粗糙表面微型氣體軸承潤滑性能及其轉子動力學特性研究

吳 垚, 楊利花, 郗文君, 張彩麗, 畢春曉, 王 哲, 曹巨江

(1.陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安 710021； 2.西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室， 陜西 西安 710049； 3.施耐德(西安)創(chuàng)新技術有限公司 低壓事業(yè)部， 陜西 西安 710075； 4.中國科學院 工程熱物理研究所， 北京 100190； 5.西安工程大學 材料工程學院， 陜西 西安 710048)

0 引言

微型氣體動壓軸承具有高Knudsen數(shù)，長徑比小、隙徑比大等特點，相比滾動軸承在高速運轉時產生噪聲、抗沖擊性能差、很難承受高溫環(huán)境，磁懸浮軸承易受到外界電磁干擾以及靜壓氣體軸承需要附加供氣系統(tǒng)導致裝置結構復雜、造價較高等方面的不足，微型氣體軸承可作為微型燃氣輪機、微型渦輪發(fā)動機、小型無人機超高速渦噴發(fā)動機和微型渦輪增壓器等微型旋轉機械中微型轉子最佳的支承型式[1].微型氣體軸承-轉子系統(tǒng)作為微型旋轉機械的關鍵單元，支承旋轉設備的各種負荷和振動激勵通過轉軸傳到軸承上，其潤滑性能和轉子系統(tǒng)設計對設備結構完整性、安全平穩(wěn)工作具有重要的理論指導意義.

隨著軸頸/軸瓦間潤滑氣膜厚度不斷減小，微納尺度下稀薄氣體流動問題與宏觀尺度下的流動特性顯著不同[2]，微型動壓氣體滑動軸承和軸頸之間的載荷是由超薄氣膜和軸瓦表面微觀形貌的直接擠壓共同承擔，當微型氣體滑動軸承最小氣膜厚度降低到接近表面粗糙度量級，氣體稀薄效應和表面粗糙度的耦合影響不可忽略.

早在1959年Burgdorfer[3]首次將分子動理論引入氣體潤滑領域，提出了考慮一階速度滑移邊界條件的修正雷諾(Reynolds)方程.隨后，Hsia[4]、Mitsuya[5]、Fukui[6,7]、Bahukudumbi和Beskok[8]、Wu[9]等分別提出了不同的稀薄效應模型，為微型動力旋轉機械尤其是微機電系統(tǒng)(MEMS，Micro-Electro-Mechanical System)的快速發(fā)展提供了基礎理論.1967年，Tzeng等[10]利用隨機β分布表征了滑動軸承表面形貌，研究了表面粗糙度對滑動軸承壓力形成、承載力和摩擦力的影響.隨后Christensen和Tonder[11]將軸承的潤滑膜厚分為名義膜厚和可變粗糙度膜厚兩部分，闡明了表面粗糙度、結構尺寸和運行參數(shù)對軸承潤滑性能的耦合作用機理.1978年，Patir和Cheng[12]基于經驗壓力和剪切流因子，提出了用流量因子、平均壓力和名義膜厚等平均量來表示的平均Reynolds方程.黃平和牛榮軍等[13]利用余弦粗糙度模擬真實磁盤表面粗糙形貌，給出了納米氣膜承載能力和最大壓力隨粗糙度波長和磁盤飛高的變化趨勢.White[14]推導并求解了適于大Knudsen數(shù)氣流和不同條紋粗糙表面的潤滑方程，該方法顯著降低了數(shù)值求解的計算時間和網格要求.Zhang等[15]通過分形幾何表征粗糙軸承表面，建立了滑移流區(qū)和過渡流區(qū)域中考慮速度滑移邊界條件的修正Reynolds方程，詳細討論了不同軸承數(shù)、Knudsen數(shù)、軸承結構以及粗糙度參數(shù)下氣體軸承復雜的流動行為.Wang等[16]利用線性擾動法迭代求解了氣體靜壓滑動軸承非穩(wěn)態(tài)Reynolds方程，得到了不同運行參數(shù)和軸瓦表面波紋度下動態(tài)剛度和阻尼系數(shù)的變化曲線，結果表明動態(tài)系數(shù)的絕對值隨波紋度幅值增加而顯著上升.

