均勻磁化永磁棒的磁場(chǎng)

陳伊涵，張譯文，張艷芳，黃 飛

(1. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 本科部，北京 100049；2. 中國(guó)科學(xué)院高能物理研究所，北京 100049；3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，北京 101408；4. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 101408)

趙凱華教授和陳熙謀教授主編的《電磁學(xué)(第4版)》[1]中有這樣一道習(xí)題(第6章習(xí)題6.1-3)：“題圖所示是一根沿軸向均勻磁化的細(xì)長(zhǎng)永磁棒，磁化強(qiáng)度為M，求圖中標(biāo)出各點(diǎn)的B和H.”

圖1 6.1-3題圖

這里因?yàn)橛来虐簟凹?xì)長(zhǎng)”且磁化強(qiáng)度沿軸向，對(duì)點(diǎn)1、2、3來說，可以將永磁棒看成無限長(zhǎng)的，對(duì)點(diǎn)5、6來說，可以將永磁棒看成半無限長(zhǎng)的，由無限長(zhǎng)通電螺線管的磁場(chǎng)可知

B2=B3=0，

再由磁感應(yīng)強(qiáng)度法向連續(xù)這一邊界條件知

各點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度可由H=B/μ0-M計(jì)算得到

H1=H2=H3=0，

問題是，如果磁棒不是“細(xì)長(zhǎng)”的，其軸線上各點(diǎn)的磁場(chǎng)分布如何？如果磁棒不是軸向均勻磁化的，而是橫向均勻磁化的(如圖2所示)，各點(diǎn)的磁場(chǎng)分布會(huì)怎樣？進(jìn)一步，如果磁棒是沿任意方向均勻磁化的，其軸線上的磁場(chǎng)又將如何？如果磁棒是無限長(zhǎng)的，在軸向、橫向及其它任意方向均勻磁化的情況下，其全空間的磁場(chǎng)分布又將如何？本文對(duì)這些問題逐一給出解答.具體地，我們綜合運(yùn)用分子電流觀點(diǎn)和磁荷觀點(diǎn)，系統(tǒng)地計(jì)算了沿軸向、橫向及其它任意方向均勻磁化的有限長(zhǎng)永磁棒在軸線上的磁場(chǎng)以及無限長(zhǎng)永磁棒在全空間的磁場(chǎng).據(jù)我們所知，對(duì)沿橫向均勻磁化及沿其它任意方向均勻磁化永磁棒的磁場(chǎng)分布這一問題，本文屬首次提及并給出詳細(xì)解答.

圖2 橫向均勻磁化永磁棒磁場(chǎng)的示意圖

需要指出的是，本文在永磁棒的不同磁化狀態(tài)下，靈活采用了分子電流觀點(diǎn)和磁荷觀點(diǎn)來計(jì)算其磁場(chǎng)分布，但所得結(jié)果與采用哪種觀點(diǎn)無關(guān).正如趙凱華教授和陳熙謀教授在《電磁學(xué)(第4版)》[1]的6.2章節(jié)中詳細(xì)論述的，雖然分子電流觀點(diǎn)和磁荷觀點(diǎn)所假設(shè)的微觀模型不同，分子電流觀點(diǎn)更符合物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)圖像，磁荷觀點(diǎn)不太符合磁介質(zhì)的微觀本質(zhì)，但在這兩種觀點(diǎn)下得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場(chǎng)強(qiáng)度H的宏觀規(guī)律的表達(dá)式完全相同，因而用兩種觀點(diǎn)計(jì)算所得的具體結(jié)果也完全一樣.從這個(gè)意義上說，這兩種觀點(diǎn)是等效的.在處理實(shí)際問題時(shí)，不同場(chǎng)合下靈活運(yùn)用磁荷觀點(diǎn)和分子電流觀點(diǎn)，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算[2,3]，而所得結(jié)果是客觀的，不依賴于采用哪種觀點(diǎn).

