彈性支承上彈性轉動約束矩形薄板線性荷載壓屈分析

吳韜，莫時旭，鄭艷

(桂林理工大學 土木與建筑工程學院，廣西 桂林 541004)

0 引 言

隨著鋼材強度提高，鋼結構在工程中應用越來越廣泛，同時由于其加工性能的改善，鋼結構設計逐漸趨于輕型化、薄壁化，薄板鋼結構的穩(wěn)定性問題也越來越受到重視。在工程中，如方鋼管混凝土柱的側板、部分充填混凝土-鋼箱組合梁的腹板和頂板等鋼板都易“鼓包”，從而發(fā)生局部屈曲，因此建立相關局部屈曲強度計算公式，研究合理的截面尺寸具有重要的意義。

近年來，國內外學者從不同角度出發(fā)，提出多種矩形薄板屈曲問題研究方法。XIANG Y[1]和詹豪等[2]分別利用狀態(tài)-空間向量法研究了剛性和彈性支承上連續(xù)矩形板的屈曲問題；黃小林等[3]基于Galerkin法(伽遼金法)計算了不同組合邊界條件下復合材料板動力穩(wěn)定問題的臨界屈曲荷載；談梅蘭等[4]利用Galerkin法求解了拋物線和余弦曲線分布壓力下四邊簡支矩形板的屈曲問題；史旭東等[5]、甘立飛等[6]運用有限元法研究了矩形薄板在面內非均勻壓力下的屈曲問題。

薄板屈曲的另一大主流研究方法是能量法，主要是Rayleigh-Ritz法(瑞利-里茲能量法)。根據(jù)屈曲模態(tài)不同，矩形薄板的屈曲理論可分為兩類。一類是雙向屈曲問題：Timoshenko等[7]利用能量法研究了周邊不同邊界條件下，受面內不同作用力的矩形薄板彈性屈曲理論模型；QIAO P Z等[8-9]根據(jù)屈曲模態(tài)提出多種撓曲面函數(shù)，研究了四邊受均布壓力四邊彈性轉動約束矩形板的屈曲和受剪切荷載兩對邊簡支兩對邊彈性轉動約束矩形板的臨界屈曲荷載；劉沐宇[10]采用里茲法推導了彈性轉動約束的鋼混組合梁腹板在彎曲、剪切荷載單獨作用下的臨界屈曲應力。另一類是單向屈曲問題：H.D.Wright[11]研究了鋼管約束混凝土的局部屈曲問題；毛佳等[12]運用里茲能量法獲得了彈性支承上非加載邊彈性轉動約束均勻受壓矩形板的臨界荷載計算公式；鄭艷等[13]研究了剛性支承上非加載邊彈性轉動約束受面內線性壓力作用下的矩形板局部屈曲問題。

國內外學者對彈性支承上彈性轉動約束邊界受面內線性壓力作用矩形薄板的屈曲問題研究尚少，對于復雜邊界條件下的壓屈問題多依賴試驗和有限元數(shù)值分析[14-15]，這使得參數(shù)分析有較大局限性。獲得具有彈性支承和彈性轉動約束邊界薄板受線性壓力下的屈曲系數(shù)解析解，研究滿足該邊界條件的理論公式極具意義，因此，本文運用Rayleigh-Ritz法探究彈性支承上邊界彈性轉動約束薄板的屈曲模式，獲得臨界屈曲系數(shù)的理論計算公式，并采用殼單元和彈簧單元建立相關有限元模型，驗證本文理論計算的適用性和正確性，還對不同支承剛度、不同轉動約束剛度下的臨界屈曲系數(shù)進行了參數(shù)分析。

1 彈性支承上彈性轉動約束線性受壓矩形薄板屈曲分析

1.1 計算模型以及撓曲面函數(shù)的選取

使用靜力法求解板的屈曲問題，對相應荷載和邊界條件下的薄板彎曲平衡微分方程(1)求積分，可得到薄板的撓曲面函數(shù)，

(1)