關于氣體軸承-轉子系統(tǒng)動力學特性的研究，Wang[17]耦合微分變換法和有限差分法研究了球面氣體潤滑軸承支承的柔性轉子系統(tǒng)的動力學行為，揭示了轉子中心和軸頸中心周期響應、亞諧波響應以及準周期響應的復雜動力學行為.張翰乾[18]基于線性攝動法得到的高速靜壓氣體軸承動態(tài)特性，建立了固定和柔性安裝兩種條件下靜壓氣體軸承-轉子系統(tǒng)的動力學模型，采用Newmark法、Routh-Hurwitz判據以及轉子動力學實驗分別對轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和不平衡響應進行了分析.劉健[19]針對垂直供氣氣體軸承-轉子系統(tǒng)的結構特點，分別利用QR分解法和Newmark逐步積分法計算了氣體軸承-轉子系統(tǒng)的臨界轉速、振型和不平衡響應，說明了轉子系統(tǒng)的前兩階平動或錐動臨界轉速較為接近，三階臨界轉速為彎曲振動，工作轉速應選擇在二、三階臨界轉速之間.Yang等[20,21]根據微型轉子的運動方程，采用四階Runge-Kutta法計算了微型氣體軸承-轉子系統(tǒng)的不平衡響應，研究表明合適的轉子偏心質量可以提高轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，考慮氣體稀薄效應的微轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定閾值速度有所提高.Li等[22]通過構建氣體軸承-轉子系統(tǒng)的瞬態(tài)模型，研究了比力突然變化對氣浮支承陀螺儀性能的影響，結果表明比力的突變方向是改變干擾力矩曲線的主要因素.

綜上所述，目前有關微型氣體軸承薄膜潤滑的文獻多集中于靜態(tài)性能，氣體稀薄效應和表面粗糙形貌對軸承動態(tài)系數(shù)和轉子系統(tǒng)動力學特性耦合影響的研究較少.本文利用Weierstrass-Mandelbrot(W-M)函數(shù)表征軸瓦表面三維粗糙形貌，采用偏導數(shù)法和松弛迭代法求解粗糙微型氣體軸承超薄氣膜潤滑修正Reynolds方程，討論了分形維數(shù)對微型軸承承載能力、摩擦系數(shù)和動態(tài)系數(shù)的影響規(guī)律，并采用Timoshenko梁理論得到微型氣體軸承-轉子系統(tǒng)的運動方程，分析了考慮微型氣體軸承動態(tài)系數(shù)的頻率效應、氣體稀薄效應和表面粗糙度對轉子系統(tǒng)固有特性和軸心軌跡的影響.

1 粗糙表面的分形模擬

由于粗糙表面隨機性強、形成過程較為復雜且在空間上具有離散性，借助計算機對表面粗糙度進行仿真模擬和分析是虛擬摩擦學的重要技術基礎.大部分機械加工表面都具有分形特性，利用Weierstrass-Mandelbrot(W-M)分形函數(shù)[23]構造三維粗糙表面輪廓為

(1)

式(1)中：L為表面輪廓的樣本長度；hr(x,y)為粗糙表面輪廓的微凸體高度；x,y分別為豎直和水平輪廓的位移坐標；Df為反映表面輪廓在所有尺度上不規(guī)則和復雜程度的分形維數(shù)，2

圖1 (a)～(d) 為尺度系數(shù)G=1×10-10m，分形維數(shù)Df分別為2.1、2.2、2.3和2.4時三維分形粗糙表面的模擬效果.可以看出，隨機表面粗糙度呈現(xiàn)出凹凸程度明顯的不規(guī)則性，Df越小，表面微凸體峰谷高度越高，表面輪廓形貌趨于密集化和復雜化，即表面越粗糙，分形維數(shù)是改變表面粗糙度的主要參數(shù).

