RV減速器等效誤差建模與參數(shù)優(yōu)化

曹 楷,邵桂芳,2,劉暾東,2*

(1.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，福建 廈門 361102;2.廈門市大數(shù)據(jù)智能分析與決策重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 廈門 361102)

RV減速器是一種主要應(yīng)用于機(jī)器人傳動(dòng)的減速器，具有振動(dòng)小、噪音低、能耗低、傳動(dòng)比大、精度高等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，其功能是將電機(jī)輸入的高轉(zhuǎn)速低扭矩動(dòng)力經(jīng)兩級降速后輸出為低轉(zhuǎn)速高扭矩動(dòng)力，以驅(qū)動(dòng)機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng).然而RV減速器的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，各部件間存在的誤差、嚙合間隙等因素均會影響RV減速器的傳動(dòng)精度，因此RV減速器在建模以及設(shè)計(jì)指標(biāo)優(yōu)化方面受到了廣泛的關(guān)注[3].

在RV減速器建模方面，Blanche等[4]建立了具有加工公差的擺線傳動(dòng)分析模型，研究了加工公差對齒隙和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的影響，建立了齒隙和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)與輸入曲軸轉(zhuǎn)角的周期函數(shù).李輝等[5]基于Pro/E建立了RV減速器剛體模型，導(dǎo)入ADAMS軟件中，進(jìn)行了虛擬樣機(jī)的建模，提供了一種建立RV減速器傳動(dòng)誤差模型的方法.Teruaki等[6-7]采用質(zhì)量彈簧等效誤差模型的方法建立了RV減速器傳動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，簡化了RV減速器傳動(dòng)誤差的計(jì)算，該方法將多種不同的誤差因素等效為質(zhì)量彈簧的形變，建模方式直觀且適用范圍廣泛.

針對RV減速器的設(shè)計(jì)及優(yōu)化問題，高躍等[8]分析了影響回差的因素，采用負(fù)等距與負(fù)移距的修型方法對擺線輪進(jìn)行了修形，提出了錯(cuò)位裝配的方法，減小了RV減速器的回差.Lin等[9]提出了一種基于擺線齒廓離散化的算法，使用蒙特卡洛方法建立了輔助程序，分析了運(yùn)動(dòng)誤差的分布，降低了減速器的成本和誤差.張麗芳等[10]將RV減速器擺線輪齒廓分成了工作段和非工作段，并進(jìn)行了轉(zhuǎn)角修形和變等距修形，從嚙合間隙、載荷分布、回差等方面驗(yàn)證了算法的有效性.這些方法僅針對影響誤差的參數(shù)進(jìn)行了分析和優(yōu)化，并未對RV減速器誤差的產(chǎn)生機(jī)理及傳遞關(guān)系進(jìn)行針對性建模，存在一定局限性.

遺傳算法是一種具有繼承、進(jìn)化能力的啟發(fā)式搜索算法，可以用來解決機(jī)器人及RV減速器參數(shù)優(yōu)化這類工程問題.陳欽韜等[11]采用遺傳算法對面向銑削任務(wù)的工業(yè)機(jī)器人位姿進(jìn)行了優(yōu)化，提高了銑削平面度.呂鳳鵬等[12]采用遺傳算法對RV減速器的轉(zhuǎn)臂軸承進(jìn)行了設(shè)計(jì)優(yōu)化，延長了RV減速器的疲勞壽命.張愛榮[13]為解決擺線針輪行星減速器傳動(dòng)效率低、結(jié)構(gòu)不緊湊的問題，以整機(jī)傳動(dòng)效率最高為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建了擺線針輪行星減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，通過遺傳算法對擺線針輪行星減速器進(jìn)行了優(yōu)化.可以看出遺傳算法在機(jī)器人及減速器等優(yōu)化問題上獲得了廣泛的應(yīng)用.

本文針對RV減速器進(jìn)行了等效誤差建模和參數(shù)優(yōu)化.首先采用Teruaki等[6-7]提出的等效模誤差型對RV減速器進(jìn)行建模，將RV減速器各個(gè)部件間的接觸壓力等效為彈簧模型.針對影響RV減速器傳動(dòng)誤差的剛度參數(shù)進(jìn)行分析，選取了3個(gè)主要影響RV減速器傳動(dòng)誤差的剛度參數(shù)，采用最小二乘法建立了優(yōu)化模型，并使用改進(jìn)遺傳算法對選取的3個(gè)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法對高精度RV減速器的設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供一定參考.

