基于三次B樣條小波變換和Franklin矩亞像素級(jí)圖像邊緣檢測(cè)算法

李錦鵬，熊顯名，曾啟林，胡怡威，丁子婷

〈圖像處理與仿真〉

基于三次B樣條小波變換和Franklin矩亞像素級(jí)圖像邊緣檢測(cè)算法

李錦鵬1,2，熊顯名1,2，曾啟林1,2，胡怡威1，丁子婷1

（1. 桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西 桂林 541004；2. 廣西高校光電信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004）

為了滿足精密測(cè)量和紅外與可見光圖像配準(zhǔn)對(duì)圖像邊緣定位的高精確度和高抗噪性的要求，提出一種基于三次B樣條小波變換和Franklin矩結(jié)合的亞像素級(jí)圖像邊緣檢測(cè)算法。首先，利用三次B樣條小波窗函數(shù)對(duì)圖像邊緣多層分解，根據(jù)小波模極大值原理對(duì)各層檢測(cè)得到初始邊緣信息，隨后將其邊緣點(diǎn)與多尺度范圍下3×3鄰域內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行比較，將模值和幅角相近的點(diǎn)保留，建立新的邊緣圖像。然后，建立亞像素邊緣模型，根據(jù)Franklin矩旋轉(zhuǎn)不變性原理，分析圖像邊緣旋轉(zhuǎn)至一定角度之后各級(jí)Franklin矩之間的關(guān)系，得到計(jì)算亞像素邊緣點(diǎn)的模板關(guān)鍵參數(shù)，將模板在小波變換得到的新邊緣圖像上移動(dòng)并與其覆蓋下的子圖進(jìn)行卷積運(yùn)算，進(jìn)而得到圖像的亞像素級(jí)邊緣點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，并與當(dāng)下表現(xiàn)較優(yōu)的3種算法進(jìn)行對(duì)比，本文提出的基于三次B樣條小波變換和Franklin矩結(jié)合的算法精確度更高且抗噪性更強(qiáng)，能夠更好地滿足對(duì)于紅外與可見光圖像配準(zhǔn)穩(wěn)定可靠及高精度測(cè)量的要求。

邊緣檢測(cè)；三次B樣條小波；Franklin矩；亞像素；圖像配準(zhǔn)

0 引言

邊緣是一幅圖像的基本特征，同時(shí)邊緣檢測(cè)也是圖像分析和測(cè)量技術(shù)[1]的基本問題，尤其在紅外圖像配準(zhǔn)以及視覺測(cè)量等領(lǐng)域中[2]對(duì)圖像邊緣檢測(cè)技術(shù)的要求極高。邊緣檢測(cè)其實(shí)就是利用算法對(duì)圖像突變信息的檢索。傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算子有Sobel算子、Krisch算子、Roberts算子以及Canny算子，這些微分算子相對(duì)比較簡(jiǎn)單，對(duì)于復(fù)雜環(huán)境下的圖像邊緣把握不足，精度較差，缺乏細(xì)節(jié)。隨著人民生活水平的提高和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，普通像素級(jí)別也已經(jīng)無法滿足機(jī)器視覺和精密測(cè)量上的需求，因此，亞像素技術(shù)在這方面顯得非常重要，目前常用的亞像素邊緣檢測(cè)方法有：插值法，矩方法，擬合法等，其中矩方法在復(fù)雜環(huán)境下表現(xiàn)良好，對(duì)噪聲不敏感，是一種在目前有效的亞像素圖像邊緣檢測(cè)方法。