(a)Df=2.1,G=1×10-10 m

(b)Df=2.2,G=1×10-10 m

(c)Df=2.3,G=1×10-10m

(d)Df=2.4,G=1×10-10 m圖1 不同分形維數(shù)的三維粗糙表面形貌模擬

2 粗糙表面微型軸承超薄氣膜潤滑模型

圖2和3分別為粗糙表面微型動壓氣體軸承的結構示意圖及三維模型圖.忽略潤滑膜中的慣性效應和熱效應且假設可壓縮氣體流動為層流，考慮稀薄效應和表面粗糙度的修正Reynolds方程無量綱形式可表示為：

(2)

式(2)中：Q為流量因子，H=h/Cb為無量綱氣膜厚度(h為有量綱氣膜厚度，Cb為軸承半徑間隙)，P=p/pa為無量綱氣膜壓力(p為有量綱氣膜壓力，pa為環(huán)境壓力，pa=1.033×105N/m2)，φ=x/R為軸承的無量綱周向角坐標(x為軸承的周向坐標，R為軸頸半徑)，λ=z/R為軸承的無量綱軸向坐標(z為軸承的軸向坐標)，Λ=6μωR2/paCb2為軸承數(shù)(μ為氣體的動力粘度，ω為軸頸轉動角速度)，T=ωt為無量綱時間.

圖2 粗糙表面微型動壓氣體軸承結構示意圖

圖3 粗糙微型氣體滑動軸承的三維模型圖

流量因子Q是考慮氣體稀薄效應后對氣膜流量的修正項，Boltzmann修正模型[24]的表達式為：

(3)

式(3)中：Kn為Knudsen數(shù)，Kn=λ0/h，λ0為氣體分子平均自由程，取65×10-9m.

在各種氣體稀薄效應修正模型的文獻中，Boltzmann模型在較寬Knudsen數(shù)范圍內較為準確，許多文獻以Boltzmann模型結果作為評判標準，在超薄氣膜潤滑問題中應用較廣.

在式(2)中的無量綱氣膜厚度，包括名義光滑膜厚和隨機分形粗糙度高度兩部分，考慮表面粗糙度微型氣體軸承的氣膜厚度表達式為：

H=(h0+hr)/Cb=1+εcosφ+

(4)

3 稀薄氣體動壓潤滑方程的數(shù)值求解

為得到微型氣體軸承的靜態(tài)潤滑性能，需要先求出軸承內的氣膜壓力分布，通過積分得到軸承的承載能力和摩擦特性.可壓縮流體潤滑Reynolds方程是二維非線性偏微分方程，本文采用MATLAB偏導數(shù)方程(PDE，Partial Differential Equation)工具箱快速求解修正Reynolds方程，將超薄氣膜潤滑的修正非定常Reynolds方程進行數(shù)學變換，化為橢圓型偏微分方程形式：

(5)

式(5)中：系數(shù)c、a、f以及未知函數(shù)ζ是定義在平面有界區(qū)域Ψ上的實(或復)函數(shù).

令PH=S，(PH)2=S2=Π，將式(2)整理為PDE工具箱中標準偏微分方程形式進行求解[25].

(6)

求得軸承的靜態(tài)氣膜壓力分布后，無量綱承載力和作用在軸頸表面的無量綱周向摩擦力可按以下公式計算[14]：

(7)

(8)

式(7)中：B為軸承寬度，W為軸承的有量綱承載力.