1 等效模型及參數(shù)辨識

由于RV減速器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，影響傳動(dòng)誤差的因素很多，通過實(shí)驗(yàn)手段分析誤差因素是很困難的.因此，本文采用等效誤差模型法求解傳動(dòng)誤差，將多種誤差以等效誤差的形式進(jìn)行替代，簡化了誤差表達(dá)形式的同時(shí)也有利于分析單個(gè)誤差對傳動(dòng)精度的影響.

1.1 等效模型建立

由Teruaki等[6]提出的等效誤差模型核心思想是將減速器各傳動(dòng)部件間的位移變量轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的彈簧變化量，將機(jī)構(gòu)中的每個(gè)零件等效為一個(gè)剛體，各個(gè)零件間存在著誤差、嚙合間隙和理論位置與實(shí)際位置的偏差等多種因素，將這些因素用彈簧變量來表示，這種簡化的誤差替代模型可以稱作等效誤差模型.在等效誤差模型的基礎(chǔ)上可以推導(dǎo)出各個(gè)部件所受力的大小，從而建立該部件的動(dòng)力學(xué)方程組.通過計(jì)算動(dòng)力學(xué)方程組，可以得出各個(gè)部件間的距離大小，進(jìn)而計(jì)算出傳動(dòng)誤差.本文使用的RV減速器的結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 RV減速器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of RV reducer

圖2 RV減速器等效誤差模型Fig.2 Equivalent error model of RV reducer

圖2展示了使用等效誤差模型對RV減速器進(jìn)行建模后的簡化模型.等效誤差模型的各參數(shù)及其意義見表1.

在圖2所示的模型中，零件之間的支承剛度和齒輪嚙合剛度被彈簧代替.通過對各零件間的誤差分析，可以得到各角的等效誤差量.根據(jù)文獻(xiàn)[6]，針對RV減速器的不同機(jī)構(gòu)分別建立了動(dòng)力學(xué)方程.

表1 等效誤差模型參數(shù)Tab.1 Parameters of equivalent error model

(i) 中心輪動(dòng)力學(xué)方程如式(1)和(2)，Rspi代表第i個(gè)行星輪與中心輪嚙合剛度，Sspi代表第i個(gè)行星輪與中心輪在嚙合線上的等價(jià)位移，γi代表第i個(gè)行星輪嚙合線與X軸的夾角，Rs代表齒輪軸支撐剛度，Xs代表中心輪X方向位移，aSX代表中心輪X方向的裝配誤差，Ys代表中心輪Y方向位移，aSY代表中心輪Y方向的裝配誤差.

(1)

(2)

(ii) 行星輪動(dòng)力學(xué)方程如式(3)～(5)，Rpd代表圓柱滾子軸承剛度，Sdjix代表第i個(gè)曲軸與第j個(gè)擺線輪接觸處的X方向等價(jià)位移，Rb代表圓錐滾子軸承剛度，Scix代表第i個(gè)曲軸與行星架接觸處的X方向等價(jià)位移，Sdjiy代表第i個(gè)曲軸與第j個(gè)擺線輪接觸處的Y方向等價(jià)位移，Sciy代表第i個(gè)曲軸與行星架接觸處的Y方向等價(jià)位移，asp代表曲軸中心距，e代表曲軸偏心距，Bj代表第j個(gè)擺線輪的理論自轉(zhuǎn)角.

(3)

(4)

RpdSdjiycosBj)=0.

(5)

(iii) 擺線輪動(dòng)力學(xué)方程如式(6)～(8)，αjk代表第k個(gè)針齒的嚙合線與第j個(gè)擺線輪的ηj軸夾角，Sdjk代表第j個(gè)擺線輪與第k個(gè)針齒法向接觸方向的等價(jià)位移，Rdjk代表第j個(gè)擺線輪與第k個(gè)針齒間的嚙合剛度，Pi代表第i個(gè)曲軸的理論自轉(zhuǎn)角，rd代表擺線輪節(jié)圓半徑.

(6)

(7)

(8)

(iv) 行星架動(dòng)力學(xué)方程如式(9)～(11)，Rb代表圓錐滾子軸承剛度，Rca代表角接觸軸承剛度，Xca代表行星架X方向位移，acx代表行星架X方向的裝配誤差，Yca代表行星架Y方向位移，acy代表行星架Y方向的裝配誤差，Tout代表輸出小轉(zhuǎn)矩.