1993年Ghosal等[3]最早提出利用正交矩對(duì)圖像邊緣進(jìn)行亞像素級(jí)檢測(cè)的算法，首次通過計(jì)算3個(gè)不同階次的Zernike正交矩，然后將理想狀態(tài)下的灰度模型參數(shù)映射到3個(gè)Zernike正交矩上，計(jì)算得到邊緣所在的直線參數(shù)，進(jìn)而確定亞像素坐標(biāo)。但是該算法比較局限，因?yàn)椴煌０暹x擇，坐標(biāo)的計(jì)算也會(huì)產(chǎn)生誤差，而且理想階躍模型與實(shí)際存在差異。針對(duì)這個(gè)問題，李金泉等[4]提出了一種改進(jìn)的Zernike正交矩檢測(cè)算法，采用邊緣梯度方向一階導(dǎo)數(shù)模型的同時(shí)考慮了模板放大效應(yīng)，提高了亞像素邊緣檢測(cè)的準(zhǔn)確度。高世一等[5]在考慮模板放大效應(yīng)的情況下，提出了新的邊緣定位條件。吳一全等[6]人用了更大的模板，但是對(duì)噪聲變得敏感，抗噪性較差。為此，魏本征等[7]提出了形態(tài)學(xué)梯度算子和Zernike矩相結(jié)合，使檢測(cè)變得更穩(wěn)定，抗噪性變強(qiáng)，但是對(duì)于微小的細(xì)節(jié)檢測(cè)較弱。吳一全等[8]基于Franklin矩提出了一種新的邊緣檢測(cè)算法，但是對(duì)于邊緣微小的細(xì)節(jié)把握稍顯欠缺。Franklin矩所基于的Franklin函數(shù)僅有一次分段多項(xiàng)式組成，而且避免了復(fù)雜的高次多項(xiàng)式計(jì)算，在具有Zernike矩的大部分優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，還具有復(fù)雜度低，數(shù)據(jù)穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，使得邊緣檢測(cè)得到的信息具有獨(dú)立性，沒有冗余。因此，本文將三次B樣條小波變換和Franklin矩結(jié)合起來，提出一種多尺度取模極大值的亞像素檢測(cè)算法，該方法結(jié)合小波變換的模極大值原理使得邊緣細(xì)節(jié)的提取更準(zhǔn)確，然后用改進(jìn)后的Franklin矩算子對(duì)得到的圖像進(jìn)行亞像素邊緣提取。并與基于Zernike矩的算法、基于Franklin矩的算法、基于Roberts算子和Zernike矩結(jié)合的算法進(jìn)行比較。

1 三次B樣條小波模極大值邊緣檢測(cè)原理

三次B樣條小波模極大值其實(shí)就是利用三次B樣條小波函數(shù)與得到的信號(hào)進(jìn)行卷積運(yùn)算，然后將計(jì)算結(jié)果取它的模值，最后找到里邊的模極大值。在圖像的處理中，小波變換的模極大值代表著包含圖像信息最豐富的點(diǎn)，利用這個(gè)特征我們可以通過計(jì)算小波模極大值來提取準(zhǔn)確的圖像邊緣信息。同時(shí)，文獻(xiàn)[9]提出三次B樣條小波的時(shí)域局部特性較接近于Gauss函數(shù)，且它的緊支集性質(zhì)相比Gauss函數(shù)更好。而且，因?yàn)锽樣條函數(shù)是對(duì)稱的，所以保證了對(duì)應(yīng)相位的線性性質(zhì)，避免了后期相位失真情況的出現(xiàn)。

式中：和積分均滿足為0的條件，同時(shí)可以將它們看成兩個(gè)二維小波函數(shù)。通常情況，(,)取為二維高斯函數(shù)，其表達(dá)式以及一階偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為：

式中：為正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)偏差。

而對(duì)于(,)?2()任意的圖像，在尺度為時(shí)的小波變換在和方向上的兩個(gè)分量分別為：

則小波變換在其尺度為的條件下，梯度上的模以及幅角分別為：

式中：(,)是二維信號(hào)；2()是函數(shù)域。

梯度模值Mf(,)對(duì)應(yīng)的是目標(biāo)圖像在點(diǎn)(,)處的灰度變化情況，梯度幅角Af(,)對(duì)應(yīng)的是梯度向量和水平方向的夾角。目標(biāo)圖像上的邊緣特征點(diǎn)即為在梯度方向上模為其局部極大值的點(diǎn)。

2 基于Franklin矩的圖像亞像素邊緣檢測(cè)

2.1 Franklin函數(shù)及其Franklin矩

Franklin函數(shù)是由Philip Franklin提出的定義在2[0,1]上的連續(xù)正交函數(shù)系[10]，它是由一組線性無關(guān)的截?cái)鄡缁谡换蟮玫降?。首先，考慮以下的線性無關(guān)組{(),0≤≤1}：

0()＝1, 0≤≤1 (6)

Franklin矩是由上述Franklin函數(shù)所定義的，假設(shè)第個(gè)Franklin函數(shù)記為：()，0≤≤1，≥0，而目標(biāo)圖像函數(shù)記為(,)，0≤，≤1，則它的第階次Franklin矩為：

為了在極坐標(biāo)中更直觀地看到其Franklin矩所具有的正交性和旋轉(zhuǎn)不變性，這里將目標(biāo)圖像函數(shù)記為(,)，則在極坐標(biāo)系(,)下，圖像的階次Franklin矩為：

矩是對(duì)目標(biāo)圖像特征的定量描述，正是因?yàn)镕ranklin矩有著獨(dú)特的正交特性，使得目標(biāo)圖像的每個(gè)Franklin矩都是互不干擾的，這就能將圖像進(jìn)行最大程度的分解，從而采用較少的Franklin矩描述圖像得到更多的特征信息，以便達(dá)到降低特征維數(shù)，降低計(jì)算復(fù)雜度的目的。

