層狀介質(zhì)水力裂縫電磁響應(yīng)的有限元正演模擬

吳世偉，劉得軍，趙 陽，王 旭，馮 雪，李 洋

（1.中國石油大學(xué)(北京)信息科學(xué)與工程學(xué)院,北京 102249；2.國家石油天然氣管網(wǎng)集團(tuán)有限公司油氣調(diào)控中心,北京 100007）

目前，開發(fā)非常規(guī)油氣資源時，需要利用水力壓裂技術(shù)提高儲層的滲流能力，以達(dá)到高效開采的目的[1]。近年來，國內(nèi)外水力裂縫監(jiān)測方法和技術(shù)研究較多、發(fā)展較快：Ren Yi 等人[2-3]采用井下單發(fā)雙收裝置，利用金屬圓盤模擬基巖中含導(dǎo)電支撐劑裂縫；Yan Liangjun 等人[4]采用可控源電磁法成功獲得了涪陵頁巖氣田某水平壓裂井的作業(yè)作用范圍；Zhang Liming 等人[5]設(shè)計了一種井下單發(fā)三收天線組測井儀，對儀器響應(yīng)進(jìn)行了正演分析；Yang Kai 等人[6]探討了低頻電阻率測量在水力裂縫探測和評價中的適用性；Huang Weifeng 等人[7]對橫跨5 層介質(zhì)的垂直裂縫和橫跨3 層介質(zhì)的傾斜裂縫進(jìn)行了正演模擬，但沒有詳細(xì)分析影響裂縫響應(yīng)的參數(shù)；Li Yang 等人[8]利用低頻電磁感應(yīng)測井對非對稱裂縫進(jìn)行了正演模擬，研究發(fā)現(xiàn)非對稱裂縫的電磁響應(yīng)信號顯著區(qū)別于對稱裂縫。目前，利用電磁法監(jiān)測水力裂縫的方法較多，但系統(tǒng)分析多層介質(zhì)裂縫的正演方法較少，因此有必要研究多層介質(zhì)裂縫中電磁測井儀器的響應(yīng)特征。

為此，筆者基于有限元數(shù)值模擬方法，分別建立了三維水平井單層介質(zhì)和5 層介質(zhì)地層裂縫模型，對這2 種地層結(jié)構(gòu)的裂縫模型進(jìn)行了正演模擬計算；對比分析了對稱裂縫和非對稱裂縫在2 種地層結(jié)構(gòu)中的電磁測井響應(yīng)特征，包括對稱裂縫夾角、非對稱裂縫旋轉(zhuǎn)角和展寬角的響應(yīng)特征及其變化規(guī)律，以期為水力壓裂效果評價及測井儀器參數(shù)選擇提供理論依據(jù)。

1 有限元數(shù)值模擬原理

研究感應(yīng)測井?dāng)?shù)值計算方法時，電磁感應(yīng)響應(yīng)的數(shù)值模擬就是求解空間域中三維Maxwell 方程的邊值問題，通常需要采用有限差分、有限元和積分方程等方法。有限元法是一種求解微分方程的數(shù)值計算方法，具有適應(yīng)性強(qiáng)、求解效能高等優(yōu)點(diǎn)[9]。COMSOL 是一款功能強(qiáng)大的解決多物理場問題的數(shù)值計算軟件，以有限元方法為基礎(chǔ)，采用求解偏微分方程或偏微分方程組進(jìn)行物理現(xiàn)象的模擬，實(shí)現(xiàn)物理問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換[10]。COMSOL 的AC/DC 模塊提供的一般形式的偏微分方程為：

式中：A為磁矢量，Wb/m2；U為電勢，V；ω為角頻率，rad/s；σ為介質(zhì)電導(dǎo)率，S/m；ε為介電常數(shù)，F(xiàn)/m；μ為磁導(dǎo)率，H/m；v為導(dǎo)體的速度，此處為0；Je為外加電流源，A/m2；P為電偶極矩，C·m；M為磁偶極矩，A·m2[11-12]。

式(1)和(2)組成了關(guān)于勢A和U的方程組。

接收線圈需等效模擬為封閉的有限大小的圓形或扇形線圈方式。實(shí)際計算時，接收線圈的感應(yīng)電動勢可以通過對穿過線圈的磁場進(jìn)行面積分來求取。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，接收線圈上的感應(yīng)電動勢U為[13-14]：