(9)

(10)

(11)

將各部件的動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為矩陣的形式如式(12),其中R是一個(gè)17×17的剛度矩陣，P為17×1的力矢量，Y是等價(jià)誤差模型位移量的矩陣形式.

RY=P.

(12)

YT=[Xs,Ys,XP1,YP1,θP1,XP2,YP2,θP2,ηd1,

1.2 辨識參數(shù)分析

上文建立了RV減速器的等效誤差模型，R是剛度矩陣，包括了Rspi、Rs、Rdjk、Rca、Rb和Rpd6種剛度，分別代表第i個(gè)行星齒輪和中心輪嚙合剛度、齒輪軸支撐剛度、第j個(gè)擺線輪與第k個(gè)針齒之間的嚙合剛度、角接觸軸承剛度、圓錐滾子軸承剛度和圓柱滾子軸承剛度.

由于Rspi和Rs都在RV減速器的第一級減速部分，所以誤差被轉(zhuǎn)換到輸出軸上時(shí)減小了減速比的倍數(shù)，而RV減速器的減速比很大，Rspi和Rs經(jīng)過減速比縮小后，對傳動(dòng)誤差幾乎沒有影響，所以無需考慮.在二級減速過程中，由于擺線齒輪對稱放置在減速器的兩邊，所以嚙合剛度Rdjk會被抵消，也無需納入考慮，只需要對Rca、Rb、Rpd3個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.根據(jù)文獻(xiàn)[14-15],可以得到這3種軸承接觸剛度的經(jīng)驗(yàn)公式.

(13)

(14)

(15)

其中，μ代表軸承接觸面材料的泊松比，E代表軸承滾子的彈性模量，l1代表圓柱滾子軸承滾針的接觸長度，n1代表單個(gè)圓柱滾子軸承中滾針的數(shù)量，l2代表圓錐滾子軸承滾針的接觸長度，n2代表單個(gè)圓錐滾子軸承中滾子的數(shù)量，Eg代表軸承內(nèi)滾道材料的彈性模量，n3代表單個(gè)角接觸軸承滾珠數(shù)量，rg代表嚙合針齒的直徑.

由于等效誤差模型已經(jīng)將RV減速器各部件間的誤差通過彈簧變量進(jìn)行了等效，所以可以使用經(jīng)典的齒輪經(jīng)驗(yàn)公式對接觸剛度進(jìn)行計(jì)算；但是受到齒輪制造誤差、加工誤差以及制造材料的影響，因此還需要對接觸剛度的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以提高RV減速器經(jīng)等效誤差模型建模后的傳動(dòng)精度.

2 參數(shù)優(yōu)化

2.1 最小二乘法建模

圖3 最小二乘法辨識模型建立 Fig.3 Establishment of least square identification model

優(yōu)化目標(biāo)：

(16)

2.2 改進(jìn)遺傳算法

遺傳算法是基于達(dá)爾文進(jìn)化論的自然選擇和遺傳機(jī)制的一種優(yōu)化算法，是一種通過模擬自然進(jìn)化過程來尋找最優(yōu)解的方法.遺傳算法包括初始化種群、評價(jià)適應(yīng)度函數(shù)結(jié)果和生成新種群3個(gè)步驟：第一步是隨機(jī)生成原始種群，第二步是評估原始群體染色體對問題解的適應(yīng)度，第三步通過選擇、交叉和變異3種模式形成新的種群.選擇是從上一代群體中選擇適應(yīng)性更強(qiáng)的染色體作為新一代的一部分，交叉是從上一代群體中隨機(jī)選擇染色體進(jìn)行部分基因交換，突變是染色體上基因進(jìn)行隨機(jī)變化.通過多次生成新種群，最終得到原問題的最優(yōu)解.

直接將遺傳算法應(yīng)用于本文的模型中將會帶來以下的弊端：優(yōu)化參數(shù)的數(shù)值過大，且計(jì)算矩陣階數(shù)太高，會導(dǎo)致奇異矩陣出現(xiàn)概率很高；而當(dāng)出現(xiàn)奇異矩陣時(shí)，誤差模型計(jì)算公式很復(fù)雜會導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過長，且計(jì)算結(jié)果無意義.因此，本文提出一種改進(jìn)遺傳算法，針對以下幾個(gè)方面進(jìn)行了改進(jìn)：

(i) 在初始階段的初始種群和迭代過程的種群中均會出現(xiàn)奇異解，奇異解會導(dǎo)致種群中的個(gè)體趨向于單一.本文將在初始階段對種群進(jìn)行篩選去重的同時(shí)在迭代的過程中對子代進(jìn)行干預(yù)，對相同的個(gè)體進(jìn)行去除，而當(dāng)子代中個(gè)體數(shù)目種類過少且少于設(shè)定的閾值時(shí)，將會引入新的個(gè)體，通過增加種群的多樣性防止奇異解導(dǎo)致的早熟及不收斂問題.