2.2 基于Franklin矩的亞像素檢測(cè)算法

由上述Franklin矩的極坐標(biāo)定義式(12)以及它的旋轉(zhuǎn)不變性可知若目標(biāo)圖像旋轉(zhuǎn)角，則旋轉(zhuǎn)之前的Franklin矩F和旋轉(zhuǎn)角之后的Franklin矩￠之間的關(guān)系為：

F＝￠e－im(13)

由上述式(13)能夠發(fā)現(xiàn)目標(biāo)圖像在旋轉(zhuǎn)一定角度之后只是相位發(fā)生了變化而已，它的Franklin矩模值并未產(chǎn)生任何改變?；贔ranklin矩的邊緣檢測(cè)算法是通過建立Franklin矩和理想亞像素模型的4個(gè)邊緣參數(shù)的關(guān)系，然后再分別求解Franklin矩得到目標(biāo)圖像的4個(gè)邊緣參數(shù)，設(shè)定合適的閾值將其進(jìn)行篩選，得到精確的亞像素圖像邊緣點(diǎn)。平面亞像素邊緣檢測(cè)模型如圖1所示。其中為理想邊緣，單位圓被其分成兩個(gè)區(qū)域，為圖像背景灰度，為圓心到邊緣的垂直距離，為邊緣兩側(cè)的灰度差即階躍高度，和對(duì)應(yīng)在不同階次Franklin矩的兩條邊緣，1和2分別是圓心到其兩條階躍邊緣的距離，圖1(a)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得圖1(b)。

Franklin矩的復(fù)數(shù)域階多項(xiàng)式定義為：

V(,)＝R()eim(14)

式中：和為整數(shù)，且為－||非負(fù)的偶數(shù)。

由Franklin矩原理，定義為圓心到(,)的矢量長(zhǎng)度，i為虛數(shù)單位，則徑向多項(xiàng)式R為：

由式(15)得到部分徑向多項(xiàng)式R值如表1所示，為圓心到點(diǎn)(,)的距離。

根據(jù)式(14)和表1計(jì)算出Franklin矩的復(fù)數(shù)域多項(xiàng)式，如表2所示。

圖1 亞像素邊緣檢測(cè)模型

表1 Franklin徑向多項(xiàng)式Rnm

表2 Franklin矩的復(fù)數(shù)域多項(xiàng)式Vnm

在單位圓內(nèi)，由Franklin矩定義和圖1(b)中的邊緣階躍模型可得：

解20￠和40￠的方程可得：

解11￠和31￠的方程可得：

根據(jù)式(13)可得：

根據(jù)圖1可以看出，Im[11￠]是關(guān)于軸的奇函數(shù)，所以：

微信的商業(yè)價(jià)值不言而喻。以“江小白”為人物原型的微信表情包被多次下載轉(zhuǎn)發(fā)，其研發(fā)的“小白快跑”，“小白2048”，“搖骰子”，“真心話大冒險(xiǎn)”等微信小游戲，借助時(shí)下最火的小游戲，融入江小白的元素，打造江小白專屬，使酒前飯后人們的娛樂活動(dòng)都深深打上江小白的烙印，拉近了與潛在消費(fèi)者的距離，實(shí)現(xiàn)了良性互動(dòng)。

則：

確定亞像素邊緣階躍模型的參數(shù)之后，可得Franklin矩亞像素圖像邊緣檢測(cè)式[11]為：

式中：(s,s)為亞像素點(diǎn)坐標(biāo)；(,)為圓心坐標(biāo)。設(shè)定Franklin矩模板為×，則式(23)換算為：

模板選擇過小會(huì)導(dǎo)致邊緣提取的信息不全，過大會(huì)對(duì)噪聲過于敏感，本文采用Franklin矩模板為7×7。

3 邊緣檢測(cè)判定和檢測(cè)算法步驟

在對(duì)目標(biāo)圖像的具體分析時(shí)，如果整幅圖像邊緣提取的話，尺度就會(huì)容易過大，圖像就會(huì)變得平滑，細(xì)節(jié)就會(huì)缺失[12]，利用小波窗函數(shù)原理高頻之處時(shí)間細(xì)分，低頻之處頻率細(xì)分，能夠在抑制噪聲信號(hào)的前提下，得到良好的圖像邊緣檢測(cè)效果。三次B樣條小波滿足本文算法對(duì)于小波基函數(shù)的3個(gè)基本條件：①高通濾波器②檢測(cè)邊緣的小波為奇函數(shù)③緊支窗口函數(shù)。本文基于三次B樣條小波和Franklin矩的亞像素邊緣檢測(cè)算法步驟如下所述：

