云制造環(huán)境下考慮不確定性的產(chǎn)品配置優(yōu)化

李 嘉,楊 東

(東華大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200051)

云制造是在“制造即服務(wù)”的理念上,利用云計(jì)算技術(shù)為生產(chǎn)企業(yè)提供了一種低成本、網(wǎng)絡(luò)化和全球化的制造服務(wù),從而實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)從大規(guī)模模式轉(zhuǎn)向面向用戶的個(gè)性化服務(wù)模式[1-2]。根據(jù)Einpresswire發(fā)布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),2018年全球云制造市場(chǎng)規(guī)模為387億美元,預(yù)計(jì)到2024年全球云制造市場(chǎng)規(guī)模將增長(zhǎng)至1 190億美元。而2019 年國(guó)內(nèi)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模也達(dá)到了1 382億元。典型的國(guó)內(nèi)云制造平臺(tái)有海爾公司的COSMOPlat 云制造平臺(tái)、中國(guó)航天的“航天云網(wǎng)CASICloud”以及富士康工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)BEACON。隨著制造業(yè)標(biāo)準(zhǔn)化和通用化的提高,現(xiàn)代制造企業(yè)已從單一的產(chǎn)品制造轉(zhuǎn)向多個(gè)制造商分部件或分工序協(xié)作完成。因而,越來(lái)越多的企業(yè)開(kāi)始轉(zhuǎn)向云制造模式,從而實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品和零部件的生產(chǎn)和制造。產(chǎn)品配置作為實(shí)現(xiàn)個(gè)性化定制的主要技術(shù)之一,可以利用云制造技術(shù)實(shí)現(xiàn)其對(duì)客戶的個(gè)性化配置[3]。

產(chǎn)品配置是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模定制的主要技術(shù)之一[4-5]。在大規(guī)模定制下,產(chǎn)品被設(shè)計(jì)成由實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)品功能的各種模塊所組成,而模塊又分為共性模塊、變型模塊和可選模塊等[6]。通過(guò)對(duì)這些模塊的選擇和組合,從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)顧客個(gè)性化的配置[7]。傳統(tǒng)上產(chǎn)品配置的研究主要都假定模塊的生產(chǎn)制造均由本企業(yè)完成,因而其研究主要關(guān)注于如何獲得一個(gè)可行的配置。所采用的方法是應(yīng)用人工智能中的問(wèn)題求解技術(shù),包括基于規(guī)則的推理[8]、基于實(shí)例的推理[9]以及基于約束滿足的方法[10]。然而,隨著產(chǎn)品變型及其模塊實(shí)例個(gè)數(shù)實(shí)例的增加,產(chǎn)品配置被當(dāng)成一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題[11-12]。Aldanondo 等[11]采用整數(shù)規(guī)劃的方法建立產(chǎn)品配置優(yōu)化模型,從而獲得最優(yōu)的配置。Dou等[12]采用交互式的遺傳算法來(lái)優(yōu)化顧客協(xié)同參與的產(chǎn)品配置。Badurdeen等[13]考慮產(chǎn)品模塊的可回收性,從產(chǎn)品生命周期的可持續(xù)性角度出發(fā),采用多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法NSGA_II來(lái)優(yōu)化產(chǎn)品配置決策。此外,隨著全球供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的興起,一些學(xué)者將產(chǎn)品配置的研究和供應(yīng)鏈管理的研究相結(jié)合,從而借助于供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品模塊的定制和生產(chǎn)。Khalaf等[14]提出將模塊的制造由供應(yīng)鏈上的制造廠來(lái)完成,其優(yōu)化目標(biāo)是最小化供應(yīng)鏈總的成本,并建立了供應(yīng)鏈環(huán)境下的混合整數(shù)規(guī)劃模型。Yang等[15]提出將產(chǎn)品設(shè)計(jì)者和模塊供應(yīng)鏈看成是博弈決策的雙方,產(chǎn)品設(shè)計(jì)者決策目的是最小化總的產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制造成本,而供應(yīng)鏈決策者的目標(biāo)是最小化總的供應(yīng)鏈成本,并提出了基于博弈論的決策優(yōu)化方法。盡管基于供應(yīng)鏈的產(chǎn)品模塊定制提供了一種借助供應(yīng)鏈上下游企業(yè)來(lái)實(shí)現(xiàn)模塊生產(chǎn)和產(chǎn)品配置的方法,但供應(yīng)鏈上下游企業(yè)屬于一種緊耦合的狀態(tài),因而供應(yīng)鏈下產(chǎn)品配置的優(yōu)化目標(biāo)通常是最小化供應(yīng)鏈的總成本,包括模塊的制造成本、設(shè)施的選址成本、庫(kù)存管理和物流成本。與之對(duì)照,云制造是一種通過(guò)云服務(wù)的方式實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)品模塊化的定制,主企業(yè)和云制造商屬于一種服務(wù)和被服務(wù)的方式,主企業(yè)只需支付云制造服務(wù)費(fèi)用就實(shí)現(xiàn)模塊的交付,而無(wú)需考慮云制造商的庫(kù)存管理和設(shè)施選址等問(wèn)題,屬于一種松耦合的方式。