作為高階偏微分方程，求解比較困難。瑞利-里茲法(Rayleigh-Ritz Method)作為應用勢能駐值原理求解穩(wěn)定問題的一種近似方法，采用具有廣義坐標的位移函數(shù)近似代替真實的位移曲面方程，也即將泛函變分問題轉化為求解函數(shù)極值問題，將求解偏微分方程變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程來處理。

為了滿足彈性轉動約束的邊界條件，選取撓曲面函數(shù)必須滿足一定條件。如圖1所示，通過選取帶參數(shù)的多項式函數(shù)模擬y方向上的彈性轉動邊界[9]，選取一般三角級數(shù)模擬x方向上的簡支邊界和雙向屈曲模態(tài)，則彈性支承上彈性轉動約束矩形薄板壓屈時面外位移函數(shù)為

(2)

其中，

(3)

(4)

式(3)中，為了構造彈性邊界的特征函數(shù)，考慮冪級數(shù)[12]

(5)

將式(5)代入式(3)，再將式(3)與式(4)代入式(2)，可得彈性轉動約束受壓矩形薄板的撓曲面函數(shù)

(6)

式中：w為撓曲面函數(shù)；m，n分別為x，y方向的屈曲半波數(shù)；am為廣義坐標；a為板長；b為板寬；N為薄板非加載邊的邊界條件方程個數(shù)。

如圖1所示，矩形薄板厚度為t；彈性支承剛度為k0；非加載邊y=0，y=b的彈性轉動約束剛度為ky。為方便分析，假設薄板底面和上下邊界均布兩種剛度的彈簧，則底面和上下邊單個彈簧剛度的量綱為[力]/[長度]。

圖1 彈性支承上雙邊彈性轉動約束矩形薄板受壓屈曲模型Fig.1 Local compressive buckling mode of rectangular plate with rotationally restrained sides on elastic base

加載邊x=0，x=a受面內荷載Nx作用，沿作用邊線性分布，單位板寬的荷載表達式為

(7)

(8)

其中，λ=(σ0-σb)/σ0為荷載梯度。

顯然該位移函數(shù)滿足加載邊面外位移為0的邊界條件。根據(jù)非加載邊受彈性轉動約束的邊界條件，面外位移為0且板邊彎矩與約束力矩相等，即滿足

(9)

(10)

(11)

根據(jù)非加載邊的邊界條件方程個數(shù)，式(6)中N=4，可改寫為

(12)

式中：m為x方向的屈曲半波數(shù)；a0～a4由式(9)確定。

將式(12)代入式(9)～(11)，求出待定系數(shù)a0～a4，則撓曲面函數(shù)可表示為

(13)

式中：bm=a1am；χ2為無量綱彈性支承剛度系數(shù)，

(14)

1.2 壓屈薄板各部分能量及其變分

彈性支承的支承勢能為

(15)

對式(5)求一階變分為

(16)

薄板產生彈性屈曲變形的彎曲應變能為

(17)

對式(17)求一階變分為

(18)

上下邊界受彈性轉動約束的勢能為

式(19)的一階變分為

(20)

面內線性壓力荷載所做的功為

(21)

對式(21)求一階變分，即

(22)

根據(jù)最小勢能原理有

(23)

其中，Π=Uk+Ue+UΓ-WN，為薄板產生屈曲變形時的總勢能。于是

(24)

將求解泛函變分問題轉化為求解關于bm的特征值問題，由式(24)得關于bm的一個線性方程組。為使線性方程組存在非0解，其系數(shù)矩陣的行列式必須為0，由此可求得矩形薄板在線性壓力作用下發(fā)生屈曲的臨界荷載Nx，

(25)

單位厚度的線性荷載

(26)

其中，κ為屈曲系數(shù)。

2 彈性支承上彈性轉動約束矩形薄板線性受壓屈曲參數(shù)分析

2.1 矩形薄板線性受壓臨界屈曲系數(shù)解析解

為了方便描述薄板單元的屈曲行為，利于后續(xù)參數(shù)化研究，根據(jù)文獻[13]，引入以下無量綱彈性支承剛度系數(shù)