利用小擾動法和偏導數(shù)法對非定常狀態(tài)下的修正Reynolds方程進行求解，在求解域內積分可得到微型軸承的動態(tài)剛度和阻尼系數(shù).假設軸頸中心繞其靜態(tài)平衡位置作動態(tài)周期小擾動(E,Θ)，軸頸靜平衡位置為(ε0,θ0)，則在任意時刻軸頸位置(ε,θ)的表達式為[26,27]：

(9)

式(9)中：E0為復數(shù)范圍內的擾動偏心率幅值；Θ0為復數(shù)范圍內的擾動偏位角幅值；Ω=ν/ω為無量綱擾動頻率；ν為軸頸擾動頻率；ω為軸頸轉動角速度；i為虛數(shù)單位.

假設軸頸小擾動情況下軸頸和軸瓦之間的氣膜壓力和氣膜厚度具有如下形式[27]：

(10)

將式(10)代入式(2)，方程左右兩邊消去式(2)中的項和eiΩT，得到考慮氣體稀薄效應和表面粗糙度動態(tài)Reynolds方程的一般形式：

(11)

在動態(tài)Reynolds方程(11)中隱含了軸頸擾動量E0和Θ0，可采用偏導數(shù)法[27]計算軸頸小擾動時微型氣體軸承的動態(tài)剛度和阻尼系數(shù)Kij和Dij(i,j=x,y)，參考文獻[28]給出了詳細的求解過程.

4 微型氣體軸承-轉子系統(tǒng)的運動方程

圖4為微型氣體軸承-轉子系統(tǒng)的結構示意圖.轉子由兩個結構尺寸完全相同的微型氣體動壓滑動軸承a和b支承，兩個微型軸承分配的載荷相等.對稱結構轉子材料為鎳鉻鋼，彈性模量E為206 GPa，泊松比υ為0.3，密度ρ為7.9×103Kg/m3，質量M為2.3 g，切變模量G為79.4 GPa.圖5所示為轉子系統(tǒng)的有限元模型，將轉子劃分為19個軸段，20個節(jié)點，每個節(jié)點具有4個自由度，第4和17節(jié)點是微型氣體軸承的支承位置.

圖4 微型動壓氣體軸承支承的轉子系統(tǒng)示意圖

圖5 彈性轉子系統(tǒng)的有限元模型

為方便轉子系統(tǒng)的動力學分析，采用文獻[29]詳細介紹的Timoshenko連續(xù)梁理論的有限元法求解各軸段單元的運動方程，并與微型氣體軸承的運動方程進行組裝得到一般微型動壓氣體軸承-轉子系統(tǒng)運動方程，表1給出了微型氣體滑動軸承的基本參數(shù).

表1 微型動壓氣體軸承的基本參數(shù)

5 結果與討論

如圖6所示，利用上述理論模型計算了微型氣體滑動軸承的靜態(tài)性能，軸承結構參數(shù)分別為ε=0.7，B/Djo=0.075，Cb=12μm，ω=5×105r/min.并與文獻[30]中無量綱氣膜壓力分布進行了比較，結果發(fā)現(xiàn)兩者的數(shù)值結果基本重合且考慮軸瓦表面粗糙度時氣膜壓力分布呈現(xiàn)出隨機波動的現(xiàn)象.

圖6 微型氣體軸承考慮滑移流動和表面粗糙度效應的氣膜壓力分布對比

圖7給出了不同分形維數(shù)(Df=2.2、2.25、2.3、2.35和2.4)條件下軸承的無量綱承載力CL與偏心率ε之間的關系.由圖7可知，承載系數(shù)隨偏心率的增加呈現(xiàn)出加速上升的趨勢.當分形維數(shù)從Df=2.4降低Df=2.25時，軸瓦表面粗糙度的增加提高了軸承的承載能力.這是因為隨著表面粗糙度和偏心率的增加，氣膜厚度不斷減小，軸瓦表面的微凸體進入氣膜內部，凹凸不平的輪廓對氣體流動產生阻礙，減小了微型軸承兩邊的側向氣體泄漏，對提高軸承的承載力起到了積極的作用.當Df=2.2，軸瓦表面粗糙峰高度更高時，微型氣體軸承的承載能力開始顯著下降，出現(xiàn)這種情況是由于更加粗糙的軸瓦表面進一步降低了氣膜厚度，此時氣體稀薄效應對承載系數(shù)的削弱作用顯著大于表面粗糙度對CL的增加作用，從而導致承載系數(shù)降低.

