基于二次規(guī)劃建模的甘蔗企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃與算例研究

馮德鴻

（1.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌 443002；2.三峽數(shù)學(xué)研究中心，湖北宜昌 443002）

0 引言

如何降低我國(guó)甘蔗種植生產(chǎn)成本問(wèn)題的研究，主要兩個(gè)研究方向：第一是在宏觀層面進(jìn)行的以定性分析為主的研究，從整合土地資源培育蔗種開(kāi)始，直到蔗糖成品進(jìn)入市場(chǎng)，種植與生產(chǎn)的全方位和全過(guò)程鏈的成本包括土地租金成本、勞動(dòng)力成本、相關(guān)生產(chǎn)資料成本（蔗種、農(nóng)藥、施肥、機(jī)械設(shè)備耕作和收割、裝車與企業(yè)生產(chǎn)加工），將以上各要素進(jìn)行綜合定性或初步定量分析，如廣州甘蔗糖業(yè)研究所江永等人的研究[1-3]；廣西農(nóng)業(yè)科學(xué)院甘蔗研究所楊榮仲等人應(yīng)用統(tǒng)計(jì)技術(shù)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)甘蔗育種問(wèn)題的研究[4]；廣東省科學(xué)院南繁種業(yè)研究所胡朝暉等人應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)，分別從甘蔗單產(chǎn)與產(chǎn)糖率年遺傳增益角度，對(duì)全球蔗糖主要生產(chǎn)國(guó)進(jìn)行的對(duì)比研究[5]；廣西民族大學(xué)商學(xué)院的廖東聲等人對(duì)廣西甘蔗產(chǎn)業(yè)現(xiàn)狀、生產(chǎn)特點(diǎn)及生產(chǎn)成本項(xiàng)目等方面進(jìn)行財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)分析、生產(chǎn)成本核算及成本控制等方面的研究[6]。第二是在微觀層面以“智慧農(nóng)業(yè)”為理念，綜合應(yīng)用北斗遙感衛(wèi)星影像（RS）、地理信息系統(tǒng)（GIS）與人工智能（AI）優(yōu)化算法、5G 通信與無(wú)人機(jī)械化種植管理等技術(shù)手段，而進(jìn)行精益種植與精準(zhǔn)生產(chǎn)方面的研究，如華南理工大學(xué)輕化工研究所的陳山等人應(yīng)用系統(tǒng)工程的原理與方法，對(duì)制糖企業(yè)生產(chǎn)管理進(jìn)行最小二乘法的決策建模[7]，來(lái)降低企業(yè)生產(chǎn)成本；廣西農(nóng)業(yè)科學(xué)院甘蔗研究所羅亞偉等人對(duì)甘蔗生產(chǎn)全程機(jī)械化應(yīng)用成本及效益進(jìn)行投入—產(chǎn)出模型分析[8]。

本文則應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)二次規(guī)劃建模的原理與最優(yōu)化方法，對(duì)制糖企業(yè)生產(chǎn)如何降低蔗糖損失的研究則屬于第二方面。

1 問(wèn)題描述

我國(guó)廣西壯族自治區(qū)某甘蔗種植與生產(chǎn)基地專業(yè)生產(chǎn)蔗糖。甘蔗在砍收后將通過(guò)同型號(hào)（具有相同載重量）的貨車運(yùn)送到甘蔗制糖企業(yè)。一輛貨車的運(yùn)輸量、能夠生產(chǎn)出來(lái)的蔗糖取決于甘蔗收購(gòu)的地點(diǎn)、以及甘蔗成熟的程度。在收砍之后，甘蔗中的含糖量將因發(fā)酵而急劇下降，因而所含糖分損失隨時(shí)間延長(zhǎng)而增加。生產(chǎn)制糖企業(yè)經(jīng)營(yíng)主管希望編制一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使得總甘蔗損失降到最低。表1 是依據(jù)往年歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)車輛的損失率以及剩余時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的每輛貨車甘蔗的屬性表。

表1 每輛貨車甘蔗的屬性Table 1 The nature of each truck of sugarcane

2 數(shù)學(xué)規(guī)劃建模

現(xiàn)有n輛貨車到達(dá)生產(chǎn)企業(yè)，在生產(chǎn)企業(yè)內(nèi)有m條固定生產(chǎn)線，每輛貨車甘蔗的加工時(shí)間平均為t小時(shí)。因?yàn)槭湛澈蟮母收嵴崽欠值膿p失不僅僅與運(yùn)送時(shí)間有關(guān)，還受所處的環(huán)境溫度、濕度等因素影響，此生產(chǎn)計(jì)劃建模過(guò)程暫且不考慮環(huán)境溫度、濕度等因素影響。在每輛貨車甘蔗的屬性表1中，鑒于甘蔗的最大剩余時(shí)間為8 h，設(shè)定最早加工時(shí)間為0，這樣可將整個(gè)加工時(shí)段分割成4 個(gè)時(shí)段1～2、3～4、5～6、7～8，即每2 h 為一個(gè)時(shí)段，分別稱為時(shí)段1、時(shí)段2、時(shí)段3、時(shí)段4。