1 有限長(zhǎng)永磁棒軸線上的磁場(chǎng)分布

1.1 軸向均勻磁化

永磁棒沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度矢量為M，磁化電流分布在永磁棒表面，其面密度為

i′=M×en

(1)

磁化電流等效為如圖3所示的通電螺線管，永磁棒的磁感應(yīng)強(qiáng)度完全由磁化電流產(chǎn)生.設(shè)水平向右為正方向，圖中P點(diǎn)(P點(diǎn)可位于永磁棒內(nèi)外軸線上)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

圖3 磁化電流形成的通電螺線管

將式(1)代入，并考慮方向，得永磁棒軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

永磁棒軸線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度可由H=B/μ0-M計(jì)算得到

(3)

1.2 橫向均勻磁化

設(shè)圓柱型永磁棒長(zhǎng)度為2L，半徑為R，選圓柱體中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，磁化強(qiáng)度矢量M沿x軸正方向.我們用磁荷觀點(diǎn)來分析該永磁棒軸線上的磁場(chǎng).永磁棒內(nèi)的磁極化強(qiáng)度矢量為

J=μ0M=μ0Mex

(4)

永磁棒內(nèi)磁荷體密度為0，磁荷只分布在圓柱體表面，其面密度為

σm=J·en=Jcosθ

(5)

其中θ為永磁棒表面一點(diǎn)的法向方向與永磁棒磁化強(qiáng)度矢量之間的夾角，即永磁棒表面上一點(diǎn)在xy平面內(nèi)與x軸的夾角，如圖4所示.式(5)表明，永磁棒表面的磁化電荷面密度σm在z軸方向上是均勻分布的.

圖4 永磁棒表面的磁荷分布圖

如圖5所示，將永磁棒切分為許多個(gè)高度為dl的薄圓盤，并繼續(xù)將薄圓盤切分為許多個(gè)頂角角度為dθ的三棱柱，其磁化電荷量為

圖5 微分法示意圖

dqm=σmRdθdl=JRcosθdθdl

該三棱柱在軸上距離圓盤l處Q點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度沿x、y、z軸方向的分量分別為：

設(shè)軸線上Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z)，積分得

進(jìn)一步考慮式(4)，得

(6)

即永磁棒軸線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度方向與永磁棒的磁化強(qiáng)度矢量方向相反.

永磁棒軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由B=μ0H+J計(jì)算得到

(7)

由式(7)知，在永磁棒外部，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反.在永磁棒內(nèi)部，軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與磁化強(qiáng)度方向相同，在永磁棒外則相反.

1.3 一般情況

我們已經(jīng)得到了軸向均勻磁化和橫向均勻磁化的有限長(zhǎng)永磁棒內(nèi)外軸線上的磁場(chǎng)分布.如果永磁棒的磁化方向既不是軸向，也不是橫向，我們可以將其磁化強(qiáng)度矢量沿軸向和橫向分解，然后將軸向分量和橫向分量各自激發(fā)的磁場(chǎng)疊加起來，即得沿任意方向均勻磁化的永磁棒在軸線上的磁場(chǎng)分布.

將1.1節(jié)里的β1和β2用1.2節(jié)里的物理量L，R和z表示

代入式(2)和(3)，將軸向均勻磁化永磁棒軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度及永磁棒內(nèi)外軸線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度表示為

(8)

(9)

其中式(9)的上、下式分別代表永磁棒內(nèi)、外軸線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度.

如圖6所示，設(shè)一般情況下永磁棒的磁化方向與其軸的夾角為φ.以永磁棒的軸為z軸，以橫向磁化方向?yàn)閤軸正方向，可得永磁棒磁化強(qiáng)度矢量的橫向和軸向分量分別為

圖6 永磁棒沿任意方向磁化

Mx=Msinφex

(10)

Mz=Mcosφez

(11)

將其分別代入式(6)、式(7)、式(8)、式(9)，并將得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度重新組合，可得沿任意方向均勻磁化的永磁棒軸線上的磁場(chǎng)為

2 無限長(zhǎng)永磁棒在全空間中的磁場(chǎng)分布

2.1 軸向均勻磁化

令式(2)中β2=0，β1=π，并依據(jù)磁場(chǎng)的環(huán)路定理，可得無限長(zhǎng)永磁棒軸向均勻磁化時(shí)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為

H=0 (棒內(nèi)外)

(12)

(13)

即無限長(zhǎng)永磁棒沿軸線均勻磁化時(shí)，其內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度是均勻的，外部磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，磁場(chǎng)強(qiáng)度在全空間均為零.

