基于協(xié)變能量密度泛函的250Cf 誘發(fā)裂變動力學(xué)研究

李澤宇

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715)

對重核裂變的微觀描述是低能理論核物理中最復(fù)雜的問題之一[1，2]。由于重核中通常包含著數(shù)以百計的核子通過多體相互作用耦合在一起，使用從頭算方法(Ab initio)或者相互作用殼模型(Interacting Shell-Model)計算如此復(fù)雜的多體問題都顯得捉襟見肘。因此，現(xiàn)代微觀方法對于重核的研究通?；谠雍四芰棵芏确汉?NEDFs)的框架。其中原子核密度泛函理論(DFT)和時間依賴的密度泛函理論(TDDFT)使人們能夠完成對重核的靜態(tài)性質(zhì)以及動力學(xué)演化的自洽計算[3-11]，但經(jīng)典的含時密度泛函理論計算只能給出原子核的最可幾演化路徑，并不能給出實驗觀測到的裂變產(chǎn)物呈現(xiàn)類高斯分布的結(jié)果。

一種可靠的恢復(fù)裂變動力學(xué)量子性的方法是時間依賴的生成坐標(biāo)方法(TDGCM)。利用這種方法，將原子核波函數(shù)視為集體形變空間中內(nèi)稟態(tài)的疊加，通過對疊加系數(shù)的動態(tài)演化即可再現(xiàn)裂變過程中的量子效應(yīng)?；诟咚怪丿B近似(Gaussian overlap approxima)，從含時的Hill-Wheeler 方程出發(fā)可以推導(dǎo)出集體空間中局域的含時類薛定諤方程。求解此方程即可得展開系數(shù)的時間依賴關(guān)系，此時，裂變系統(tǒng)的動力學(xué)演化本質(zhì)上取決于集體坐標(biāo)，能量密度泛函，對相互作用的選擇以及集體質(zhì)量的計算[12]。

在本文中，我們利用協(xié)變密度泛函理論計算了250Cf 原子核的靜態(tài)位能曲面，利用TDGCM+GOA 研究了集體空間中波函數(shù)的演化。在第二節(jié)概述了于計算裂變系統(tǒng)位能曲面、集體慣性和含時演化的理論模型。在第三節(jié)中，展示并探討了對于250Cf 裂變的動力學(xué)計算結(jié)果。其中裂變碎片的質(zhì)量分布呈現(xiàn)四峰結(jié)構(gòu)。第四節(jié)中對研究結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)。

1 理論框架

核裂變可以被近似為一個只由幾個集體自由度決定的緩慢絕熱過程。通過絕熱近似，原子核的內(nèi)稟核子自由度與集體形變自由度解耦，這意味著我們可以將計算分為獨立的兩步。第一步，通過施加約束的方法計算原子核在特定形變下的內(nèi)稟組態(tài)，以得到原子核的位能曲面以及剪裂線，子核核子數(shù)等集體參數(shù)。第二步，通過求解類薛定諤方程，計算集體波函數(shù)在集體空間中的動力學(xué)演化。在本文中，第一步通過基于PC-PK1[13]的協(xié)變密度泛函理論(CDFT)程序計算完成。第二步則通過Felix2.0 程序[14]計算模擬。

1.1 集體參數(shù)的求解

使用基于PC-PK1 的協(xié)變密度泛函理論，求解單核子Dirac 方程并結(jié)合BCS 方程便可得到單核子波函數(shù)，占據(jù)幾率，體系能量等靜態(tài)參數(shù)[13]。本文將Dirac 旋量φk(r)在各項異性的形變諧振子基上展開，通過自洽迭代求解。為了獲得原子核的裂變位能曲面，需要在計算中對四極矩和八極矩施加約束。

其中＜H＞是總能量，＜Qk＞表示質(zhì)量四極和八極算符的期望值，qk是對應(yīng)的約束值，Ck是約束強度。實際計算中，定義形變參數(shù)β2和β3替代原本的四極與八極算符期望值：

其中R0=r0A1/3=1.2*A1/3(fm)。

為了實現(xiàn)類薛定諤方程的計算，需要計算原子核微觀集體質(zhì)量張量Bkl以及集體勢場Vcoll。通過微擾推轉(zhuǎn)近似(perturbative cranking approximation)，質(zhì)量張量可以表示為[15，16]：