1）利用三次B樣條小波函數(shù)[13]對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行多層分解，本文算法選取的層數(shù)＝3。

2）根據(jù)其小波模極大值原理對(duì)每一層進(jìn)行單尺度邊緣檢測(cè)，計(jì)算出其得到的模極大值S(,)和對(duì)應(yīng)的幅角A＝(,)，利用Otsu法（最大類間方差法）自適應(yīng)確定閾值t，將所有模值進(jìn)行篩選，當(dāng)S(,)＞t時(shí)，E(,)即可得到目標(biāo)圖像的邊緣信息。

4）計(jì)算Franklin矩7×7模板{00,11,20,31,40}，將這個(gè)模板在邊緣圖像(,)上移動(dòng)，并與模板上的子圖卷積運(yùn)算，得到{00,11,20,31,40}。

5）根據(jù)2.2節(jié)中介紹的公式計(jì)算出平面亞像素邊緣階躍模型的參數(shù)和，代入式(24)中計(jì)算得到亞像素坐標(biāo)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性和有效性，做了大量的驗(yàn)證和對(duì)比，獲取了大量的參考數(shù)據(jù)，由于篇幅有限，將以兩部分加以說明。本文實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel(R) Core( TM) i5-8250U、8G RAM、MATLAB R2016b。

由于在實(shí)際應(yīng)用中圖像都會(huì)受到不同程度噪聲的干擾，那么確定合適的閾值就顯得尤為重要，不同的區(qū)域閾值會(huì)大不相同，有可能在某一區(qū)域效果良好的閾值在另一區(qū)域的效果會(huì)相對(duì)較差，本文采用一種自適應(yīng)閾值方法（Otsu法）進(jìn)行處理，實(shí)驗(yàn)效果圖如圖2所示。

圖2 自適應(yīng)閾值化圖像

將自適應(yīng)閾值化后的圖像與模值進(jìn)行對(duì)比，得到篩選后的圖像邊緣信息，并有效地去除噪聲，并在合適尺度下進(jìn)行局部對(duì)比，提取模值和幅角相近的信息，剔除部分偽邊緣點(diǎn)，最后套入計(jì)算好的Franklin矩模板進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到點(diǎn)坐標(biāo)。

第一部分實(shí)驗(yàn)的目的是為了驗(yàn)證本算法對(duì)目標(biāo)圖像的邊緣提取達(dá)到亞像素級(jí)別，制作一幅128×128的二值圖像，在圖像中插入一個(gè)半徑為50的圓，圓心坐標(biāo)為(64,64)，如圖3(a)所示，為了驗(yàn)證抗噪性，在制作的二值圖中加入高斯噪聲，如圖3(b)所示。

提取圖3(b)圓上任意10個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并用本文算法得到這10個(gè)點(diǎn)的亞像素坐標(biāo)，計(jì)算它們的誤差，表3所示。

從表3中可以看出，采用本文算法檢測(cè)邊緣點(diǎn)坐標(biāo)最大誤差為0.1497，能將誤差控制在很小的范圍內(nèi)并且整體誤差偏小，亞像素邊緣定位精度較高。為了更進(jìn)一步地驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，將在第二組實(shí)驗(yàn)中與基于Zernike矩的算法、基于Franklin矩的算法、基于Roberts算子和Zernike矩結(jié)合的算法進(jìn)行比較。

圖3 二值圖像

表3 檢測(cè)的亞像素坐標(biāo)

第二組實(shí)驗(yàn)中選用具有豐富紋理的Lena圖像，并且為了驗(yàn)證魯棒性，本文將對(duì)Lena圖像加入高斯噪聲，相應(yīng)的結(jié)果和對(duì)比如圖4(c)～(f)所示。通過對(duì)比我們可以發(fā)現(xiàn)，Zernike矩算法能夠較好地抑制高斯噪聲，但是在抑制噪聲的同時(shí)也將目標(biāo)圖像的邊緣弱化了，導(dǎo)致邊緣信息極大缺失；Franklin矩算法在很好地抑制高斯噪聲的同時(shí)能較好地提取邊緣，但也存在部分細(xì)節(jié)缺失；Roberts算子＋Zernike矩結(jié)合算法在Zernike矩算法的基礎(chǔ)上試圖加入Roberts算子以增強(qiáng)邊緣定位，但Roberts算子有著對(duì)噪聲信號(hào)極其敏感的特性，所以可以看到在邊緣信息得到補(bǔ)充的同時(shí)也帶來了噪聲的影響，抗噪性較差；本文基于三次B樣條小波＋Franklin矩結(jié)合算法能夠在抑制噪聲的同時(shí)，很好保留圖像邊緣信息，并且定位更加準(zhǔn)確，通過標(biāo)記的小方框部分對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)本算法得到的邊緣信息更加完整，細(xì)節(jié)方面對(duì)比其他3種算法也更豐富。