但是,上述研究都假定所有的參數(shù)都是確定的。在實(shí)際場(chǎng)景中,模塊的制造成本、制造提前期都受市場(chǎng)、供應(yīng)鏈的不穩(wěn)定性等因素而不可避免地出現(xiàn)波動(dòng)。因此,如何處理產(chǎn)品配置問(wèn)題中的不確定性已引起研究人員的重視[16-20]。目前,主要有兩種處理產(chǎn)品配置中不確定性的方法,即模糊數(shù)法和隨機(jī)規(guī)劃方法。Liu等[18]采用模糊數(shù)學(xué)的方法來(lái)表示產(chǎn)品模塊提前期的不確定性,基于模糊表達(dá)的提前期采用多目標(biāo)模糊優(yōu)化方法進(jìn)行產(chǎn)品配置模塊的決策。文獻(xiàn)[19-20]中考慮模塊部件的提前期不確定性,提出采用隨機(jī)規(guī)劃的方法來(lái)建模不確定情況下的產(chǎn)品配置優(yōu)化問(wèn)題,從而可以用隨機(jī)規(guī)劃的算法(如Benders分解方法)來(lái)求解產(chǎn)品配置優(yōu)化問(wèn)題。然而,上述兩種方法都存在一定的不足?；谀：龜?shù)的方法過(guò)于依賴(lài)主觀因素,而基于隨機(jī)規(guī)劃的方法都假定參數(shù)的變化服從一定的概率分布。這一假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格,因?yàn)閷?shí)際中企業(yè)很難準(zhǔn)確估計(jì)這些參數(shù)的概率分布。

魯棒優(yōu)化作為處理不確定性的優(yōu)化方法[21],并不要求事先知道不確定參數(shù)的概率分布,它著力于優(yōu)化在最壞情況下的目標(biāo)值。因此,魯棒優(yōu)化適合于求解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中參數(shù)概率分布難以準(zhǔn)確估計(jì)的優(yōu)化問(wèn)題。Soyster[22]首次提出了魯棒優(yōu)化的概念來(lái)求解線性規(guī)劃中的不確定性。隨后,Ben-Tal等[21]提出了參數(shù)的不確定集分別為區(qū)間和橢球的魯棒優(yōu)化方法。然而,基于區(qū)間不確定集的魯棒優(yōu)化在實(shí)際中過(guò)于保守,因?yàn)樗俣ㄋ袇?shù)的最壞情形會(huì)同時(shí)發(fā)生。盡管基于橢球不確定集的魯棒優(yōu)化能夠避免這種情況,但其魯棒等價(jià)模型屬于二階錐規(guī)劃,存在難于處理和求解等問(wèn)題。針對(duì)基于區(qū)間和橢球魯棒優(yōu)化方法的不足,Bertsimas等[23]進(jìn)一步提出了基于budget的魯棒優(yōu)化方法,它通過(guò)budget控制參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)魯棒最優(yōu)性和約束違背之間的關(guān)系,從而使得決策者可以根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)來(lái)平衡決策的保守性和目標(biāo)的最優(yōu)性。此外,基于budget的魯棒優(yōu)化由于其等價(jià)模型也屬于線性規(guī)劃模型,因而具有模型易于處理性和可解性等優(yōu)點(diǎn),已廣泛應(yīng)用于各種魯棒優(yōu)化問(wèn)題的求解中。自從魯棒優(yōu)化問(wèn)世以來(lái),研究學(xué)者已將魯棒優(yōu)化應(yīng)用于應(yīng)急服務(wù)設(shè)施選址、呼叫中心的運(yùn)營(yíng)安排、供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)等包含不確定性的優(yōu)化問(wèn)題中。孫華麗等[24]考慮了需求不確定性和運(yùn)輸時(shí)間不確定性下的應(yīng)急設(shè)施選址和路徑的魯棒優(yōu)化。邱若臻等[25]擴(kuò)展了報(bào)童模型,研究了需求參數(shù)的不確定集分別為區(qū)間和橢球情況下的多市場(chǎng)魯棒優(yōu)化模型。于淼等[26]針對(duì)呼叫中心實(shí)際運(yùn)營(yíng)中顧客到達(dá)不確定性的特點(diǎn),采用魯棒離散優(yōu)化方法,建立呼叫中心人員配置的魯棒優(yōu)化模型。彭春等[27]考慮了各應(yīng)急醫(yī)療服務(wù)站點(diǎn)的需求不確定性,分別構(gòu)建了區(qū)間、橢球和多面體不確定集,比較了在這些不確定集下的應(yīng)急醫(yī)療服務(wù)站魯棒選址決策方案。于冬梅等[28]同時(shí)考慮了需求不確定性和設(shè)施毀壞情景,建立了服務(wù)能力有限情況下的可靠性設(shè)施選址魯棒優(yōu)化模型。張夢(mèng)玲等[29]針對(duì)應(yīng)急救災(zāi)情況下的資源配置優(yōu)化,提出了不確定需求下考慮供應(yīng)商參與的兩階段魯棒優(yōu)化模型。Baron等[30]考慮具有多個(gè)周期下的設(shè)施選址問(wèn)題,提出了采用區(qū)間和橢球不確定集來(lái)刻畫(huà)需求的不確定性,并建立了相應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型。Alem 等[31]研究了家具行業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃,并考慮了生產(chǎn)成本和需求的不確定性,建立了基于budget的魯棒優(yōu)化模型。Zokaee等[32]提出采用魯棒優(yōu)化的方法來(lái)優(yōu)化供應(yīng)鏈設(shè)計(jì),并考慮了需求、供應(yīng)鏈產(chǎn)能和運(yùn)輸成本的不確定性,以面包供應(yīng)鏈為例闡述了該方法的有效性。Lu等[33]研究了顧客需求不確定下的車(chē)輛路徑問(wèn)題,建立了基于budget的魯棒優(yōu)化模型,并開(kāi)發(fā)了相應(yīng)的分支-定價(jià)算法來(lái)求解該優(yōu)化模型。