式中：N為接收線圈的匝數(shù)；S為接收線圈面積，m2；H為通過接收線圈的磁場，包括Hx、Hy和Hz等3 個分量，A/m。

為了便于分析結(jié)果，對稱裂縫中的儀器響應(yīng)曲線采集的是沿X軸和Z軸方向的磁場模，非對稱裂縫中的儀器響應(yīng)曲線采集的是沿X軸的電場模。

2 地層裂縫模型的建立

建立了地層裂縫模型[15-21]，尺寸為30 m×30 m×30 m，分為單層介質(zhì)地層和5 層介質(zhì)地層。其中，5 層地層模型的地層厚度分別為12.75，1.50，1.50，1.50 和12.75 m，如圖1所示。裂縫模型分為對稱的圓盤形和非對稱的扇形，半徑均為3.00 m，寬度為0.02 m（見圖1（a））。α為裂縫與井眼間（沿X軸負(fù)方向，順時針為正）的夾角（見圖1（b））；β為非對稱扇形裂縫的旋轉(zhuǎn)角，即扇形裂縫的中心半徑與Y軸負(fù)方向的夾角；γ為扇形裂縫的展寬角（見圖1（c））。圓盤形裂縫采用圓形接收線圈，扇形裂縫采用扇形接收線圈（線圈接收中心為Y軸負(fù)方向）。考慮裂縫會沿地層走向擴(kuò)展，需在地層與裂縫交界處設(shè)置沿地層方向擴(kuò)展的小裂縫，若為對稱裂縫，其延展的方向與地層的夾角不一定垂直，所以設(shè)置階梯狀裂縫（見圖1（d））；當(dāng)裂縫與水平地層間夾角為90°時，此時為魚骨狀裂縫。若為非對稱裂縫，其延展的方向與水平地層間的夾角為90°，同為魚骨狀裂縫（見圖1（d）），所以根據(jù)裂縫與地層的實(shí)際接觸面積，設(shè)置不同的橢圓形小裂縫。

圖1 5 層水平層狀介質(zhì)地層裂縫模型Fig.1 Fracture model of five-layer horizontal layered medium formation

測井儀采用單發(fā)單收線圈系，發(fā)射線圈采用線電流，強(qiáng)度為200 A，發(fā)射頻率為100 Hz；線圈源距為1.20 m，匝數(shù)為1，線圈半徑為 0.05 m，相對磁導(dǎo)率和相對介電常數(shù)均為1.0，收發(fā)線圈同時在井眼中沿X軸負(fù)方向移動。

3 模型準(zhǔn)確性驗證

為了驗證地層裂縫模型的可行性，將模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[6]中的計算結(jié)果進(jìn)行了對比。該模型只考慮了不同面積的裂縫，與之對應(yīng)的是文獻(xiàn)[6]中不同的A值，沒有考慮測井儀器頻率不同的情況。建立均勻單層介質(zhì)圓盤裂縫模型，裂縫寬度為0.02 m，支撐劑和地層電導(dǎo)率分別為20.0 和0.1 S/m，裂縫與井眼間的夾角為90°。在裂縫寬度、地層及支撐劑電導(dǎo)率和夾角不變的情況下，計算裂縫面積A分別為0.25π m2和9π m2時的感應(yīng)電動勢。由于文獻(xiàn)[6]中的測量值為裂縫感應(yīng)電動勢的變化率，所以本文將有裂縫時的感應(yīng)電動勢記為Uf，無裂縫時的感應(yīng)電動勢記為Ub，用（Uf-Ub）/Ub計算裂縫感應(yīng)電動勢的變化率。采樣范圍為X軸的?3.00～3.00 m，采樣間隔0.10 m。為了保持一致性，采用單發(fā)雙收裝置，發(fā)射線圈與第一接收線圈的源距是1.20 m，與第二接收線圈的源距是1.50 m，收發(fā)線圈同時在井眼中沿X軸正方向移動，結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知：當(dāng)測井儀器經(jīng)過裂縫時，若發(fā)射線圈和第一接收線圈在裂縫前面、第二接收線圈在裂縫后面，即儀器接近裂縫時，信號增大并達(dá)到峰值；當(dāng)發(fā)射線圈在裂縫前面、2 個接收線圈都在裂縫后面時，較小的裂縫信號為負(fù)，較大的裂縫信號為常數(shù)；當(dāng)發(fā)射線圈移動到裂縫后面時，信號迅速消失，說明信號峰值可以用來確定裂縫的位置和縫長。儀器響應(yīng)曲線除了幅值與文獻(xiàn)[6]不同（因裂縫半徑及裂縫電導(dǎo)率與文獻(xiàn)[6]不同），其余結(jié)論與文獻(xiàn)[6]一致，驗證了模型的準(zhǔn)確性。

