擺動(dòng)行波及其向定常對流的過渡

寧利中，袁 喆，寧碧波，田偉利

(1.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，西安 710048；2.嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 浙江 嘉興 314001；3.上海大學(xué) 建筑系, 上海 200444)

0 引 言

對Rayleigh-Benard對流問題的研究，已經(jīng)有百年的歷史，也獲得了豐富的研究成果[1-3]。特別是最近幾十年來，對于分離比(Separation ratio)ψ<0的混合流體對流的研究，獲得了許多有趣的行波對流斑圖。在理論探討方面,利用流體力學(xué)振幅方程組[4-5]的數(shù)值模擬解釋了行波現(xiàn)象;利用流體力學(xué)擾動(dòng)方程組[6-8]和流體力學(xué)基本方程組[9-17]的數(shù)值模擬再現(xiàn)了復(fù)雜的對流行波結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了擺動(dòng)行波，具有缺陷的行波，缺陷源周期擺動(dòng)的對傳波斑圖等[9-18]，并揭示了混合流體對流的運(yùn)動(dòng)機(jī)理。

擺動(dòng)行波是其中一種有趣的對流斑圖[19]。利用振幅方程，Busse小組研究了擺動(dòng)行波的穩(wěn)定性[20-21]。Knobloch E等[22]通過簡單模型模擬了擺動(dòng)行波。筆者通過流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)ψ比較小時(shí)的擺動(dòng)行波狀態(tài)[19,23]，Zhao B X等[24]的數(shù)值模擬也證實(shí)了這一特性。橋野恭央[25]在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了ψ比較大的擺動(dòng)行波斑圖,這說明擺動(dòng)行波狀態(tài)是一種新的斑圖。另外，關(guān)于混合流體對流運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬[26-28]和利用格子Boltzmann方法對Rayleigh-Benard對流的數(shù)值模擬[29-30]也獲得許多進(jìn)展。可是，基于流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬對擺動(dòng)行波狀態(tài)的詳細(xì)研究報(bào)道較少。本文將主要通過流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬探討具有強(qiáng)Soret效應(yīng)的混合流體擺動(dòng)行波對流的時(shí)空結(jié)構(gòu)特性及其向定常對流過渡的動(dòng)力學(xué)特性。

1 數(shù)學(xué)物理模型

考慮填滿混合流體的矩形腔體，下部加熱，上部溫度保持恒定，當(dāng)上下溫度差超過臨界值時(shí)，腔體中對流發(fā)生。對流見圖1。

圖1 矩形腔體中的對流

式中:u(u,0,w),T,C,p,t,ν,D,ez,ΔT,ST,α,β分別表示速度矢量、溫度、濃度、壓強(qiáng)、時(shí)間、運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)、濃度擴(kuò)散系數(shù)、z方向的單位矢量、上下壁面的溫度差、Soret系數(shù)、熱產(chǎn)生的體積膨脹系數(shù)、濃度引起的體積膨脹系數(shù)。下標(biāo)0表示對應(yīng)物理量的參考值。

由于所有壁面都是固定的，速度在壁面上為0。濃度流在壁面上是不可穿透的。故速度和濃度流的邊界條件為

(5)

(6)

式中：δu,δw分別為水平流速，垂向流速;Γ為長高比。

由于溫度在上下左右壁面處是絕熱的，在上下壁面z=0,1處是等溫的，故溫度的邊界條件為

(7)

當(dāng)z=0時(shí)，

δT=0.5

(8)

當(dāng)z=1時(shí)，

δT=-0.5

(9)

在數(shù)值計(jì)算中，根據(jù)有限容積法對混合流體對流的流體力學(xué)方程組進(jìn)行了離散，流體力學(xué)方程的對流與擴(kuò)散項(xiàng)采用二階精度的乘方差分格式。離散中采用均勻交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng)，模擬幾何區(qū)域劃分為242×22或362×32個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，Simple算法用于求解速度-壓力耦合方程，離散方程采用TDMA法求解。時(shí)間步長為Δt=0.001。當(dāng)ψ=-0.4，Pr=13.8，Le=0.01，r=1.95時(shí)，在上面兩種不同密度的網(wǎng)格下模擬得到了一致的結(jié)果，因此，驗(yàn)證了數(shù)值模擬結(jié)果對于不同疏密網(wǎng)格的獨(dú)立性。為了節(jié)約計(jì)算資源，計(jì)算中采用了242×22的網(wǎng)格密度。

計(jì)算的初始流動(dòng)條件為，流動(dòng)的微小振幅的包絡(luò)線具有高斯分布?；旌狭黧w的物性參數(shù)為ψ=-0.6，Pr=13.8,Le=0.01, 長高比Γ=12。