綜上所述,魯棒優(yōu)化是處理優(yōu)化問(wèn)題中的不確定性的有效方法。針對(duì)現(xiàn)有產(chǎn)品配置研究的不足,考慮到云制造商的制造數(shù)據(jù)(如云制造成本和時(shí)間)的概率分布由于數(shù)據(jù)稀少或者企業(yè)數(shù)據(jù)保密問(wèn)題難以精確獲取,而云制造數(shù)據(jù)區(qū)間(即上下界)相對(duì)容易獲得,故采用可調(diào)節(jié)的魯棒優(yōu)化方法研究云制造環(huán)境下的產(chǎn)品配置魯棒優(yōu)化問(wèn)題,并考慮模塊的云制造成本和云制造時(shí)間的不確定性。采用基于budget的區(qū)間不確定集來(lái)刻畫(huà)云制造成本和云制造時(shí)間的不確定性,并建立了相應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型。通過(guò)對(duì)偶理論,將其轉(zhuǎn)化為魯棒線性等價(jià)模型。采用一個(gè)配置案例闡述了所提出的魯棒優(yōu)化方法的有效性,并進(jìn)行了魯棒控制參數(shù)、擾動(dòng)比例的靈敏度分析。最后,采用蒙特卡洛仿真方法對(duì)魯棒解進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),從而證明了魯棒優(yōu)化模型比確定性模型相比,具有能夠保證約束滿足、改進(jìn)產(chǎn)品的交貨期、魯棒解更為穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。

1 模型描述

1.1 問(wèn)題敘述

某大規(guī)模定制企業(yè)采用了基于模塊化的產(chǎn)品結(jié)構(gòu),即一個(gè)產(chǎn)品由實(shí)現(xiàn)了不同功能的多個(gè)模塊所組成,包括共性模塊、變型模塊和可選模塊。而變型模塊又有多個(gè)可候選的模塊實(shí)例,這些模塊實(shí)例在產(chǎn)品性能、價(jià)格方面略有差異,從而體現(xiàn)了產(chǎn)品的差異化,以滿足不同顧客的需求。同一模塊的模塊實(shí)例是“多選一”關(guān)系,即XOR(Exclusive OR)關(guān)系,配置時(shí)只能從中選擇一個(gè)實(shí)例。此外,模塊之間存在各種配置規(guī)則,包括互斥規(guī)則、條件選擇規(guī)則等。其中,互斥規(guī)則是指兩個(gè)模塊的模塊實(shí)例不能存在于相同的配置中。而條件選擇規(guī)則是指如果選擇一個(gè)模塊實(shí)例,則必須選擇另一個(gè)模塊實(shí)例。由于云制造具有成本低廉、制造效率高、無(wú)需購(gòu)買(mǎi)專(zhuān)用設(shè)備和一次性固定投資等優(yōu)點(diǎn),因而該定制企業(yè)采用云制造模式進(jìn)行各種模塊的制造和生產(chǎn),即本企業(yè)只負(fù)責(zé)模塊的配置設(shè)計(jì),而模塊的制造均由提供各個(gè)制造任務(wù)的云制造商所完成。由于云制造網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下制造任務(wù)的復(fù)雜性和多樣性,模塊的云制造成本和云制造時(shí)間具有不確定性,因而云制造環(huán)境下的產(chǎn)品配置問(wèn)題就是如何在制造成本和制造提前期不確定的情況下,在保證顧客需求和配置規(guī)則的前提下,確定產(chǎn)品的模塊配置方案,從而使得總的配置成本最小。

根據(jù)產(chǎn)品配置的特點(diǎn),做出如下假設(shè):

(1)由于共性模塊在所有的產(chǎn)品中必須進(jìn)行選擇,它們并不影響配置決策結(jié)果,因而在配置決策中并不考慮。

(2)顧客需求通常表現(xiàn)為對(duì)產(chǎn)品功能或性能的需求。由于根據(jù)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)特性,存在從功能域到物理域(模塊)的映射關(guān)系,因而根據(jù)映射關(guān)系,顧客需求可以簡(jiǎn)化為對(duì)產(chǎn)品模塊的選擇要求。

(3)模塊的制造均采用云制造的方式,主企業(yè)只負(fù)責(zé)模塊的設(shè)計(jì)。并假定已完成云制造商的選擇和匹配決策,因而每個(gè)模塊的云制造商是已知的。

(4)模塊的制造任務(wù)是順序進(jìn)行,只有前一個(gè)模塊完成后,后一個(gè)模塊的制造任務(wù)才能開(kāi)始。但制造任務(wù)的排序是已知和給定的,因而本問(wèn)題并不研究云制造任務(wù)的排序。

1.2 符號(hào)說(shuō)明

建立優(yōu)化模型時(shí),將使用一些符合表示集合、參數(shù)、決策變量等,其中,“～”表示參數(shù)是不確定參數(shù),如

集合及符號(hào):

I——顧客訂單的集合,i∈I

J——模塊的集合,j,j＇∈J

K——模塊實(shí)例的集合,k,k＇∈K

Uc——參數(shù)的不確定集合

Ut——參數(shù)的不確定集合

XORj——模塊j的“多選一”候選實(shí)例集合

INC——互斥規(guī)則集合,(jk)∈INC

SEL——條件選擇規(guī)則集合,(jk)∈SEL

CR——顧客需求表達(dá)的集合,rijk∈CR

jk——模塊j的第k個(gè)實(shí)例

參數(shù):