圖2 單介質(zhì)地層不同半徑的信號強(qiáng)度關(guān)系Fig.2 Relationship between different radius and signal intensity in single-layer medium formation

4 響應(yīng)特征影響因素分析

4.1 對稱裂縫夾角

4.1.1 單層介質(zhì)地層

假設(shè)均勻單層介質(zhì)地層電導(dǎo)率為0.001 S/m，裂縫電導(dǎo)率為20 S/m。計算裂縫與井眼的夾角分別為25°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°和155°時的感應(yīng)電動勢，采樣范圍為X軸的?3.00～3.00 m，采樣間隔0.20 m，結(jié)果如圖3所示。

圖3 單介質(zhì)地層不同夾角與信號強(qiáng)度關(guān)系Fig.3 Relationship between different angle and signal intensity in single-layer medium formation

從圖3（a）可以看出：夾角為25°時，隨著儀器接近裂縫，信號增強(qiáng)，儀器移動至距裂縫1.60 m 處時開始衰減，移動至距裂縫0.80 m 處時，信號開始隨儀器與裂縫距離減小而快速增強(qiáng)。夾角為25°～90°時，隨著夾角增大，信號的峰值會減小，信號的峰寬會增加。此外，如果2 條裂縫的夾角互補(bǔ)，那么這2 條裂縫的信號強(qiáng)度基本相同。

從圖3（b）可以看出：Z方向接收時，夾角為90°時響應(yīng)最不敏感，幾乎為一條直線；傾斜角度越大，響應(yīng)信號越強(qiáng)；此外，如果2 條裂縫的夾角互補(bǔ)，裂縫的信號強(qiáng)度仍一致。

從以上分析可以看出，雙線圈系的X方向可分辨25°～90°的裂縫，但無法區(qū)分關(guān)于90°對稱的裂縫；Z方向可以分辨25°～155°的裂縫。

4.1.2 5 層介質(zhì)地層

假設(shè)第一、三、五層地層的電導(dǎo)率為1 S/m，第二、四層地層的電導(dǎo)率為6 S/m，裂縫電導(dǎo)率為20 S/m。計算裂縫與井眼的夾角分別為25°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°和155°時的感應(yīng)電動勢，采樣范圍為X軸的?3.00～3.00 m（階梯狀裂縫采樣范圍為Z軸方向?4.00～4.00 m），采樣間隔0.20 m，結(jié)果如圖4所示。

從圖4（a）可以看出：夾角為25°時，隨著儀器接近裂縫，信號先增強(qiáng)，儀器移至距裂縫1.20 m 處時，信號開始衰減；移至距裂縫0.80 m 處時，信號開始隨儀器與裂縫距離減小而快速增強(qiáng)；當(dāng)儀器移至與裂縫的距離小于0.60 m 時，信號又開始衰減，并且當(dāng)儀器位于裂縫處時，信號會出現(xiàn)一個峰值點(diǎn)。不同于均勻單介質(zhì)地層，夾角在25°～90°時，隨著夾角增大，信號的峰值會增強(qiáng)，信號的峰寬幾乎不變；且夾角越接近0°或180°，信號受地層分層的影響越大，越接近90°，信號受到的影響越小。此外，如果2 條裂縫的夾角互補(bǔ)，那么裂縫的信號強(qiáng)度幾乎一致。

從圖4（b）可以看出：Z方向接收時，夾角為90°時響應(yīng)最不敏感，幾乎為一條直線；傾斜角度越大，響應(yīng)信號越明顯；與均勻單介質(zhì)地層不同的是，夾角在30°左右時，響應(yīng)信號會出現(xiàn)明顯的鋸齒狀波動。此外，如果2 條裂縫的夾角互補(bǔ)，裂縫的信號強(qiáng)度仍一致。