2 擺動(dòng)行波及其向定常對流的過渡

2.1 擺動(dòng)行波

2.1.1 擺動(dòng)行波斑圖的形成

對于分離比ψ=-0.6的混合流體，計(jì)算發(fā)現(xiàn)在r∈(6.7，11.2]內(nèi)存在擺動(dòng)行波斑圖。首先分析r=6.8、10.0、11.2時(shí)擺動(dòng)行波斑圖的形成。r=6.8時(shí)擺動(dòng)行波斑圖的形成過程見圖2(a),在對流發(fā)生的初始階段，腔體內(nèi)首先出現(xiàn)以豎直中心方向?yàn)閷ΨQ軸，兩側(cè)流體左右擺動(dòng)的對傳波狀態(tài)。隨著時(shí)間的推移，在t=12時(shí)，上述狀態(tài)破壞，所有的滾動(dòng)開始向左傳播;t=20左右，行波轉(zhuǎn)向，開始向右傳播，最終形成保持穩(wěn)定周期的擺動(dòng)行波。r=10.0時(shí)擺動(dòng)行波斑圖的過渡過程見圖2(b)，對流發(fā)生的初始階段，發(fā)生暫短的對傳波后，在t=14以后腔體內(nèi)行波過渡到擺動(dòng)行波斑圖。r=11.2時(shí)擺動(dòng)行波斑圖的過渡過程見圖2(c)，經(jīng)過初始階段的極其短暫的對傳波后，在t=10時(shí)形成穩(wěn)定的擺動(dòng)行波斑圖。由圖2可見，隨著r增大，向擺動(dòng)行波斑圖過渡的時(shí)間變短，也即穩(wěn)定的擺動(dòng)行波斑圖形成的越快；隨著r增大，擺動(dòng)行波斑圖的擺動(dòng)周期變小，擺動(dòng)幅度也變小。隨著時(shí)間的發(fā)展，擺動(dòng)行波斑圖的擺動(dòng)逐漸規(guī)則、光滑，它的擺動(dòng)周期也趨于穩(wěn)定。

圖2 擺動(dòng)行波斑圖的過渡過程

2.1.2 擺動(dòng)行波斑圖的結(jié)構(gòu)

相同時(shí)間間隔內(nèi)，圖2參數(shù)情況下穩(wěn)定擺動(dòng)行波斑圖的腔體高度1/2處溫度分布隨時(shí)間的變化見圖3。由圖3可見，隨著r的增大，擺動(dòng)行波斑圖的擺動(dòng)變得更加光滑，擺動(dòng)幅度減小，擺動(dòng)周期變短。擺動(dòng)行波斑圖的擺動(dòng)周期Tu隨著r的變化關(guān)系曲線見圖4。由圖4可見，擺動(dòng)行波斑圖的擺動(dòng)周期隨著r的增加而減小，當(dāng)r>8以后，隨r的增加，擺動(dòng)周期減小的速度變慢。

圖3 腔體1/2高度處的溫度場隨時(shí)間的變化

圖4 擺動(dòng)周期Tu隨相對瑞利數(shù)r的變化

r=10，t=102.8～112.7時(shí)間間隔內(nèi)，腔體內(nèi)擺動(dòng)行波斑圖的流線隨著時(shí)間的變化見圖5。其中，橫軸為腔體的長度方向，縱軸的每個(gè)長矩形框中的圖像為腔體內(nèi)流線分布，每兩個(gè)長矩形框之間的時(shí)間間隔為Δt=0.9?？梢?，腔體內(nèi)出現(xiàn)7個(gè)流線圈，也即系統(tǒng)發(fā)展成3個(gè)半周期的對流滾動(dòng)。在t=102.8時(shí)擺動(dòng)行波斑圖向腔體左側(cè)傳播，這時(shí)，左側(cè)的流線圈被擠壓變小，右側(cè)的流線圈擴(kuò)張變大，左側(cè)的流線圈的波長減小，波數(shù)增加，相應(yīng)的右側(cè)的流線圈的波長增加，波數(shù)減小；當(dāng)t=104.6時(shí)右側(cè)流體的流線圈得到充分的擴(kuò)展，左側(cè)流體的流線圈被擠壓，由于其內(nèi)部機(jī)理，向左運(yùn)動(dòng)的流體滾動(dòng)開始反轉(zhuǎn)方向，開始向右側(cè)運(yùn)動(dòng)；當(dāng)t=111.7時(shí)左側(cè)流體的流線圈得到充分?jǐn)U展，右側(cè)流體的流線圈被擠壓變得最小，這時(shí)，左側(cè)的流線圈的波長增加，波數(shù)減小，相應(yīng)的右側(cè)的流線圈的波長減小，波數(shù)增加；隨著時(shí)間的發(fā)展，腔體內(nèi)的擺動(dòng)行波斑圖循環(huán)傳播下去。

圖5 r=10.0時(shí)流線的時(shí)空結(jié)構(gòu)