ACjk——模塊實(shí)例jk的裝配成本

——模塊實(shí)例jk的云制造成本

ATjk——模塊實(shí)例jk的組裝時(shí)間

——模塊實(shí)例jk的云制造時(shí)間

uj——產(chǎn)品中所包含的模塊j個(gè)數(shù)

rijk——顧客i對(duì)模塊實(shí)例jk的要求(=1,表示顧客選擇該模塊實(shí)例;=0,表示顧客不選擇該模塊實(shí)例)

DTi——訂單i的交付時(shí)間

ai——訂單i的產(chǎn)品數(shù)量

決策變量

xijk——對(duì)于訂單i,是否選擇模塊實(shí)例jk(=1,選擇;=0,否)

1.3 模型建立

根據(jù)上述參數(shù)和符號(hào),建立如下不確定情況下的產(chǎn)品配置模型(P):

在模型(P)中,式(1)為目標(biāo)函數(shù),即配置總成本,它包括所有模塊的配置設(shè)計(jì)成本和模塊的云制造成本。其優(yōu)化目標(biāo)是最小化最差情況下的配置總成本,即Min-max問(wèn)題。式(2)表示隸屬于同一模塊的可候選模塊實(shí)例之間的XOR 關(guān)系,即只能從該模塊的所有候選模塊實(shí)例中選擇一個(gè)。式(3)、(4)表示兩種不同類(lèi)型的配置規(guī)則,即互斥規(guī)則和條件選擇規(guī)則。其中,式(3)為互斥規(guī)則,即一個(gè)模塊實(shí)例和另一個(gè)模塊實(shí)例不能同時(shí)選擇在一個(gè)產(chǎn)品中。式(4)為條件選擇規(guī)則,即如果選擇一個(gè)模塊實(shí)例,則必須選擇另一個(gè)模塊實(shí)例;反之,則不成立。式(5)為產(chǎn)品的交付期限制,即產(chǎn)品的生產(chǎn)總時(shí)間要滿足顧客對(duì)該產(chǎn)品交付期的要求,其總生產(chǎn)時(shí)間包括模塊的云制造時(shí)間和模塊的配置設(shè)計(jì)時(shí)間。式(6)為顧客對(duì)模塊的選擇要求。式(7)為0-1整數(shù)變量約束。

2 魯棒優(yōu)化處理

由于模塊的云制造成本、云制造時(shí)間存在不確定性,如果采用隨機(jī)規(guī)劃等方法,則存在著其分布函數(shù)難以估計(jì)、概率難以獲取等問(wèn)題。而魯棒優(yōu)化作為一種處理不確定性優(yōu)化的方法,它主要關(guān)注在最差情況下的最優(yōu)值,并不要求對(duì)不確定參數(shù)的分布函數(shù)或概率做出嚴(yán)格的估計(jì)?；趨^(qū)間的魯棒優(yōu)化僅僅要求不確定參數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值。這對(duì)實(shí)際問(wèn)題而言,獲取每個(gè)參數(shù)的區(qū)間范圍是相對(duì)容易的。因此,采用基于budget的區(qū)間魯棒優(yōu)化的方法處理云制造成本和時(shí)間的不確定性。

2.1 云制造成本的不確定性處理

其中,cjk和為云制造成本的名義值和最大偏離值。引入budget控制變量Γ1,其目的是根據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)來(lái)調(diào)整參數(shù)的變動(dòng)個(gè)數(shù),從而調(diào)整模型的魯棒性和最優(yōu)性。其含義是不可能所有參數(shù)的不確定性都同時(shí)發(fā)生,最多可能有Γ1個(gè)參數(shù)發(fā)生變化、且另一參數(shù)其值改變(Γ1-Γ1。引入集合J1={(j,k)＞0}表示具有不確定變化的參數(shù)下標(biāo)集合。由于產(chǎn)品配置中模塊具有XOR 結(jié)構(gòu),故Γ1的取值為區(qū)間為[0,|J|],其取值可以為整數(shù)或?qū)崝?shù)。

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)中包含不確定參數(shù)的魯棒優(yōu)化處理方法,對(duì)于目標(biāo)表達(dá)式(1),引入變量η,則目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于:

式(9)包含不確定參數(shù),根據(jù)其不確定集Uc的定義,可以轉(zhuǎn)化為

由于制造成本的魯棒budget控制系數(shù)為Γ1,引入保護(hù)函數(shù)β(Y,Γ1),則式(10)的魯棒表達(dá)可以寫(xiě)為

式中,

定理1式(10)等價(jià)于如下線性優(yōu)化問(wèn)題:

證明觀察β(Y,Γ1)表示的極值問(wèn)題采用基于集合的表達(dá)方法,它表示從集合J1中選取Γ1個(gè)參數(shù),其取值為1;而從集合中選取剩下的一個(gè)參數(shù),其取值為(Γ1-Γ1)。引入[0,1]區(qū)間的實(shí)數(shù)決策變量Yjk,以表示是否從該集合中選取或部分選取該參數(shù)cjk。顯然,β(Y,Γ1)也可以用如下線性規(guī)劃模型表示:

根據(jù)對(duì)偶理論,模型式(13)的對(duì)偶問(wèn)題可以表示為:

式中,變量ρ、λjk分別為與原問(wèn)題模型式(13)中第1條和第2條約束相對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量。根據(jù)強(qiáng)對(duì)偶理論,原問(wèn)題模型式(13)和對(duì)偶問(wèn)題模型式(14)的最優(yōu)目標(biāo)值是相等的。因此,將模型式(14)代入式(11)中的β(Y,Γ1)可得模型式(12),問(wèn)題得證。

2.2 云制造時(shí)間的不確定性處理

模型(P)中式(5)包含云制造時(shí)間的不確定變量,定義其取值范圍為即～T的不確定集

其中:Tjk為名義值;為最大偏離值。引入budget控制變量Γ2,令集合J2={(j,k)＞0}表示具有不確定變化的參數(shù)下標(biāo)集合。由于產(chǎn)品配置中模塊具有XOR 結(jié)構(gòu),故Γ2的取值區(qū)間為[0,|J|],其取值可以為整數(shù)或?qū)崝?shù)。

參照魯棒優(yōu)化模型約束右邊存在不確定變量的轉(zhuǎn)化方法,根據(jù)其不確定集Ut的定義,式(5)可以轉(zhuǎn)化為

由于云制造時(shí)間的budget控制系數(shù)為Γ2,引入保護(hù)函數(shù)Ψi(T,Γ2),故式(15)的魯棒表達(dá)可以寫(xiě)為

式中,Ψi(T,Γ2)是保護(hù)函數(shù),令其等于:

定理2式(15)等價(jià)于如下線性優(yōu)化問(wèn)題:

證明觀察Ψi(T,Γ2)所表示的極值問(wèn)題采用基于集合的表達(dá)方法,它表示從集合J2中選取Γ2個(gè)參數(shù),其取值為1;而從集合中選取剩下的一個(gè)參數(shù),其取值為(Γ2-Γ2)。引入[0,1]區(qū)間的實(shí)數(shù)決策變量Zjk,以表示是否從該集合中選取或部分選取該參數(shù)～Tjk。顯然,Ψi(T,Γ2)可以用如下線性規(guī)劃模型表示:

根據(jù)對(duì)偶理論,模型式(18)的對(duì)偶問(wèn)題可以表示為:

式中,變量ρi、σijk分別為與原問(wèn)題模型式(18)中的第1條和第2條約束相對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量。根據(jù)強(qiáng)對(duì)偶理論,原問(wèn)題模型式(18)和對(duì)偶問(wèn)題模型式(19)的最優(yōu)目標(biāo)值是相等的。因此,將模型式(19)代入式(16),問(wèn)題得證。

根據(jù)定理1和定理2,同時(shí)考慮模塊的云制造成本和時(shí)間不確定性,產(chǎn)品配置模型(P)的魯棒優(yōu)化等價(jià)模型(P_RO)為:

該模型中,如果令Γ1=Γ2=0,則魯棒優(yōu)化模型(P_RO)變?yōu)榇_定性的產(chǎn)品配置模型(P);如果令Γ1=Γ2=|J|,則變?yōu)榛趨^(qū)間的魯棒優(yōu)化模型。由于魯棒優(yōu)化模型(P_RO)是一個(gè)線性規(guī)劃模型,故用商業(yè)求解器(如CPLEX)對(duì)模型進(jìn)行求解。

3 案例分析

某制造企業(yè)采用基于模塊的產(chǎn)品設(shè)計(jì),從而便于實(shí)現(xiàn)對(duì)客戶的個(gè)性化配置。該產(chǎn)品由7個(gè)功能模塊(A、B、C、D、E、F、G)組成(見(jiàn)表1),分別實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)品的不同功能特性。而每個(gè)模塊又提供了兩個(gè)可候選的模塊實(shí)例,體現(xiàn)在產(chǎn)品性能或價(jià)格差異化的特征,以滿足客戶個(gè)性化的需求。例如,模塊A 具有兩個(gè)候選的模塊實(shí)例A1和A2,配置時(shí)只能從中選擇一個(gè)。該企業(yè)采用了云制造生產(chǎn)模式,即這些模塊的制造均云制造給制造商,本企業(yè)只負(fù)責(zé)模塊的配置設(shè)計(jì)。由于云制造生產(chǎn)任務(wù)的多樣性和復(fù)雜性,因而存在著云制造任務(wù)成本和時(shí)間的不確定性。表1給出了云制造不確定成本以及時(shí)間的名義成本和名義時(shí)間。表2、3分別給出了產(chǎn)品的配置規(guī)則和顧客的配置要求。

表1 產(chǎn)品的模塊構(gòu)成及名義數(shù)據(jù)

表2 產(chǎn)品配置規(guī)則

由表3可以看出,為簡(jiǎn)化計(jì)算,假設(shè)顧客訂單數(shù)量為1,顧客指定要求選擇模塊G1。此外,顧客要求的交貨期為1 540 h。

表3 顧客需求

3.1 不確定性對(duì)產(chǎn)品配置的影響

(1)云制造成本的不確定性。將上述參數(shù)代入模型(P_RO)采用CPLEX 求解,并令Γ2=0,χ2=0。表4給出了當(dāng)擾動(dòng)幅度χ1為80%、魯棒控制參數(shù)Γ1取不同值時(shí)的產(chǎn)品配置結(jié)果。Γ1=0即為確定模型的解。