其中：

求和遍歷所有的核子準(zhǔn)粒子態(tài)。集體勢場則通過CDFT計算結(jié)果減去零點能獲得[17，18]。

1.2 含時類薛定諤方程

以原子核形變參數(shù)β2，β3為生成坐標(biāo)，采用高斯重疊近似，從含時的Hill-Wheeler 方程出發(fā)可以推導(dǎo)出集體空間中局域的含時類薛定諤方程。

其中g(shù)(β2，β3，t)表示在(β2，β3)集體形變空間中的集體波函數(shù)。此方程的輸入?yún)?shù)皆由相對論能量密度泛函自洽計算而得，求解此方程即可得集體波函數(shù)隨時間演化的關(guān)系。由于位能曲面計算采用變分原理，整個曲面將被分為兩部分。當(dāng)目標(biāo)約束形變相對較小時，計算結(jié)果為正常裂變所經(jīng)過的組態(tài)。而當(dāng)約束計算極端形變原子核時，將會得到原子核聚變道的結(jié)果[19]。這將導(dǎo)致最終得到的位能曲面上存在斷崖式的能量驟降區(qū)域。

實際計算表明，由裂變道到聚變道的突變通常在脖子數(shù)為3 核子左右時發(fā)生。本文中，定義脖子數(shù)為3 核子的組態(tài)為斷點，每一個斷點都對應(yīng)著一種斷裂組態(tài)。斷點所連成的線為剪裂線，對于剪裂線上任一面元ε，累計計算波函數(shù)的通量：

即可得該面元對應(yīng)斷裂組態(tài)發(fā)生的概率，考慮整個剪裂線即得最終產(chǎn)物分布。集體波函數(shù)的概率流可以通過連續(xù)性關(guān)系求得：

2 結(jié)果討論

2.1 計算參數(shù)

在本節(jié)中，展示了250Cf 誘發(fā)裂變的研究結(jié)果，其中裂變碎片的電荷分布顯示對稱裂變峰占據(jù)主導(dǎo)地位。在第一步中，執(zhí)行大規(guī)模形變約束自洽計算以生成(β2，β3)平面中的勢能面和單核子波函數(shù)。集體變量β2的范圍為(-1,6.0)，β3的范圍為(0.0,3.12)，計算步長Δβ2=Δβ3=0.04。能量密度泛函采用PC-PK1 參數(shù)組，δ- 對力的強度參數(shù)采用數(shù)值：Vn=349.5MeVfm3以及Vp=330MeVfm3。在軸向形變的諧振子基上求解了單粒子波函數(shù)的自洽Dirac 方程。采用Felix2.0程序用于模擬裂變核的時間演化，時間步長δt=5*10-4zs。在剪裂線之外的區(qū)域，考慮集體波包逃逸的附加虛吸收勢參數(shù)為：吸收率r=30*1022s-1，吸收帶寬度w=1.5。

圖1(β2，β3)平面內(nèi)250Cf 的自洽RMF+BCS 四極和八極約束形變位能曲面(單位：MeV)

2.2 計算結(jié)果

圖1 顯示了自洽RMF+BCS 四極和八極約束能量位能曲面以及部分點的密度分布。在基態(tài)谷內(nèi)，能量最低點位于(β2，β3)～(0.33，0.00)附近。整個位能曲面主要存在一個非對稱裂變谷。在(β2，β3)～(0.50，0.00) 以及(β2，β3)～(1.88，0.30)附近存在勢壘。發(fā)生裂變時，集體波函數(shù)受非對稱裂變谷的影響將會向大β3的方向演化，從微觀角度預(yù)測了250Cf 的裂變以非對稱裂變?yōu)橹?。位能曲面左上角同時給出了結(jié)團(tuán)發(fā)射的反應(yīng)道。

圖2(β2，β3)平面內(nèi)集體波函數(shù)模方|g|2 在不同時刻時的分布圖(含剪裂線)。波函數(shù)由剪裂線內(nèi)動態(tài)演化流出剪裂線，流出后認(rèn)為裂變事件發(fā)生

在描述(β2，β3)平面的裂變時，判斷裂變是否發(fā)生的一個關(guān)鍵因素是裂變區(qū)域與裂變后區(qū)域的不連續(xù)性，這個不連續(xù)性在能量、脖子數(shù)、密度分布等各個物理量上都有體現(xiàn)。定義脖子數(shù)算符：