(27)

將式(13)代入式(15)～(24)，獲得彈性支承上彈性轉動邊界線性受壓矩形薄板的屈曲系數(shù)解析解

(28)

由此可見，κ是關于半波數(shù)m、剛度系數(shù)(χ1，χ2)、長寬比γ和荷載梯度λ的函數(shù)。

取λ=1，當χ1，χ2為各種情況時，根據(jù)式(28)對每一半波m=1,2,3，…繪制出κ與γ的關系曲線，如圖2所示。χ1=χ2=0時，板的臨界屈曲系數(shù)約為8.003。

各屈曲半波數(shù)m和縱橫比γ相關，若m=p-1與m=p兩支曲線相交，則令

(29)

其中，p-1為前一半波數(shù)。曲線交點(γp-1,p,κp-1,p)應滿足式(27)。代入式(26)，可得

(30)

(31)

(32)

其中，式(32)為對p(γ)取整。

當給定屈曲半波數(shù)p-1，p時，式(30)給出矩形薄板κ-γ曲線交點縱橫比γ；同樣，不論縱橫比γ如何取值，矩形薄板在x方向的屈曲半波數(shù)始終等于整數(shù)m。以圖2(a)為例，p=4時，由式(30)計算可得γ(4)=(31/21)1/4π≈3.463，即半波數(shù)m=3，4圖像分支交點橫坐標為3.463；γ=4.8時，由式(29)計算可得p(4.8)=5.328，取整得m=5，顯然薄板的屈曲半波數(shù)為5。

圖2 κ與γ關系曲線Fig.2 Relation curves between κ and γ

2.2 矩形薄板線性受壓屈曲強度參數(shù)分析

當Nx取得最小值(Nx)cr時，縱橫比為γcr。令?κ/?γ=0，代入式(28)得

(33)

將式(33)代入式(28)，得到臨界屈曲系數(shù)

(34)

根據(jù)式(28)，利用基本不等式求解κ對γ的極小值，

(35)

2.2.1γcr與χ1,χ2的關系

由式(33)可得m=1時臨界長寬比γcr與剛度系數(shù)χ1,χ2的關系曲線，如圖3所示。χ2=0,χ1=0,10,100時，γcr分別為1.000，0.549，0.315。由此可見，相同屈曲半波數(shù)時，γcr隨著χ1,χ2的增大而減小。χ1一定時，γcr隨著χ2的增大而減小；χ1增大時，γcr-lgχ2曲線整體下降，且γcr的變化幅度減緩；當χ1增大到100時，γcr幾乎不隨χ2變化成為定值0.31，可見剛度系數(shù)χ1比χ2對γcr的影響很大。

圖3 γcr與χ1,χ2的關系曲線Fig.3 Relation curves betweenγcrandχ1、χ2

2.2.2κcr與χ1,χ2的關系

由式(34)得到λ=1時臨界屈曲系數(shù)κcr與剛度系數(shù)χ1,χ2的關系曲線，如圖6所示。對χ2采用對數(shù)坐標，可以看出每一條κcr-lgχ2曲線都存在上、下兩條漸近線，分別代表矩形薄板邊界固支和簡支時的臨界屈曲系數(shù)κcr。

以χ1=0為例，χ2<0.8時，κcr趨近于下界漸近線，由表1可知，此時κcr取簡支邊界(χ2=0)的κcr值，誤差為6.56%；χ2>100時，κcr趨近于上界漸近線，由表2可知，此時κcr取固支邊界(χ2=∞)的κcr值，誤差為3.75%。由此可見，χ2<0.8的板可視作簡直邊界板；χ2>100的板可視作固支邊界板。