由表4可以看出,魯棒模型的配置總成本要高于確定模型的配置總成本。隨著控制參數(shù)Γ1的增大,決策者越來(lái)越傾向于保守和謹(jǐn)慎,為了應(yīng)對(duì)不確定性的風(fēng)險(xiǎn),魯棒成本也不斷增加。此外,隨著魯棒控制參數(shù)Γ1的取值不同,模塊的配置結(jié)果也發(fā)生改變。例如,當(dāng)Γ1=2,配置結(jié)果為選擇模塊編號(hào)為1、3、6、8、10、12和13的模塊實(shí)例,即(1,3,6,8,10,12,13),對(duì)應(yīng)的模塊為A(1)—B(1)—C(2)—E(2)—F(2)—G(1)。即模塊A,B,G 均選擇其第1個(gè)實(shí)例,模塊C,D,F均選擇其第2個(gè)實(shí)例。當(dāng)Γ1=4,配置結(jié)果為(1,4,6,8,9,12,13),即對(duì)應(yīng)的模塊為A(1)—B(2)—C(2)—E(1)—F(2)—G(1)。與Γ1=2時(shí)的配置結(jié)果相比較,其區(qū)別在于Γ1=4時(shí)的配置結(jié)果中模塊實(shí)例B 選擇了實(shí)例2,模塊E 選擇了實(shí)例1;Γ1=2時(shí)模塊B選擇了實(shí)例1,模塊E選擇了實(shí)例2。其原因是,模塊B(1)和E(2)的擾動(dòng)成本(名義成本的80%)大于模塊B(2)和E(1)的擾動(dòng)成本,如果Γ1=4時(shí)仍然選擇B(1)和E(2),將會(huì)導(dǎo)致約束式(9)不能滿足,所以Γ1=4時(shí)選擇了擾動(dòng)成本更低的B(2)和E(1)。此外,在某些情況下,Γ1值的改變并不會(huì)導(dǎo)致配置結(jié)果的改變。例如Γ1=2和Γ1=3時(shí)的配置結(jié)果并沒(méi)有發(fā)生改變,這是因?yàn)棣?=2配置中模塊的擾動(dòng)量能夠滿足Γ1=3時(shí)保護(hù)函數(shù)的要求,即對(duì)于約束式(9),Γ1=2配置結(jié)果仍有足夠的保護(hù)值(保護(hù)函數(shù)β(Y,Γ1)取值),從而使得約束式(9)而不違例。圖1所示為Γ1取值分別為2、4和6時(shí)的模塊實(shí)例選擇結(jié)果。

表4 擾動(dòng)幅度χ1=0.8下的模塊配置結(jié)果

(2)云制造時(shí)間的不確定性。為更好地研究云制造時(shí)間的不確定性對(duì)產(chǎn)品配置結(jié)果的影響,令Γ1=0,χ1=0,即不存在云制造成本的不確定性。將上述參數(shù)代入模型(P_RO)并采用CPLEX進(jìn)行求解,擾動(dòng)比例為0.3 情況下的產(chǎn)品配置結(jié)果如表5所示。其中,Γ2=0即為確定模型下的配置解。

表5 擾動(dòng)幅度χ2=0.3下的模塊配置結(jié)果

由表5可以看出,魯棒配置總成本高于確定模型下的配置成本。此外,隨著魯棒控制參數(shù)Γ2的增加,模塊的總的配置成本也不斷增加。其原因是,隨著Γ2的增加,表示擾動(dòng)的模塊個(gè)數(shù)越多、總的制造時(shí)間不確定性增大。為應(yīng)對(duì)這種不確定性,滿足產(chǎn)品交付期的限制,將選擇成本高、但制造時(shí)間較短的模塊,從而導(dǎo)致總成本的增加。例如,在Γ2=4時(shí)的配置結(jié)果為(1,4,5,8,9,12,13),即A(1)—B(2)—C(1)—D(2)—E(1)—F(2)—G(1)。在Γ2=6時(shí)的配置結(jié)果為(1,4,6,8,9,11,13),即A(1)—B(2)—C(2)—D(1)—E(1)—F(2)—G(1)。兩者的區(qū)別在于前者選擇了模塊C(1)和F(2),而后者選擇了模塊C(2)和F(1),其余模塊選擇均相同。這是因?yàn)槟KC(1)和F(2)的云制造時(shí)間的擾動(dòng)值(名義值的20%)比模塊C(2)和F(1)的云制造擾動(dòng)值更大,會(huì)導(dǎo)致約束式(5)不能滿足,所以當(dāng)Γ2=6時(shí),將選擇擾動(dòng)值更小、但制造成本更高的模塊C(2),從而導(dǎo)致配置總成本的增加。圖2所示為Γ2取值為2、4和6時(shí)的模塊實(shí)例配置結(jié)果。

3.2 擾動(dòng)比例的影響

進(jìn)一步分析不確定參數(shù)的擾動(dòng)比例對(duì)配置結(jié)果的影響。擾動(dòng)比例χ1和χ2分別為20%、40%、60%、80%和100%。對(duì)于模塊云制造成本的不確定性,圖3所示為在不同擾動(dòng)比例下目標(biāo)函數(shù)(配置總成本)隨魯棒控制參數(shù)Γ1的靈敏度分析結(jié)果。在給定擾動(dòng)比例下(如χ1=0.2),配置總成本隨控制參數(shù)Γ1的增加而逐步增大。在給定控制參數(shù)Γ1(如Γ1=4),云制造成本的擾動(dòng)幅度越大,配置總成本也越大。因此,決策者應(yīng)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)云制造成本的擾動(dòng)幅度、并根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)情況合理地選擇配置結(jié)果。