2.2 橫向均勻磁化

如圖7所示，假設(shè)存在兩根均勻帶等量異號(hào)磁荷的永磁棒，圓心間的距離為dx.永磁棒的磁荷體密度各自為±ρm.重疊部分可視為無磁荷，下面求這種組合體的磁荷面密度分布.

圖7 均勻永磁棒磁荷疊加示意圖

取如圖7所示的一塊頂角為dθ的三棱柱，則三棱柱在兩圓柱間的部分可視為底面積為dS，高為dr的四棱柱，其所帶的磁荷為：dqm=ρmdSdr，又由dr=dxcosθ，可得該處磁荷面密度為

與式(5)對(duì)比可知，當(dāng)ρmdx=J時(shí)，兩根均勻帶等量異號(hào)磁荷的無限長(zhǎng)永磁棒疊加后的磁荷分布與橫向均勻磁化的無限長(zhǎng)永磁棒的磁荷分布一致，從而這兩種模型產(chǎn)生的磁場(chǎng)也一致.

如圖8所示，P點(diǎn)與帶正、負(fù)磁荷的永磁棒的軸線距離分別為r+和r-，則該處的磁勢(shì)為

因?yàn)閞-=r++dr，且dr<

考慮到dr=dxcosθ，r+≈r，ρmdx=J，于是有

由磁勢(shì)可求得永磁棒外距軸線r處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

磁感應(yīng)強(qiáng)度為

圖9 P點(diǎn)在永磁棒內(nèi)部

磁感應(yīng)強(qiáng)度為

這表明，橫向均勻磁化的無限長(zhǎng)永磁棒內(nèi)任意一點(diǎn)的H和B都相同，均勻分布，且與棒的半徑無關(guān).在軸線上，直接令式(6)和式(7)中的L→∞會(huì)得到相同的結(jié)果.

綜上可得，無限長(zhǎng)永磁棒沿橫向均勻磁化時(shí)，距其軸線距離為r，且與磁化強(qiáng)度M夾角為θ處的磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

(14)

(15)

2.3 一般情況

無限長(zhǎng)永磁棒沿任一方向均勻磁化時(shí)，與1.3節(jié)一樣，我們將其磁化強(qiáng)度矢量沿軸向和橫向分解，如圖6所示.軸向磁化分量激發(fā)的磁場(chǎng)由式(12)、式(13)給出，橫向磁化分量激發(fā)的磁場(chǎng)由式(14)、式(15)給出，兩者的合成給出永磁棒內(nèi)外的總的磁場(chǎng)分布.

將式(10)、式(11)代入式(12)、式(13)、式(14)、式(15)，并將得到的磁場(chǎng)合成，得無限長(zhǎng)永磁棒沿任一方向均勻磁化時(shí)在全空間的磁場(chǎng)分布為

(16)

(17)

其中：ex=cosθer-sinθeθ.由式(16)和式(17)可知，沿任一方向均勻磁化的永磁棒，其內(nèi)部磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度都是均勻的，且與永磁棒的半徑無關(guān)，外部的磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度均只與磁化強(qiáng)度的橫向分量有關(guān)，與軸向分量無關(guān).

3 結(jié)語

本文分別計(jì)算了沿軸向和橫向均勻磁化的有限長(zhǎng)永磁棒軸線上的磁場(chǎng)分布，以及沿軸向和橫向均勻磁化的無限長(zhǎng)永磁棒在全空間的磁場(chǎng)分布，并利用疊加原理，給出了沿任意方向均勻磁化的有限長(zhǎng)永磁棒在軸線上的磁場(chǎng)以及無限長(zhǎng)永磁棒在全空間的磁場(chǎng).