從圖4（c）可以看出：與理想裂縫模型相比，魚骨狀裂縫模型的夾角為90°時對應(yīng)的曲線不再是峰值最大的曲線，且其峰值小于階梯狀裂縫；從圖中藍(lán)色虛線圈出的區(qū)域可以看出，夾角為25°和30°且儀器距裂縫0.20～1.00 m 時，階梯狀裂縫與理想裂縫模型有較大的區(qū)別。

從圖4（d）可以看出：與理想裂縫模型相比，Z方向接收時，響應(yīng)曲線整體變得更平滑；從圖中藍(lán)色虛線圈出的區(qū)域可以看出，夾角趨近0°時，曲線的峰值趨于重合。

通過以上分析可知，穿層裂縫與均勻介質(zhì)裂縫的響應(yīng)曲線區(qū)別較大，裂縫的傾斜程度越大，響應(yīng)曲線越曲折；雖然多層介質(zhì)對裂縫響應(yīng)有一定的影響，但裂縫響應(yīng)的整體趨勢變化不大。

4.2 非對稱裂縫旋轉(zhuǎn)角

4.2.1 單層介質(zhì)地層

假設(shè)均勻單層介質(zhì)地層電導(dǎo)率為0.001 S/m，裂縫電導(dǎo)率為20 S/m，非對稱裂縫是展寬角為60°的扇形。計算裂縫與井眼間的旋轉(zhuǎn)角分別為0°，60°，75°，90°和150°時的感應(yīng)電動勢，采樣范圍為X軸?3.00～3.00 m，采樣間隔0.20 m，結(jié)果如圖5所示。

圖5 單介質(zhì)地層不同旋轉(zhuǎn)角與信號強(qiáng)度關(guān)系Fig.5 Relationship between different rotation angle and signal intensity in single-layer medium formation

從圖5可以看出：旋轉(zhuǎn)角為0°時，隨著儀器接近裂縫，信號會出現(xiàn)衰減，當(dāng)儀器移至距裂縫0.80 m處時，信號隨儀器與裂縫距離減小而快速增強(qiáng)。從圖5中紅色虛線圈出的區(qū)域可以看出，隨著旋轉(zhuǎn)角增大，信號響應(yīng)的衰減程度減小，儀器的接收響應(yīng)相應(yīng)增強(qiáng)。此外，信號在?0.40 m 處的峰值逐漸大于在0.40 m 處的峰值。通過以上分析可知，采用扇形線圈接收響應(yīng)信號可以分辨不同旋轉(zhuǎn)角的非對稱裂縫，這對判斷裂縫方位角有一定的幫助。

4.2.2 5 層介質(zhì)地層

假設(shè)第一、三、五層地層的電導(dǎo)率為0.001 S/m，第二、四層地層的電導(dǎo)率為0.002 S/m，裂縫電導(dǎo)率為20 S/m，非對稱裂縫是展寬角為60°的扇形。分別計算理想裂縫模型和魚骨狀裂縫模型下，裂縫與井眼間的旋轉(zhuǎn)角分別為0°，60°，75°，90°和150°時的感應(yīng)電動勢，采樣范圍為X軸?3.00～3.00 m，采樣間隔0.20 m，結(jié)果如圖6所示。

從圖6（a）可以看出：與單層介質(zhì)地層相比，旋轉(zhuǎn)角為0°和150°的信號對地層分層不太敏感；旋轉(zhuǎn)角為60°時，左峰值明顯小于右峰值，并且隨著旋轉(zhuǎn)角增大，差值逐漸減??；直至旋轉(zhuǎn)角為90°時，恢復(fù)至左峰值大于右峰值的狀態(tài)。

從圖6（b）可以看出：與理想裂縫模型相比，曲線更平滑；旋轉(zhuǎn)角為75°時，左峰值明顯大于右峰值，其他結(jié)論與理想裂縫模型一致。

圖6 5 層介質(zhì)地層不同旋轉(zhuǎn)角與信號強(qiáng)度關(guān)系Fig.6 Relationship between different rotation angle and signal intensity in five-layer medium formation

