極坐標(biāo)下橢圓環(huán)和橢圓盤剛體的轉(zhuǎn)動慣量

黎 磊，蔡 粵，李文軍，劉婷婷，萬慧軍

(井岡山大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 物理系，江西 吉安 343009)

剛體定軸轉(zhuǎn)動是大學(xué)物理、普通物理力學(xué)部分以及理論力學(xué)中的重要內(nèi)容，而其中轉(zhuǎn)動慣量這個知識點(diǎn)有著重要的物理意義，它是物體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度，其在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)等領(lǐng)域也是一個非常重要的參量．教材[1]中討論了勻質(zhì)的圓環(huán)和圓盤剛體對垂直環(huán)(或盤)平面且過其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，文獻(xiàn)[2-5]在直角坐標(biāo)系下利用橢圓的參數(shù)方程計(jì)算了橢圓環(huán)剛體繞垂直于環(huán)平面且通過中心的軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量，文獻(xiàn)[6]中用直角坐標(biāo)法和廣義柱面坐標(biāo)法計(jì)算了橢圓柱體繞對稱軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量，文獻(xiàn)[7]中用質(zhì)量投影法討論了六面體、橢圓盤、橢圓柱、圓臺等幾種特殊形狀勻質(zhì)剛體繞對稱軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量，文獻(xiàn)[8]用質(zhì)量投影法計(jì)算了橢圓柱面剛體繞對稱軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量．本研究直接根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，在極坐標(biāo)系下求解了橢圓環(huán)和橢圓盤對垂直環(huán)(或盤)平面且過橢圓焦點(diǎn)和過中心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，并且數(shù)值計(jì)算了轉(zhuǎn)動慣量隨橢圓離心率的變化關(guān)系．本研究計(jì)算過程簡單，物理圖像清楚，是對課本知識的延伸，且有利于學(xué)生理解轉(zhuǎn)動慣量的求法以及掌握極坐標(biāo)的運(yùn)用．

1 橢圓環(huán)和橢圓盤剛體轉(zhuǎn)動慣量的推導(dǎo)

1.1 橢圓環(huán)

首先計(jì)算橢圓環(huán)對過焦點(diǎn)且垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JF．如圖1(a)所示，以左焦點(diǎn)F為極坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，將橢圓方程用平面極坐標(biāo)表示為

圖1 橢圓環(huán)(盤)示意圖

(1)

將式(1)代入轉(zhuǎn)動慣量的積分公式得

(2)

其中λ為橢圓環(huán)的質(zhì)量線密度，m為橢圓環(huán)的質(zhì)量，L為橢圓環(huán)的周長．

極坐標(biāo)下弧長的微分為

(3)

對式(3)積分，可以將橢圓的周長表示為

(4)

將(3)、(4)兩式代入式(2)中，可得橢圓環(huán)對過焦點(diǎn)且垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JF：

(5)

接下來，我們計(jì)算橢圓環(huán)對過中心且垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JO．如圖1(b)所示，以橢圓的中心為極坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，可將橢圓方程用平面極坐標(biāo)表示為

(6)

將式(6)代入極坐標(biāo)下弧長的微分得

(7)

根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，橢圓環(huán)對過中心且垂直于環(huán)面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JO為

(8)

其中，有

(9)

1.2 橢圓盤

(10)

將式(1)代入式(10)可得橢圓盤對過焦點(diǎn)且垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：

(11)

同理，求橢圓盤對過中心且垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JO時(shí)，以橢圓中心為極坐標(biāo)原點(diǎn)，將式(6)代入式(10)，可得

(12)

2 數(shù)值分析與討論

2.1 橢圓環(huán)

我們分別數(shù)值計(jì)算橢圓環(huán)對過焦點(diǎn)F和過中心O且垂直環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JF和JO隨橢圓離心率e的變化關(guān)系．固定a=3，m=10，作出橢圓環(huán)的JF-e，JO-e曲線，如圖2、圖3所示．

圖2 橢圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量JF隨離心率e的變化曲線

圖3 橢圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量JO隨離心率e的變化曲線

2.2 橢圓盤

接下來，我們分別數(shù)值計(jì)算橢圓盤對過焦點(diǎn)F和過中心O且垂直盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JF和JO隨橢圓盤離心率e的變化關(guān)系．固定a=3，m=10，作出JF-e和Jo-e曲線，如圖4、圖5所示．

圖4 橢圓盤轉(zhuǎn)動慣量JF隨離心率e的變化曲線

圖5 橢圓盤轉(zhuǎn)動慣量JO隨離心率e的變化曲線

3 小結(jié)

本文利用極坐標(biāo)系巧妙地求解了勻質(zhì)橢圓環(huán)和橢圓盤對過焦點(diǎn)和過中心且垂直于環(huán)、盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，并數(shù)值計(jì)算了固定質(zhì)量和長軸時(shí)，轉(zhuǎn)動慣量隨橢圓離心率的變化關(guān)系．發(fā)現(xiàn)隨著離心率的增大，橢圓環(huán)對過焦點(diǎn)且垂直于環(huán)面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量也開始增大，但在離心率快到1時(shí)，會出現(xiàn)一小段下降．而橢圓環(huán)對過中心且垂直于環(huán)面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量隨著離心率的增大而減?。送猓瑱E圓盤對過焦點(diǎn)且垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量隨著離心率的增大而增大，而其對過中心且垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量則隨著離心率的增大而減?。痉椒ㄓ?jì)算過程簡單，物理圖像清晰，本研究不僅是對大學(xué)物理、普通物理以及理論力學(xué)課本上圓環(huán)和圓盤轉(zhuǎn)動慣量知識點(diǎn)的擴(kuò)充，也有利于學(xué)生更深刻地理解轉(zhuǎn)動慣量的定義，掌握轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算方法．另外，極坐標(biāo)的運(yùn)用讓學(xué)生深刻理解極坐標(biāo)系解決問題的優(yōu)勢．?dāng)?shù)值分析的過程則有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索、創(chuàng)新研究和思維發(fā)散的能力，提高教學(xué)質(zhì)量．