設(shè)0-1變量xij表示第i輛貨車是否在第j個(gè)時(shí)段上加工（i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，4），即xij=1 表示第i輛貨車開(kāi)始在j個(gè)時(shí)段加工，xij=0 表示其他情況；第i輛貨車的剩余時(shí)間為bi，損失率為pi，則目標(biāo)函數(shù)是使總的甘蔗損失降到最低，總的甘蔗損失可表示為minZ=，約束條件如下：

(1)每輛貨車必須編制在4個(gè)時(shí)段至少1次且僅1次的限制：=1。

(2)m條固定生產(chǎn)線，每個(gè)時(shí)段最多只能同時(shí)允許m輛貨車加工，可表述為≤m。

(3)每車甘蔗平均加工時(shí)間為t小時(shí)，甘蔗必須在質(zhì)量壽命結(jié)束之前完成加工的限制，即≤bi。

所以生產(chǎn)計(jì)劃模型描述如下：

3 模型分析與算例

模型分析：除了約束條件(2)、(3)是線性約束（分別為等式約束與不等式約束）外，另兩個(gè)約束條件(4)、(5)則為非線性約束（分別是不等式約束與等式約束），因?yàn)榘凑涨蠼夥蔷€性0-1 二次規(guī)劃問(wèn)題的NCP 函數(shù)法思想[9]，可將0-1變量等價(jià)轉(zhuǎn)化為非線性不等式與等式約束，即：

目標(biāo)函數(shù)為非線性二次函數(shù)，這是0-1 二次規(guī)劃模型[10]，于是應(yīng)用非線性凸二次規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)算法[11-12]來(lái)求解，可在運(yùn)籌學(xué)軟件包如Matlab[13]中編程或Excel加載宏規(guī)劃求解中實(shí)現(xiàn)[14]。選擇Excel加載宏規(guī)劃求解的計(jì)算平臺(tái)，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)與約束條件的相應(yīng)參數(shù)后，得到的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

最優(yōu)方案生產(chǎn)計(jì)劃表明（表2）：編號(hào)為4、5、6、13的貨車在時(shí)間片段1加工；編號(hào)為3、10、12、14的貨車在時(shí)間片段2 加工；編號(hào)為2、9、11、15 的貨車在時(shí)間片段3 加工；編號(hào)為1、7、8 的貨車在時(shí)間片段4 加工，甘蔗最小損失量是2 440 kg，而且還發(fā)現(xiàn)編制生產(chǎn)計(jì)劃的一條優(yōu)先原則：損失率越高、剩余時(shí)間越短的貨車，就越優(yōu)先安排生產(chǎn)；損失率越低、剩余時(shí)間越長(zhǎng)的貨車，就越往后安排生產(chǎn)。

表2 甘蔗企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的最優(yōu)方案Table 2 The optimal plan of production planning for sugarcane enterprises

4 結(jié)論

本文簡(jiǎn)要地概括了如何降低我國(guó)甘蔗種植生產(chǎn)成本問(wèn)題存在的兩大研究方向，針對(duì)我國(guó)南方甘蔗企業(yè)生產(chǎn)加工中普遍存在的蔗糖損失消耗問(wèn)題，在暫不考慮環(huán)境溫度和濕度等因素的影響下，研究了如何有效地降低損失率，建立了帶損失率約束的生產(chǎn)計(jì)劃非線性0-1 二次規(guī)劃模型，并對(duì)模型的特點(diǎn)進(jìn)行了必要的分析，應(yīng)用求解二次規(guī)劃模型的內(nèi)點(diǎn)算法，計(jì)算得到最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃執(zhí)行方案，算例結(jié)果還表明，編制甘蔗企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃存在著一個(gè)優(yōu)先原則：損失率越高且剩余時(shí)間越短的貨車，就越優(yōu)先安排生產(chǎn)；損失率越低且剩余時(shí)間越長(zhǎng)的貨車，就越往后安排生產(chǎn)。文中建立的甘蔗企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的非線性整數(shù)二次規(guī)劃模型以及相應(yīng)的內(nèi)點(diǎn)求解算法在解決甘蔗企業(yè)生產(chǎn)中具有一定程度的人工智能意義。