以上分析可知，多層介質(zhì)對旋轉(zhuǎn)角為60°～90°的非對稱裂縫影響較大，根據(jù)響應(yīng)信號左右峰值是否反轉(zhuǎn)可以判斷裂縫是否位于多層介質(zhì)地層。

4.3 非對稱裂縫展寬角

4.3.1 單層介質(zhì)地層

假設(shè)均勻單層介質(zhì)地層電導(dǎo)率為0.001 S/m，裂縫電導(dǎo)率為20 S/m。旋轉(zhuǎn)角固定為0°，計算裂縫展寬角分別為30°，60°，90°，120°和150°時的感應(yīng)電動勢，采樣范圍為X軸?3.00～3.00 m，采樣間隔0.10 m，結(jié)果如圖7所示。

圖7 單層介質(zhì)地層不同展寬角與信號強(qiáng)度關(guān)系Fig.7 Relationship between different widening angle and signal intensity in single-layer medium formation

從圖7可以看出：隨著裂縫展寬角度的增加，儀器的接收響應(yīng)相應(yīng)增強(qiáng)，衰減區(qū)域逐漸遠(yuǎn)離裂縫位置（如圖中紅色虛線框圈出的區(qū)域），響應(yīng)峰值的位置不變，仍為?0.60 m 和0.60 m 處。需要注意的是，裂縫展寬角度小于30°時，信號的響應(yīng)結(jié)果與圓盤狀裂縫的響應(yīng)相似，不再具備非對稱裂縫響應(yīng)的典型特征。通過以上分析可知，采用扇形線圈接收響應(yīng)信號可以分辨不同展寬角的非對稱裂縫，這對判斷裂縫展開程度有一定的幫助。

4.3.2 5 層介質(zhì)地層

假設(shè)第一、三、五層地層的電導(dǎo)率為0.001 S/m，第二、四層地層的電導(dǎo)率為0.002 S/m，裂縫電導(dǎo)率為20 S/m，旋轉(zhuǎn)角為0°，分別計算理想裂縫模型和魚骨狀裂縫模型下，裂縫的展寬角分別為30°，60°，90°，120°和150°時的感應(yīng)電動勢，采樣范圍為X軸?3.00～3.00 m，采樣間隔0.10 m，結(jié)果如圖8所示。

圖8 5 層介質(zhì)地層不同展寬角與信號強(qiáng)度關(guān)系Fig.8 Relationship between different widening angle and signal intensity in five-layer medium formation

從圖8（a）可以看出：與單層介質(zhì)地層相比，展寬角為90°時，左峰值開始高于右峰值，并且隨著展寬角增大，差值逐漸變大；展寬角為150°時，左峰值明顯大于右峰值。從圖8（b）可以看出：與理想裂縫相比，魚骨狀裂縫?0.60～0.60 m 之間的信號凹陷消失，變?yōu)槠交€，其他特征與理想裂縫一致。

以上分析可知，多層介質(zhì)對非對稱裂縫的展寬角響應(yīng)有一定的影響，展寬角越大，響應(yīng)曲線的非對稱性越明顯。

5 結(jié)論與建議

1）建立了地層裂縫模型，采用有限元法模擬了電磁測井儀器的響應(yīng)特征。結(jié)果表明，利用電磁法探測不同地層結(jié)構(gòu)水平井水力裂縫的正演模擬具有較高的準(zhǔn)確性。

2）采用控制變量法，分析了對稱裂縫與井眼間的夾角、非對稱裂縫與井眼間的旋轉(zhuǎn)角和展寬角對電磁波測井響應(yīng)的影響，比較了不同結(jié)構(gòu)地層裂縫模型與電磁波測井響應(yīng)特征之間的關(guān)系。

3）對稱裂縫的傾斜程度越大，響應(yīng)曲線越曲折；雖然多層介質(zhì)對裂縫響應(yīng)有一定的影響，但裂縫響應(yīng)的整體趨勢變化不大。非對稱裂縫的展寬角越大，多層介質(zhì)條件下裂縫響應(yīng)信號的非對稱性越明顯，因此可以根據(jù)響應(yīng)信號是否具有對稱性判斷裂縫所處地層的情況。

4）建議考慮更復(fù)雜的地質(zhì)情況進(jìn)行正演模擬，以進(jìn)一步優(yōu)化電磁波測井儀結(jié)構(gòu)。