圖7 不同分形維數(shù)下偏心率對無量綱承載力的影響(B/Djo=0.1,Λ=20,G=1×10-11 m)

圖8表示ε=0.6，G=1×1010m時，不同分形維數(shù)Df下微型氣體動壓軸承摩擦系數(shù)-Fb隨軸承數(shù)Λ的變化曲線.摩擦系數(shù)隨Λ的增大呈近似線性增加的趨勢，隨Df值的減小，軸瓦表面粗糙度使摩擦系數(shù)的增加幅度更為明顯.這是因為軸承數(shù)增強了氣體動壓潤滑效應，提高了稀薄氣流與軸頸表面的剪切應力.

圖8 不同分形維數(shù)下軸承數(shù)對摩擦系數(shù)的影響

圖9(a)～(d) 分別給出了不同分形維數(shù)下動態(tài)剛度和阻尼系數(shù)隨無量綱擾動頻率Ω的變化曲線.直接剛度系數(shù)Kxx和Kyy隨擾動頻率的增加而增大且Kyy遠大于Kxx，這是因為氣體潤滑薄膜主要在豎直方向上支承軸頸的重量.可以看出，粗糙表面微型氣體軸承的動態(tài)剛度系數(shù)比光滑微型軸承表面的剛度系數(shù)有所提高.當Ω>2且Df=2.3時，微型氣體動壓滑動軸承的動態(tài)剛度系數(shù)明顯增加，這是由于軸瓦表面微凸體粗糙峰越高，沿滑動方向的Poiseuille流修正項越大，微型軸承兩側稀薄氣流受到表面粗糙度的阻力越大.直接阻尼系數(shù)Dxx隨Ω的增加先增大到峰值后開始緩慢下降，直接阻尼系數(shù)Dxx隨微型氣體軸承表面各向同性粗糙度高度的增加而增大，Dyy隨分形維數(shù)Df降低先減小后急劇增加，隨著擾動頻率Ω的增加，粗糙和光滑微型氣體軸承的阻尼系數(shù)均收斂于相同的值.

(a)Kxx vs.Ω

(b)Kyy vs.Ω

(c)Dxx vs.Ω

(d)Dyy vs.Ω圖9 分形維數(shù)和擾動頻率對動態(tài)系數(shù)的影響

圖10 (a)～(d) 分別表示在ε=0.6，B/Djo=0.1和G=1×10-10m時，不同軸承數(shù)Λ和分形維數(shù)Df對粗糙和光滑軸瓦表面微型氣體動壓軸承動態(tài)性能的影響.動態(tài)剛度系數(shù)均隨Λ的增加而增加.相比光滑微型氣體軸承，分形維數(shù)越小，表面粗糙度效應對微型軸承動態(tài)剛度系數(shù)的增加幅度越大.直接阻尼系數(shù)均表現(xiàn)出隨軸承數(shù)增加先增加后減小的趨勢，與分形維數(shù)Df對動態(tài)剛度系數(shù)的影響相似，軸瓦表面粗糙形貌增加了直接阻尼系數(shù)Dxx和Dyy.這是因為軸承數(shù)的增加意味著軸頸旋轉速度更高，顯著增強的動壓潤滑效應和表面粗糙度效應提高了微型氣體滑動軸承的動態(tài)系數(shù).