表1 簡支邊界κcr的取值誤差Tab.1 Simply-supported boundary value errors of κcr

表2 固支邊界κcr的取值誤差Tab.2 Clamped-supported boundary value errors of κcr

χ2取0.8～100時，κcr隨χ2的增大而顯著提高，且κcr與lgχ2呈近似線性關系，如圖6(a)，利用線性回歸得到簡化回歸公式

圖6 κcr與χ1，χ2的關系曲線Fig.6 Relation curves between κcr and χ1 、χ2

(36)

將式(36)代入式(26)，得到矩形薄板的受壓屈曲強度

不同彈性支承剛度系數(shù)χ1、不同荷載梯度λ下，板的屈曲強度系數(shù)與彈性邊界轉動剛度系數(shù)χ2存在明顯差異，χ1和λ取值為各種情況時，板的臨界屈曲系數(shù)計算公式如表3所示。

表3 特定支承剛度系數(shù)下薄板屈曲強度系數(shù)κcrTab.3 Buckling coefficient κcr of plates under specific support stiffness coefficient

2.2.3κcr與λ的關系

由式(34)可得剛度系數(shù)χ1,χ2各種情況時臨界屈曲系數(shù)κcr與λ的定量關系，如圖4所示。λ=0，即矩形薄板均勻受壓情況下，χ1=0,χ2=0,10,100時，κcr分別為4.002,5.600,6.728，κcr隨χ2增大而遞增；當χ2=0、χ1=0,10,100時，κcr分別為4.002,8.634,22.100，κcr隨χ1增大而遞增，且增長幅度遠大于χ2對κcr的影響。對于圖中的每一支曲線，λ=0時，臨界屈曲系數(shù)κcr最小，且隨著λ增大κcr逐漸提高；對于χ1=χ2=0，當λ=100.2≈1.58時，κcr迅速提高，取對數(shù)后變化趨勢更加明顯，這是因為矩形薄板受拉區(qū)顯著增大，從而抑制了薄板的受壓屈曲。

圖4 κcr與λ的關系曲線Fig.4 Relation curves betweenκcr and λ

荷載梯度λ不同，矩形薄板受載邊面內受壓形式存在差異。以λ=0,2/3,1,4/3為例，受載邊壓力形式如圖5所示。λ>1時，受載邊同時受壓力和拉力作用。

圖5 幾種不同面內受壓薄板Fig.5 Several plates under in-plane compression

3 有限元分析

3.1 有限元模型的建立

采用有限元軟件ANSYS，分析在彈性支承上彈性轉動約束受壓矩形薄板的屈曲問題，并與本文理論解比較分析其適用性。薄板模型采用Shell63四節(jié)點彈性殼單元；對于彈性轉動邊界和彈性支承基底約束，采用兩種Combin14彈簧-阻尼器單元，單元屬性分別定義沿板邊的轉動自由度(Rotx)和垂直于板面方向的自由度(Uz)，使彈簧單元只有繞坐標軸的轉動剛度或沿坐標軸的軸向拉壓剛度。Combin14單元為二節(jié)點單元，在構造彈簧時，應完全約束其中一個節(jié)點的自由度。

為滿足多參數(shù)重復分析的需要，利用ANSYS參數(shù)化設計語言APDL編寫建立模型和特征值屈曲分析的命令流程序。首先生成全部節(jié)點，然后建立相關單元，集成相關參數(shù)的控制面板，能方便快捷地建立有限元模型。設定主要參數(shù)為χ1，χ2和γ，通過變換不同參數(shù)，計算不同約束條件下的受壓屈曲荷載。薄板的彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，板厚t=0.003 m。為方便起見，板寬b取定值1 m，根據(jù)薄板的長寬比γ確定板長a。在模型中，沿x軸方向的板邊為彈性轉動約束邊界，同時板四邊簡支，對于不與薄板相連的彈簧單元節(jié)點，約束其全部自由度。

圖7為λ=0，χ1=10時κcr-lgχ2的理論解和有限元數(shù)值模擬結果對比，可以看出理論解和有限元結果趨勢一致，χ2<10時，誤差很小；χ2較大時，理論解和有限元解的誤差偏大，但整體誤差不超過1.43%，兩者吻合良好，本文理論計算公式可以滿足工程精度要求。

