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    修正KdV-sinh-Gordon方程的實(shí)N孤子解及復(fù)N孤子解

    2022-04-07 06:19:56郭博文康景峰
    關(guān)鍵詞:孤子導(dǎo)數(shù)形式

    郭博文,康景峰

    (中原工學(xué)院 理學(xué)院,河南 鄭州 451191)

    隨著時(shí)代的發(fā)展,非線性問題在很多領(lǐng)域受到了越來越多的關(guān)注,如KP方程、非線性Schr?dinger方程[1]、sine-Gordon方程[2]、KdV方程[3]等,它們?cè)诹黧w力學(xué)、生物學(xué)、非線性光學(xué)、等離子物理學(xué)中的應(yīng)用一一凸顯。

    若將sine-Gordon方程中的正弦函數(shù)替換為雙曲正弦函數(shù),可得sine-Gordon方程:

    uxt+sinh(u)=0,

    (1)

    方程(1)在可積量子場(chǎng)論、扭結(jié)動(dòng)力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)等諸多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用[4-5]。

    修正Korteweg-de Vries(mKdV)方程為

    ut-6u2ux+uxxx=0,

    (2)

    修正KdV-sinh-Gordon(mKdV-SHG)方程

    (3)

    是由式(1)和式(2)結(jié)合推演而來的。其中,α和β是常數(shù),當(dāng)α=0、β=-1 時(shí),式(3)轉(zhuǎn)化成式(1)。對(duì)于任意α和β,式(3)均有完全可積性,這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[12]中已得到證明。

    本研究將先使用變數(shù)代換,將非線性方程(3)展開,用Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法將方程(3)的展開式轉(zhuǎn)化為雙線性形式,并進(jìn)行實(shí)N孤子解的計(jì)算,接下來根據(jù)變數(shù)代換中參數(shù)的不同,進(jìn)行復(fù)N孤子解的構(gòu)造,最后討論孤子分子的存在條件。

    1 mKdV-SHG方程的實(shí)N孤子解

    使用Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行計(jì)算時(shí),首先對(duì)u進(jìn)行變數(shù)代換:

    (4)

    式中:f和g均為x和t的實(shí)函數(shù)。

    取fxxg-2fxgt+fgxx=0作為條件之一,可將上式轉(zhuǎn)化為以下雙線性形式:

    (5)

    為了求解式(5),本研究進(jìn)行了f函數(shù)和g函數(shù)的構(gòu)造。設(shè)f和g可以按參數(shù)ε展開為級(jí)數(shù),即

    (6)

    式中:fi和gi均為x和t的實(shí)函數(shù);ε為小參數(shù)。

    將式(6)代入式(5)中,令ε同次冪系數(shù)相等得一系列等式。通過比較ε的同次冪系數(shù)計(jì)算,當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為1時(shí)可得方程(3)具有以下形式的單實(shí)孤子解:

    (7)

    孤子的速度為

    (8)

    單實(shí)孤子解取模后的三維圖形見圖1,其中參數(shù)設(shè)置為ξ10= 0,k1=1,α=1,β=2。

    圖1 單實(shí)孤子解取模后的三維圖形

    當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為2時(shí),可求出雙實(shí)孤子解為

    (9)

    其中的ξ1、ξ2、A12及2個(gè)孤子的速度見式(10):

    (10)

    雙實(shí)孤子解取模后的三維圖形見圖2,其中ξ10=ξ20=0,k1= 0.03,k2=1.1,α=1,β=-0.5。

    圖2 雙實(shí)孤子解取模后的三維圖形

    當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為3時(shí),可求出三實(shí)孤子解為

    (11)

    式(11)中的ξj、Ajt及3個(gè)孤子的速度為

    (12)

    式中:j

    三實(shí)孤子解取模后的三維圖形見圖3,其中ξ10=ξ20=ξ30=0,k1=0.2,k2= 0.7,k3=2,α=1,β=0.5。

    圖3 三實(shí)孤子解取模后的三維圖形

    在單孤子解、雙孤子解及三孤子解的基礎(chǔ)上,可以計(jì)算出mKdV-SHG方程的實(shí)N孤子解形式:

