得無限長永磁棒軸向均勻磁化時(shí)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為

H=0 (棒內(nèi)外)

(12)

(13)

即無限長永磁棒沿軸線均勻磁化時(shí)，其內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度是均勻的，外部磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，磁場強(qiáng)度在全空間均為零.

2.2 橫向均勻磁化

如圖7所示，假設(shè)存在兩根均勻帶等量異號(hào)磁荷的永磁棒，圓心間的距離為dx.永磁棒的磁荷體密度各自為±ρm.重疊部分可視為無磁荷，下面求這種組合體的磁荷面密度分布.

圖7 均勻永磁棒磁荷疊加示意圖

取如圖7所示的一塊頂角為dθ的三棱柱，則三棱柱在兩圓柱間的部分可視為底面積為dS，高為dr的四棱柱，其所帶的磁荷為：dqm=ρmdSdr，又由dr=dxcosθ，可得該處磁荷面密度為

與式(5)對(duì)比可知，當(dāng)ρmdx=J時(shí)，兩根均勻帶等量異號(hào)磁荷的無限長永磁棒疊加后的磁荷分布與橫向均勻磁化的無限長永磁棒的磁荷分布一致，從而這兩種模型產(chǎn)生的磁場也一致.

如圖8所示，P點(diǎn)與帶正、負(fù)磁荷的永磁棒的軸線距離分別為r+和r-，則該處的磁勢(shì)為

因?yàn)閞-=r++dr，且dr<

考慮到dr=dxcosθ，r+≈r，ρmdx=J，于是有

由磁勢(shì)可求得永磁棒外距軸線r處的磁場強(qiáng)度為

磁感應(yīng)強(qiáng)度為

圖9 P點(diǎn)在永磁棒內(nèi)部

磁感應(yīng)強(qiáng)度為

這表明，橫向均勻磁化的無限長永磁棒內(nèi)任意一點(diǎn)的H和B都相同，均勻分布，且與棒的半徑無關(guān).在軸線上，直接令式(6)和式(7)中的L→∞會(huì)得到相同的結(jié)果.

綜上可得，無限長永磁棒沿橫向均勻磁化時(shí)，距其軸線距離為r，且與磁化強(qiáng)度M夾角為θ處的磁場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

(14)

(15)

2.3 一般情況

無限長永磁棒沿任一方向均勻磁化時(shí)，與1.3節(jié)一樣，我們將其磁化強(qiáng)度矢量沿軸向和橫向分解，如圖6所示.軸向磁化分量激發(fā)的磁場由式(12)、式(13)給出，橫向磁化分量激發(fā)的磁場由式(14)、式(15)給出，兩者的合成給出永磁棒內(nèi)外的總的磁場分布.

將式(10)、式(11)代入式(12)、式(13)、式(14)、式(15)，并將得到的磁場合成，得無限長永磁棒沿任一方向均勻磁化時(shí)在全空間的磁場分布為

(16)

(17)

其中：ex=cosθer-sinθeθ.由式(16)和式(17)可知，沿任一方向均勻磁化的永磁棒，其內(nèi)部磁場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度都是均勻的，且與永磁棒的半徑無關(guān)，外部的磁場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度均只與磁化強(qiáng)度的橫向分量有關(guān)，與軸向分量無關(guān).

3 結(jié)語

本文分別計(jì)算了沿軸向和橫向均勻磁化的有限長永磁棒軸線上的磁場分布，以及沿軸向和橫向均勻磁化的無限長永磁棒在全空間的磁場分布，并利用疊加原理，給出了沿任意方向均勻磁化的有限長永磁棒在軸線上的磁場以及無限長永磁棒在全空間的磁場.