其中zN為脖子位置，aN取為1。遵循文獻(xiàn)[20]的結(jié)果，我們擬定＜Q^N＞=3.0 為剪裂線。

類薛定諤方程描述了集體波函數(shù)在四八極集體空間中的演化規(guī)律，它和初始條件(初態(tài))，邊界條件一起決定了最終的產(chǎn)物分布。在本文中，對于剪裂線外部分的邊界條件處理采用Felix2.0 程序自帶的方式[14]進(jìn)行外推。而初態(tài)則采用boost(沖量近似態(tài))的方式構(gòu)建。

當(dāng)初態(tài)與邊界確定后，則可以根據(jù)類薛定諤方程追蹤波函數(shù)及其模方在集體空間中的演化。

在圖2 中，我們展示了不同時刻集體波函數(shù)模方|g|2 的分布圖(初態(tài)能量高于裂變勢壘1MeV)。T=0zs 對應(yīng)波函數(shù)演化的初態(tài)，其主要分布都存在于基態(tài)谷內(nèi)。隨著時間的流逝，可以看見，波函數(shù)開始朝著大形變方向演化。由于(β2，β3)～(0.33，0.00)附近的裂變勢壘的影響，可以看見圖2(b)中波函數(shù)分為了二個分支，分別沿著正負(fù)β3。這種演化規(guī)律一直持續(xù)至裂變完成。從圖2(c)和圖2(d)中可以看見，非對稱裂變谷處的波函數(shù)流出量依舊占據(jù)主導(dǎo)地位。值得注意的是，雖然對稱裂變谷能量較高，但由于在集體空間中距離基態(tài)的距離較近，依舊存在不可忽視的集體流通量。

另一個值得注意的量是剪裂線上波函數(shù)通量的累計值。如圖3 所示，隨著時間流逝，總通量先維持0 值一小段時間，后快速增加，然后趨于平緩。裂變的前2.5zs，對應(yīng)著基態(tài)谷中的集體波函數(shù)受激后越壘的過程，此時并沒有集體波函數(shù)從剪裂線上流出，但實際上原子核正發(fā)生著劇烈的形狀演化。之后，累計通量快速上升，代表著集體波函數(shù)大量流出，這意味著原子核裂變事件發(fā)生的概率快速上升。最后在40zs以后開始趨于平緩。在這之后雖然依舊有波函數(shù)流出，但最終的裂變產(chǎn)物分布已經(jīng)趨于穩(wěn)定。

圖3 剪裂線上波函數(shù)通量的累計值，波函數(shù)總量歸一。隨著時間流逝，總通量快速增加后緩慢收斂

最后，我們給出的裂變產(chǎn)物分布(圖4)也佐證了此點。需要指出的是，雖然不同時刻從剪裂線上流出的波函數(shù)總量的絕對數(shù)值存在差異，但經(jīng)過高斯平滑和歸一化后，不同時刻的產(chǎn)物分布在圖4 上的絕對面積相同，而只是不同產(chǎn)物的分布占比不同。正如我們預(yù)料的一樣，由于對稱裂變谷的距離過近，裂變的前5 zs 為對稱裂變占據(jù)主導(dǎo)。之后隨著時間演化，對稱峰下降，在10 zs 時整個產(chǎn)額分布便已達(dá)到平衡，之后雖然依舊有大量波函數(shù)流出，但對產(chǎn)額的分布已無影響。

圖4 250Cf 的中子發(fā)射前裂變碎片分布。分布數(shù)據(jù)都?xì)w一化到200%

3 結(jié)論

利用協(xié)變密度泛函理論計算了250Cf 的靜態(tài)位能曲面，通過BCS 近似考慮了核子的對關(guān)聯(lián)，通過微擾推轉(zhuǎn)近似得到了原子核的集體質(zhì)量張量，通過原子核總能量扣除零點能的方式得到了集體勢場，并使用含時生成坐標(biāo)方法和高斯重疊近似分析了集體空間中的波函數(shù)演化。

TDGCM+GOA 計算再現(xiàn)了裂變質(zhì)量分布的主要特征。我們發(fā)現(xiàn)，由于位能曲面的獨特拓樸結(jié)構(gòu)，250Cf 的低能誘發(fā)裂變呈現(xiàn)四峰結(jié)構(gòu)，且產(chǎn)額分布在10zs 內(nèi)便已收斂，后續(xù)演化只會帶來剪裂線上流出的總通量數(shù)值增加，對產(chǎn)額分布并無影響。