在擾動(dòng)比例變化情況下考慮云制造時(shí)間不確定情況下的產(chǎn)品配置結(jié)果,圖4所示為在不同擾動(dòng)比例下目標(biāo)函數(shù)(配置總成本)隨魯棒控制參數(shù)Γ2的靈敏度分析結(jié)果。

由圖4可以看出,在擾動(dòng)比例固定的情況下(如χ2=0.4),配置總成本隨著控制參數(shù)Γ2階梯型增長(zhǎng)。這是因?yàn)樵谀承┣闆r下,盡管云制造時(shí)間出現(xiàn)擾動(dòng),但交貨期約束式(5)仍然可以滿足,所以不會(huì)導(dǎo)致配置解的改變。因此,在這種情況下,盡管控制參數(shù)Γ2增加(例如,當(dāng)χ2=0.4時(shí),Γ2從2改變到3),但總的配置成本仍然保持不變。此外,隨著擾動(dòng)比例的增大,總的配置成本也不斷增加,但配置解越來(lái)越少。例如,當(dāng)χ2=1.0時(shí),僅僅在Γ2≤2有最優(yōu)解,當(dāng)Γ2取其他值時(shí)模型都無(wú)解。其原因是,隨著擾動(dòng)比例的增加,云制造時(shí)間的擾動(dòng)值增大,為應(yīng)對(duì)這種時(shí)間上的不確定性,保護(hù)函數(shù)的值也相應(yīng)增大,從而導(dǎo)致滿足交貨期約束式(5)的配置解越來(lái)越少。由上述分析可以看出,根據(jù)擾動(dòng)比例合理設(shè)置魯棒參數(shù)的值,從而可以避免出現(xiàn)模型無(wú)解的情況。

3.3 同時(shí)考慮不確定性和擾動(dòng)比例

前面分別分析了魯棒控制參數(shù)和擾動(dòng)比例對(duì)產(chǎn)品配置結(jié)果的影響。下面將同時(shí)考慮魯棒參數(shù)Γ1、Γ2和擾動(dòng)比例χ1、χ2變化時(shí)對(duì)配置決策的影響:擾動(dòng)比例分別設(shè)置為0.1～0.5之間變化。圖5所示為配置總成本隨魯棒參數(shù)和擾動(dòng)比例的變化趨勢(shì)。

由圖5可以看出,隨著魯棒控制參數(shù)Γ1、Γ2以及擾動(dòng)比例χ1、χ2的增加,不確定參數(shù)個(gè)數(shù)和參數(shù)的擾動(dòng)值范圍都不斷增加。為抵御這種風(fēng)險(xiǎn),決策者越來(lái)越傾向保守,因而配置總成本更高。此外,由于同時(shí)考慮云制造成本和時(shí)間的不確定性,魯棒參數(shù)和擾動(dòng)比例的可行取值范圍也相應(yīng)縮小。例如,當(dāng)Γ1=Γ2=7時(shí),擾動(dòng)值＞0.2時(shí),模型已無(wú)可行解,故與單獨(dú)考慮其中一個(gè)因素相比,同時(shí)考慮云制造成本和時(shí)間不確定性的魯棒控制參數(shù)和擾動(dòng)比例的可行取值范圍會(huì)更小。因此,決策者應(yīng)理性地設(shè)置魯棒控制參數(shù)和擾動(dòng)比例。

3.4 約束違例概率

由魯棒優(yōu)化的定義可知,當(dāng)魯棒優(yōu)化問(wèn)題的不確定參數(shù)變化個(gè)數(shù)不超過(guò)魯棒控制參數(shù)Γ時(shí),魯棒優(yōu)化模型能夠確保相應(yīng)的約束100%滿足,而不違背約束。但是,當(dāng)不確定參數(shù)的變化個(gè)數(shù)超過(guò)Γ時(shí),該約束可能會(huì)被違例。該約束違背的概率為[21]

其中,Φ是累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

為進(jìn)一步分析約束違背概率和配置總成本的關(guān)系,隨機(jī)生成一個(gè)配置問(wèn)題實(shí)例:模塊數(shù)為20個(gè),每個(gè)模塊的變型實(shí)例為3個(gè),模塊的云制造成本、云制造時(shí)間、組裝成本和組裝時(shí)間均從[20,300]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生。為研究約束式(5)的違背概率,保持魯棒控制系數(shù)Γ1=0,而僅僅Γ2發(fā)生改變,即云制造成本是一個(gè)確定的參數(shù),而云制造時(shí)間是一個(gè)擾動(dòng)的參數(shù)。表6列出了當(dāng)Γ2變化時(shí),約束式(5)的違背概率。

表6 約束違背概率(χ2=0.4)