為了更有效地驗(yàn)證本文算法的實(shí)時(shí)性和抗噪性，對(duì)圖4中4種不同算法的運(yùn)行時(shí)間和峰值信噪比進(jìn)行比較，結(jié)果分別如表4和表5所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在具有更復(fù)雜的計(jì)算流程情況下，運(yùn)行時(shí)間仍與Zernike矩和Franklin矩兩種算法相當(dāng)，并且大幅短于Roberts算子＋Zernike矩結(jié)合算法，實(shí)時(shí)性較強(qiáng)，在抗噪性方面，本文算法明顯大幅優(yōu)于其他3種算法，結(jié)果表明，在運(yùn)行時(shí)間相當(dāng)?shù)那闆r下，本文算法有著更優(yōu)的效果，更具實(shí)用性。

圖4 Lena 圖像及4種算法的邊緣檢測(cè)結(jié)果

表4 四種算法運(yùn)行時(shí)間

表5 四種算法峰值信噪比

5 結(jié)論

本文提出了一種基于三次B樣條小波變換和Franklin矩相結(jié)合的亞像素級(jí)圖像邊緣檢測(cè)算法。利用三次B樣條小波對(duì)圖像進(jìn)行粗處理，在得到預(yù)邊緣后再利用Franklin矩的特性計(jì)算出亞像素邊緣點(diǎn)的模板關(guān)鍵參數(shù)，將模板在小波變換得到的新邊緣圖像上移動(dòng)并與其覆蓋下的子圖進(jìn)行卷積運(yùn)算，進(jìn)而得到圖像的亞像素級(jí)邊緣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與基于Zernike矩的算法、基于Franklin矩的算法、基于Roberts算子和Zernike矩結(jié)合的算法相比，本文提出的算法具有更高的檢測(cè)精度和更強(qiáng)的抗噪性，并且通過實(shí)際坐標(biāo)和得到的邊緣亞像素點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)比可知，本文的算法誤差較小，圖像邊緣點(diǎn)定位可靠，在紅外與可見光圖像配準(zhǔn)和精密測(cè)量上具有良好的應(yīng)用前景。

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Sub-pixel Level Image Edge Detection Algorithm Based on Cubic B-spline Wavelet Transform and Franklin Moment

LI Jinpeng1,2，XIONG Xianming1,2，ZENG Qilin1,2，HU Yiwei1，DING Ziting1

(1.,,541004,;2.,541004,)

To meet the requirements of high accuracy and strong anti-noise performance of image edge positioning for infrared and visible image registration and precision measurement, a sub-pixel image edge detection algorithm based on the cubic B-spline wavelet transform and Franklin moment is proposed. First, the image edge was decomposed using a cubic B-spline wavelet window function. Under the premise of setting the threshold, according to the principle of wavelet modulus maxima, the initial edge information is detected for each layer, and then the edge points are compared with the points in the 3 × 3 neighborhood in the multi-scale range. Points with similar moduli and amplitudes were reserved to establish a new edge image. Subsequently, a subpixel edge model is established. According to the principle of Franklin moment rotation invariance, the relationship between Franklin moments at all levels after the image edge is rotated to a certain angle is analyzed and the key parameters of the template for calculating the sub-pixel edge points are obtained. The template is moved on the new edge image obtained by wavelet transform and convoluted with the sub-image covered by it, and then the sub-image of the image is obtained from the edge points of the prime level. The experimental results show that, compared with the three algorithms with the current best performance, the algorithm based on the combination of the cubic B-spline wavelet transform and Franklin moments proposed in this paper has higher accuracy and stronger noise resistance. It can better meet the requirements for stable, reliable, and high-precision measurements of infrared and visible image registration.

edge detection, cubic B-spline wavelet, Franklin moment, sub-pixel, image registration

TP391.4

A

1001-8891(2022)03-0255-07

2020-07-05；

2020-08-19.

李錦鵬（1995-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器視覺。E-mail：503482546@qq.com。

熊顯名（1964-），男，研究員，主要研究方向?yàn)楣怆姕y(cè)量，機(jī)器視覺。E-mail：XXM5864@163.com。

國(guó)家科技重大專項(xiàng)課題（2017ZX02101007-003）。