(ii) 每個(gè)種群中會存在一些適應(yīng)度很差的個(gè)體，這些個(gè)體的存在會導(dǎo)致每一代適應(yīng)度計(jì)算因大量無用數(shù)據(jù)而消耗大量的計(jì)算資源.本文利用移民算子的原理，在每一代中淘汰掉適應(yīng)度較差的個(gè)體，設(shè)定淘汰率為20%，可以有效地縮短優(yōu)化時(shí)間.

(iii) 本文的優(yōu)化參數(shù)為Rca、Rb、Rpd，為了加快求解的速度，讓每個(gè)參數(shù)都會產(chǎn)生交叉和變異，同時(shí)設(shè)置變異的概率為動(dòng)態(tài)的.當(dāng)種群相同個(gè)體數(shù)超過一定閾值時(shí)，提高變異的概率，即使出現(xiàn)奇異解也可以通過變異引入新的基因，縮短了搜索到最優(yōu)解的時(shí)間.

2.3 算法參數(shù)設(shè)計(jì)

(i) 初始值參數(shù)設(shè)定

種群大小popsize設(shè)定為100，種群代數(shù)設(shè)定為100，交叉概率設(shè)定為0.8，變異概率設(shè)定為0.2，淘汰概率設(shè)定為0.2.

(ii) 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)建立適應(yīng)度指標(biāo)

(17)

(18)

(iii) 初始化種群

選擇二進(jìn)制編碼策略，設(shè)定二進(jìn)制編碼的長度為45，將編碼的所有位數(shù)設(shè)定為1，計(jì)算適應(yīng)度指標(biāo)并設(shè)定為最優(yōu).然后進(jìn)行種群的初始化，對種群中所有個(gè)體的種類進(jìn)行計(jì)數(shù)，若種群中個(gè)體的種類小于10種，則重新進(jìn)行初始化，確保種群種的染色體滿足多樣性.

(iv) 淘汰操作

由于計(jì)算階數(shù)較高，適應(yīng)度很低的個(gè)體在產(chǎn)生后代時(shí)，適應(yīng)度發(fā)生明顯提升的概率很低.因此本文根據(jù)移民算子的原理，設(shè)計(jì)了淘汰指標(biāo)， 針對適應(yīng)度很低的個(gè)體，根據(jù)淘汰概率進(jìn)行了末位淘汰，保留了適應(yīng)度較高的個(gè)體，通過精英個(gè)體產(chǎn)生的后代，加快解決問題的時(shí)間.

采用改進(jìn)遺傳算法對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的流程圖如圖4所示.

圖4 改進(jìn)遺傳優(yōu)化流程Fig.4 Process of improved genetic optimization

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法的有效性，建立實(shí)際的實(shí)驗(yàn)平臺對RV減速器的實(shí)際誤差進(jìn)行測量.實(shí)驗(yàn)平臺的結(jié)構(gòu)如圖5所示，在驅(qū)動(dòng)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下，通過輸入端圓光柵對RV減速器輸入端的角位移量進(jìn)行測量，經(jīng)減速器減速后輸出的角位移量可以由輸出端的圓光柵進(jìn)行測量，輸入端的角位移量經(jīng)計(jì)算后可以得到輸出端的理論角位移量，再通過實(shí)際測量出的輸出角位移量與計(jì)算出的理論角位移量進(jìn)行減法運(yùn)算，即可得到RV減速器的實(shí)際傳動(dòng)誤差.

1.驅(qū)動(dòng)電機(jī)； 2.輸入端圓光柵； 3.RV減速器； 4.輸出端圓光柵； 5.負(fù)載電機(jī).圖5 RV減速器傳動(dòng)精度測試平臺Fig.5 Test platform of RV reducer transmission accuracy

本文以RV20E型RV減速器為實(shí)驗(yàn)對象，進(jìn)行了傳動(dòng)誤差實(shí)驗(yàn)研究.其中RV20E包含兩級傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，第一級傳動(dòng)機(jī)構(gòu)包含20個(gè)太陽輪齒、26個(gè)行星輪齒，齒輪的模數(shù)為1.5 mm，嚙合壓力角為20°.第二級傳動(dòng)機(jī)構(gòu)包含40個(gè)針輪齒、39個(gè)擺線輪齒，針齒分布圓半徑為52 mm，偏心距為0.9 mm.