圖7 κcr-lgχ2計算結果對比(λ=0,χ1=10)Fig.7 Comparison of κcr-lgχ2 calculation results

圖8給出了彈性支承、彈性轉動約束薄板線性受壓屈曲的典型模態(tài)，λ=0，γ=3，χ1=χ2=10時發(fā)生6個屈曲半波。根據(jù)式(31)，令γ=3，p(3)=6.227，取整得m=6，與有限元模擬結果一致。此時板的臨界屈曲特征值為47 197.4 N/m，相應臨界屈曲系數(shù)為9.21。

圖8 矩形薄板受壓屈曲模態(tài)Fig.8 Pressure bulking modes of rectangular plate

3.2 理論解的優(yōu)化

表4為修正前理論解和有限元數(shù)值解的結果比較。由表4可知，當λ在較小范圍內時，理論界與有限元解的誤差較小，λ>1時，兩者誤差明顯增大，并且隨著χ1增大會產生更大誤差。這是因為，λ=0時，薄板受均勻壓力作用，屈曲發(fā)生面外的位移區(qū)域在整個薄板平面內，這與假定的薄板撓曲面函數(shù)式(11)吻合一致；隨著λ增大，薄板不再受均勻壓力作用，當0<λ<1，λ=1，λ>1時分別受如圖9所示的梯形荷載作用、三角荷載作用和拉壓同時作用，此時薄板屈曲發(fā)生面外位移的區(qū)域不在整個板平面內，而是在局部壓力較大的區(qū)域，如圖9(d)所示，發(fā)生屈曲區(qū)域集中在受壓較大的y=0側，這與構造的撓曲面形函數(shù)不完全吻合，從而導致理論解的臨界屈曲系數(shù)偏大。

圖9 荷載梯度各情況下有限元模擬(χ1=100,χ2=10)Fig.9 FEM simulations of several load gradients

表4 修正前理論解與有限元數(shù)值結果對比Tab.4 Comparisons between theoretical solution and finite element numerical results before revise

通過對比研究理論解和有限元解，修正后的臨界屈曲系數(shù)公式為

(38)

(39)

aa 中：err為λ和χ1的函數(shù)；a為χ1的函數(shù)，

(40)

(41)

λ=1,4/3時，修正后的理論解與有限元結果對比見表5，誤差在4.7%內，可滿足工程精度要求。

表5 修正后理論解與有限元數(shù)值結果對比Tab.5 Comparisons between the modified theoretical solution and the finite element numerical results after revise

4 結 論

(1)提出滿足矩形薄板受面內線性壓力屈曲變形特點的撓曲面函數(shù)，通過利用瑞利-里茲能量變分法導出了彈性支承上彈性轉動約束矩形薄板在線性壓力荷載作用下的臨界屈曲系數(shù)理論計算公式，形式簡潔，便于應用，為進一步分析勻質矩形薄板在復雜邊界條件下的壓屈問題提供了理論依據(jù)。

(2)通過對屈曲理論解求極值，分析了臨界屈曲系數(shù)隨χ1，χ2的變化規(guī)律，并建立相應有限元分析模型，結果顯示，λ<2/3時，誤差不超過2%；荷載梯度較大時，采用帶有修正項的臨界屈曲系數(shù)，此時與有限元解的誤差小于4.7%，證實了本文理論計算的可行性。

(3)在雙剛度系數(shù)的參數(shù)分析中，基底支承剛度χ1比雙邊彈性轉動約束剛度χ2對臨界屈曲荷載的影響大，板件寬厚比一定時，提高彈性支承剛度可大大提高矩形薄板的抗屈能力。彈性轉動約束剛度系數(shù)χ2在0.8～100內對矩形薄板受壓穩(wěn)定性能影響顯著，χ2<0.8時，可視為簡支邊界，χ2>100時，可視為固支邊界，實際工程結構中薄板屈曲的邊界條件應按彈性轉動約束考慮。