    (13)

    式(13)中將μ的和定義為當(dāng)μj(j=1,2,…,n)取0或1時(shí),所有可能項(xiàng)之和,其中ξj、Ajl為

    (14)

    2 mKdV-SHG方程的復(fù)N孤子解

    使用Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法求mKdV-SHG的復(fù)數(shù)解時(shí),將式(4)代入式(3) 中,將式(3)轉(zhuǎn)化為同式(5)的雙線性形式,但本節(jié)中的f和g為復(fù)數(shù)形式且互為共軛。當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為1時(shí),可得出mKdV-SHG方程(3) 具有以下形式的單復(fù)孤子解:

    (15)

    孤子速度同式(8),單復(fù)孤子解取模后的三維圖形見圖4,其中ξ10=0,k1=1,α=1,β=2。

    圖4 單復(fù)孤子解取模后的三維圖形

    當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為2時(shí),可求出雙復(fù)孤子解為

    (16)

    式中:ξ1、ξ2、A12及2個(gè)孤子的速度計(jì)算結(jié)果同式(10)。雙復(fù)孤子解取模后的三維圖形見圖5。

    圖5 雙復(fù)孤子解取模后的三維圖形

    圖5中,ξ10=ξ20=0,k1=1,k2=2,α=1,β=0.5。

    當(dāng)取ε的同次冪系數(shù)為3時(shí),可求出三實(shí)孤子解為

    (17)

    式中:ξj、Ajl及3個(gè)孤子的速度計(jì)算結(jié)果同式(12)。當(dāng)把參數(shù)設(shè)置為ξ10=ξ20=ξ30=0,k1=1,k2=2,k3=2.5,α=1,β=0.5時(shí),三復(fù)孤子解取模之后的三維圖形見圖6。

    圖6 三復(fù)孤子解取模后的三維圖形

    循環(huán)求解步驟,可以計(jì)算出mKdV-SHG方程的復(fù)N孤子解:

    (18)

    式(18)中將μ的和定義為當(dāng)μj(j=1,2,…,n)取0或1時(shí)所有可能項(xiàng)之和,其中ξj、Ajl同式(14)。

    3 mKdV-SHG方程的孤子分子存在條件

    在現(xiàn)代非線性光學(xué)領(lǐng)域中,孤子分子為研究熱點(diǎn)之一[9,14-16]。當(dāng)2個(gè)孤子保持速度一致的時(shí)候,便形成了孤子分子,其為一對(duì)穩(wěn)定且不隨著運(yùn)動(dòng)而彌散的孤立子。在前文中,已經(jīng)求出mKdV-SHG方程孤子解中孤子的速度,根據(jù)此結(jié)果可以判斷出孤子分子的存在條件。在此條件下2個(gè)孤子可以耦合為1個(gè)孤子分子,以雙實(shí)孤子解構(gòu)成的孤子分子為例:

    (19)

    圖7 雙實(shí)孤子分子

    圖8 雙實(shí)孤子分子俯視圖

    由圖7和圖8可以看出,孤子分子中的2個(gè)孤立子保持平行狀態(tài),以同樣的速度前進(jìn)。根據(jù)孤子分子構(gòu)成式(19),可以進(jìn)一步推導(dǎo)出多重孤子分子的存在條件。

    4 結(jié)語

    本研究利用雙線性導(dǎo)數(shù)法分析了mKDV-SHG方程,得到了該方程的雙線性形式,根據(jù)f和g類型的不同進(jìn)行變數(shù)代換,進(jìn)一步得到N重實(shí)孤子解和N重復(fù)孤子解,并對(duì)一至三的實(shí)孤子解和復(fù)孤子解進(jìn)行了三維圖像繪制。除此之外,根據(jù)所求出的不同孤子的速度,推導(dǎo)出了mKdV-SHG方程的孤子分子存在條件,并進(jìn)行了簡(jiǎn)單的形式求解。

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