本文選擇未改進(jìn)的基本遺傳算法作為對比，在實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)未改進(jìn)的遺傳算法多次出現(xiàn)了早熟現(xiàn)象，且并未找到最優(yōu)指標(biāo)V，而在找到最優(yōu)指標(biāo)V的實(shí)驗(yàn)中，迭代代數(shù)可以達(dá)到35代.作為對比，在采用了改進(jìn)遺傳算法的多組實(shí)驗(yàn)中，未發(fā)現(xiàn)早熟現(xiàn)象，均會收斂且迭代代數(shù)基本在20代以內(nèi)，對比結(jié)果如圖6.本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)遺傳算法可以有效地解決早熟且縮短計(jì)算時(shí)間.

圖6 改進(jìn)算法優(yōu)化對比圖Fig.6 Comparison chart of improved algorithm optimization

圖7展示了RV減速器的實(shí)際傳動(dòng)誤差和經(jīng)過等效誤差模型與改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化后的理論傳動(dòng)誤差，實(shí)際傳動(dòng)誤差的范圍為-25.91″～13.93″，經(jīng)優(yōu)化后的理論傳動(dòng)誤差范圍為-27.88″～14.84″，可以看出實(shí)際的傳動(dòng)誤差峰峰值和經(jīng)優(yōu)化后傳動(dòng)誤差峰峰值相差很小.

圖7 RV減速器傳動(dòng)誤差對比圖Fig.7 Comparison chart of RV reducer transmission error

由于遺傳算法在初始化階段具有隨機(jī)性，為了減少初始化數(shù)據(jù)對優(yōu)化結(jié)果的影響，本文采用多重優(yōu)化的方法得到最優(yōu)解.對于多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，表2列出了10組優(yōu)化后剛度及V指標(biāo).

表2 優(yōu)化后剛度參數(shù)及V指標(biāo)Tab.2 Stiffness parameters and V index after optimization

表3則是根據(jù)表2中的10組數(shù)據(jù)計(jì)算出3個(gè)參數(shù)和1個(gè)評價(jià)指標(biāo)的平均值，并與優(yōu)化前的參數(shù)進(jìn)行了對比.

表3 優(yōu)化前后參數(shù)對比Tab.3 Comparison of parameters before and after optimization

由上文實(shí)驗(yàn)可以看出，采用改進(jìn)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化后的V指標(biāo)相比改進(jìn)前明顯減小.在此基礎(chǔ)上，選取了10組RV減速器實(shí)際傳動(dòng)誤差并計(jì)算出每組對應(yīng)的理論傳動(dòng)誤差，如表4所示.

表4 RV減速器實(shí)際及理論傳動(dòng)誤差Tab.4 Actual and theoretical transmission error of RV reducer

采用優(yōu)化后的參數(shù)再次進(jìn)行理論誤差的計(jì)算，將優(yōu)化前后的理論傳動(dòng)誤差與實(shí)際傳動(dòng)誤差的差進(jìn)行了對比.由表5可見，本文提出的優(yōu)化算法對于提高RV減速器的精度具有一定的可行性和有效性.

表5 RV減速器理論誤差與實(shí)際誤差對比Tab.5 Comparison of theoretical error and actual error of RV reducer

通過與實(shí)驗(yàn)的對比分析可以看出，本文提出的優(yōu)化方法使得理論傳動(dòng)精度提高了10.09%.結(jié)果表明，RV減速器通過等效誤差模型建模結(jié)合改進(jìn)遺傳算法改進(jìn)剛度參數(shù)的方案，可以有效地提升傳動(dòng)精度.

4 結(jié) 論

本文選取了Teruaki等[6]提出的RV減速器等效誤差模型方案對RV減速器進(jìn)行建模，針對等效誤差模型中的6種接觸剛度參數(shù)，分析了每種參數(shù)對傳動(dòng)誤差的影響大小，選擇了其中3種對傳動(dòng)參數(shù)影響較大的參數(shù)，并通過最小二乘法建立優(yōu)化模型，采用改進(jìn)遺傳算法對模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文提出的RV減速器等效誤差建模與參數(shù)優(yōu)化算法可以有效地提高傳動(dòng)精度10.09%，在RV減速器的設(shè)計(jì)及優(yōu)化方面提供一定的參考.