2.2 擺動(dòng)行波斑圖向定常對流狀態(tài)的過渡

隨著相對瑞利數(shù)r的增大，對于r=11.3的情況，腔體內(nèi)t=3時(shí)先由短暫的對傳波過渡到擺動(dòng)行波斑圖，這種狀態(tài)一直保持到t=133時(shí)，系統(tǒng)過渡到定常對流狀態(tài)，對流滾動(dòng)不再向左或向右來回傳播，而是保持原位置連續(xù)的滾動(dòng)，黑白色的上升流和下降流位置隨時(shí)間不再空間變化，在豎向時(shí)間軸線上呈現(xiàn)為一條豎向直線見圖6。r=11.3時(shí)腔體內(nèi)最大垂直流速δwmax隨時(shí)間的變化見圖7，它也反眏了擺動(dòng)行波斑圖向定常對流的過渡性質(zhì)?？梢妕≤133時(shí)，最大垂直流速δwmax隨著時(shí)間一直在規(guī)則的平穩(wěn)的周期變化，系統(tǒng)是擺動(dòng)行波斑圖狀態(tài)。當(dāng)t>133時(shí)，最大垂直流速穩(wěn)定在δwmax=52，最大垂直流速不再隨著時(shí)間變化，最大垂直流速δwmax隨時(shí)間的變化變成一條水平線，這時(shí)，擺動(dòng)行波斑圖轉(zhuǎn)變成定常對流狀態(tài)。

圖6 r=11.3時(shí)腔體1/2高度處溫度場的時(shí)空結(jié)構(gòu)

圖 7 r=11.3時(shí)最大垂直流速δwmax隨時(shí)間的變化

r=11.3時(shí)定常對流狀態(tài)時(shí)腔體內(nèi)的對流場見圖8。圖8(a)為速度矢量分布，腔體內(nèi)出現(xiàn)7個(gè)對流滾動(dòng)圈，它們的大小基本相同，可見上升流和下降流的位置，在上升流和下降流的位置處垂直流速具有最大值。圖8(b)為流線圖，流線圖為7個(gè)光滑的曲線圈。圖8(c)為濃度分布，在上升流和下降流的位置處存在明顯的上升羽狀分布和下降羽狀分布。

圖8 r=11.3時(shí)定常對流的對流場(t=408)

為了探討向定常對流的過渡過程，又對r>11.3的不同r進(jìn)行了計(jì)算。發(fā)現(xiàn)在這些不同的r下腔體中的對流最終都發(fā)展成定常對流狀態(tài)。r=12.0、16.0、20.0時(shí)定常對流狀態(tài)的形成過程見圖9。由圖9可見，系統(tǒng)先過渡到擺動(dòng)行波斑圖，后發(fā)展成定常對流狀態(tài)，過渡過程不同。隨著r的增大，發(fā)展成定常對流狀態(tài)的所需時(shí)間逐漸減小。不同r下過渡到定常對流的時(shí)間見表1。由表1可見，隨著r的增加，由擺動(dòng)行波斑圖過渡到定常對流的時(shí)間迅速變短，定常對流狀態(tài)越容易出現(xiàn)。

表1 不同r時(shí)過渡為定常對流狀態(tài)時(shí)對應(yīng)的時(shí)間

圖9 向定常對流的過渡

3 結(jié) 論

本文利用Simple算法對混合流體對流的流體力學(xué)基本方程組進(jìn)行了數(shù)值模擬，探討了矩形腔體具有強(qiáng)Soret效應(yīng)的混合流體對流的擺動(dòng)行波斑圖的動(dòng)力學(xué)特性及其向定常對流過渡的動(dòng)力學(xué)特性。

1)發(fā)現(xiàn)在較大的相對瑞利數(shù)變化范圍內(nèi)存在著擺動(dòng)行波。在擺動(dòng)行波存在的范圍內(nèi)，系統(tǒng)從小擾動(dòng)狀態(tài)發(fā)展成擺動(dòng)行波的時(shí)間隨著相對瑞利數(shù)的增加而減小。

2)擺動(dòng)行波的擺動(dòng)周期和擺動(dòng)幅度隨著相對瑞利數(shù)的增加而減小。擺動(dòng)行波的當(dāng)?shù)夭ㄩL隨著時(shí)間被壓縮或者伸長，當(dāng)?shù)夭〝?shù)隨著時(shí)間和空間不斷變化。

3)當(dāng)超過了擺動(dòng)行波存在的上限后，系統(tǒng)首先由具有小振幅的擾動(dòng)狀態(tài)發(fā)展成擺動(dòng)行波，然后經(jīng)過一段時(shí)間的過渡瞬態(tài)的擺動(dòng)行波發(fā)展成定常對流。從擺動(dòng)行波過渡到定常對流的時(shí)間隨著相對瑞利數(shù)的增加變短。本文是加熱混合流體對流的基礎(chǔ)研究，對實(shí)際工程中存在的加熱混合流體對流的問題有一定的應(yīng)用前景。