(a)Kxx vs.Λ

(b)Kyy vs.Λ

(c)Dxx vs.Λ

(d)Dyy vs.Λ圖10 軸承數(shù)對不同分形維數(shù)下動態(tài)系數(shù)的影響

圖11所示為不同Knudsen數(shù)條件下轉子系統(tǒng)前四階固有頻率隨軸頸轉動角速度的變化曲線.可以看出，一至四階彎曲振動的阻尼固有頻率均有2個，各階固有頻率隨軸頸角速度增加均呈現(xiàn)出線性的變化趨勢，隨ω增加，每階的2個固有頻率中一個線性增加，而另一個線性降低.當Knudsen數(shù)增加時，氣體稀薄程度增強，各固有頻率的變化幅度更加明顯，說明稀薄效應顯著改變了轉子系統(tǒng)的固有頻率.圖12給出了表面粗糙度對轉子系統(tǒng)前四階固有頻率的影響，各階固有頻率均隨軸頸角速度增加而增加，當分形維數(shù)從Df=2.15增加到Df=2.4時，各階固有頻率的幅值逐漸增加，說明軸瓦表面形貌粗糙度的增加會使轉子系統(tǒng)的固有頻率不斷下降.

(a)一階固有頻率vs.Knudsen數(shù)

(b)二階固有頻率vs.Knudsen數(shù)

(c)三階固有頻率vs.Knudsen數(shù)

(d)四階固有頻率vs.Knudsen數(shù)圖11 轉子系統(tǒng)一至四階固有頻率隨Knudsen數(shù)和軸頸轉動角速度的變化曲線

(a)一階固有頻率vs.Df

(b)二階固有頻率vs.Df

(c) 三階固有頻率vs.Df

(d) 四階固有頻率vs.Df圖12 轉子系統(tǒng)一至四階固有頻率隨分形維數(shù)和軸頸轉動角速度的變化曲線

氣體稀薄效應和表面粗糙度對微型氣體軸承-轉子系統(tǒng)節(jié)點7處軸心軌跡的影響如圖13和14所示.從圖13可以看出，在軸頸角速度ω=6×104rad/s時，軸心軌跡呈規(guī)則的橢圓形，轉子的振幅隨Knudsen數(shù)的增加而增大，這是因為氣體稀薄效應降低了微型軸承的直接剛度和阻尼系數(shù).由圖14可知，當ω=7×104rad/s時，分形維數(shù)降低，即表面粗糙度峰值增加，轉子的軸心軌跡逐漸變小.

圖13 Knudsen數(shù)對軸心軌跡的影響

圖14 分形維數(shù)對軸心軌跡的影響

6 結論

本文利用Weierstrass-Mandelbrot分形函數(shù)對微型動壓氣體軸承隨機粗糙表面進行了仿真模擬，綜合考慮氣體稀薄效應與表面粗糙度的耦合效應，分析了不同粗糙表面和軸承結構參數(shù)對微型氣體軸承靜動態(tài)性能和轉子動力學特性的影響，得出以下主要規(guī)律：

(1)當軸瓦表面粗糙峰谷高度較小時，氣膜壓力分布隨軸承數(shù)和偏心率的增加而增大，微型軸承的承載能力增加.軸瓦表面凹凸不平的微凸體對稀薄氣體的流動產生阻礙作用，軸頸表面摩擦力隨表面粗糙度程度的增加而增加.

(2)直接剛度系數(shù)隨軸頸擾動頻率的增加而增大，在軸承數(shù)較大時，各剛度系數(shù)均顯著增大.直接阻尼系數(shù)隨軸承數(shù)的增加先增大后減小.相同的擾動頻率和軸承數(shù)條件下，動態(tài)系數(shù)均隨分形維數(shù)的減小而增大.(3)各階固有頻率隨軸頸角速度增加均呈現(xiàn)出線性的變化趨勢.當Knudsen數(shù)增加時，各固有頻率的變化幅度更加明顯.微型氣體軸承表面粗糙峰增加會使轉子系統(tǒng)的固有頻率下降.當Knudsen數(shù)和分形維數(shù)減小，轉子的軸心軌跡逐漸變小.