由表6可以看出,隨著Γ2的增加,決策者越來(lái)越偏向保守,約束違背概率越來(lái)越低,但配置總成本也顯著增加。由圖6可以看出,配置總成本隨控制參數(shù)Γ2邊際遞增。因此,設(shè)置合理的Γ2及約束違背概率對(duì)決策者至關(guān)重要。如果Γ2設(shè)置太高,則表示決策者偏向保守,約束違背率將減少,但將會(huì)導(dǎo)致配置總成本增加;如果Γ2設(shè)置過(guò)低,則表示決策過(guò)于冒險(xiǎn)和樂(lè)觀,盡管配置總成本將降低,但約束違背概率增加,將會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品的交貨期不能滿足顧客的要求。例如,由表6可見(jiàn),約束違背概率僅為0.36%。在實(shí)際生產(chǎn)中,設(shè)置大于13 的Γ2值已無(wú)十分必要。誠(chéng)然,決策者可以根據(jù)自己所承受的約束違背概率,合理選擇合適的Γ2值。表7所示為與約束違背概率相對(duì)應(yīng)的Γ2值選擇,其中變動(dòng)比例θ是指發(fā)生擾動(dòng)的模塊實(shí)例數(shù)占所有模塊實(shí)例數(shù)的比值。例如,如果決策者希望約束違背概率小于0.5%,只需設(shè)置值為13。即決策者只需從60個(gè)模塊實(shí)例中選擇出風(fēng)險(xiǎn)最高的13個(gè)模塊實(shí)例進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)擾動(dòng)分析。

表7 魯棒參數(shù)Γ2 的選擇

4 魯棒解的質(zhì)量驗(yàn)證

為驗(yàn)證魯棒模型所求得的配置解的有效性,隨機(jī)產(chǎn)生3個(gè)具有不同規(guī)模的配置問(wèn)題實(shí)例。其中:模塊的云制造名義成本cjk為[50,300]之間的均勻分布,模塊的云制造名義時(shí)間Tjk為[40,160]之間的均勻分布;模塊的組裝成本ACjk為[20,60]之間的均勻分布,模塊的組裝時(shí)間ATjk為[10,40]之間的均勻分布;訂單數(shù)量為1。并假定魯棒控制參數(shù)Γ1=Γ2,擾動(dòng)比例χ1=χ2。對(duì)于每個(gè)配置問(wèn)題實(shí)例的不同魯棒參數(shù)組合(Γ,χ),采用蒙特卡洛的仿真方法產(chǎn)生擾動(dòng)的云制造時(shí)間和云制造成本,使其值落在所定義的擾動(dòng)區(qū)間內(nèi)。并隨機(jī)仿真100次,共仿真27 000次。為了驗(yàn)證魯棒解的有效性,使仿真產(chǎn)生的擾動(dòng)模塊個(gè)數(shù)小于或等于Γ,表8給出了魯棒解和確定模型解的仿真結(jié)果比較。表8中問(wèn)題實(shí)例編號(hào)|J|×|K|×|I|分別表示模塊數(shù)、實(shí)例數(shù)和訂單數(shù)。名義數(shù)據(jù)下的目標(biāo)值是分別通過(guò)求解確定模型和魯棒模型而得到的。

表8 魯棒模型解與確定模型解的比較

由表8可以看出,不論是名義目標(biāo)值還是仿真目標(biāo)均值,魯棒模型的目標(biāo)值均高于確定模型的目標(biāo)值。這是因?yàn)闆Q策者為避免風(fēng)險(xiǎn)而付出的成本代價(jià)。但是,在仿真數(shù)據(jù)的場(chǎng)景下,魯棒模型能夠保證100%的滿足約束,即違例解個(gè)數(shù)為0,而確定模型違背約束的比例相當(dāng)高。例如,對(duì)于20×3×1 實(shí)例,當(dāng)Γ=10和χ=0.35時(shí),100次仿真中有41次都存在著違背約束的情況。平均來(lái)講,確定模型解100次仿真有36次仿真中都存在違例解?？梢钥闯?魯棒模型比確定模型更能抵御不確定因素的沖擊,因而其解也更為穩(wěn)定,能夠保證在Γ內(nèi)百分之百的滿足模型的約束。但魯棒模型的配置總成本也高于確定模型的總成本,因而決策者應(yīng)該平衡目標(biāo)的最優(yōu)性和決策的保守性,在滿足產(chǎn)品交貨期和服務(wù)質(zhì)量的前提下,進(jìn)行理性的最優(yōu)決策。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)云制造模式下的產(chǎn)品配置優(yōu)化問(wèn)題,考慮了模塊的云制造成本和時(shí)間的不確定性。采用基于budget和區(qū)間來(lái)刻畫(huà)不確定集,以配置總成本之和為目標(biāo),建立了云制造模式下的產(chǎn)品配置魯棒優(yōu)化模型。案例分析表明,隨著魯棒budget控制參數(shù)和擾動(dòng)比例的增加,決策者越來(lái)越傾向于謹(jǐn)慎,產(chǎn)品交貨期的約束違背率降低,這表示產(chǎn)品的交貨服務(wù)質(zhì)量提高,但隨之配置總成本會(huì)不斷增加。因此,決策者應(yīng)該對(duì)云制造成本和時(shí)間做出更為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè),將有助于降低配置總成本。此外,決策者也應(yīng)避免過(guò)度保守,過(guò)度增大budget控制參數(shù)和擾動(dòng)比例,也會(huì)導(dǎo)致模型無(wú)解。進(jìn)一步采用蒙特卡洛仿真方法,驗(yàn)證了魯棒模型盡管比確定性模型具有更高的配置成本,但能夠保證產(chǎn)品交貨期約束的滿足,因而魯棒模型也更為穩(wěn)健。

需要指出的是,云制造過(guò)程中模塊的運(yùn)輸物流、環(huán)境因素(如碳排放等)以及云制造中的服務(wù)定價(jià)問(wèn)題,本文并沒(méi)有涉及,這將是后續(xù)研究所應(yīng)該研究的內(nèi)容。