美的數(shù)學(xué)方程式

范薈

美與數(shù)學(xué)似乎是兩個(gè)截然不同的領(lǐng)域，美常常與感性、意識(shí)等詞語(yǔ)相關(guān)聯(lián)，而數(shù)學(xué)則是追求理性的終極模型。“人們認(rèn)識(shí)美、探索美的秘密是一個(gè)極為古老的課題?！痹谔剿鬟@個(gè)秘密的過(guò)程中，古代的智者們發(fā)現(xiàn)美竟然與數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系，甚至有一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)定律與大自然和藝術(shù)作品中的許多美的形式完全契合。這個(gè)數(shù)學(xué)定律就是“黃金分割率”，它是許多美的形式的數(shù)學(xué)模型，是美學(xué)與科學(xué)的奇妙共舞。

在遙遠(yuǎn)的古希臘，有一位著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家叫畢達(dá)哥拉斯。相傳有一天他走在街上，聽(tīng)到有節(jié)奏的“叮叮當(dāng)當(dāng)”的聲音，發(fā)現(xiàn)是鐵匠打鐵時(shí)發(fā)出的有規(guī)律的、悅耳的敲擊聲，于是他停下腳步，駐足傾聽(tīng)。伴隨著鐵錘的敲擊，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)敲擊聲與間隔產(chǎn)生的規(guī)律性的節(jié)奏恰好形成一個(gè)比例，并且可以用數(shù)學(xué)方程表達(dá)出來(lái)。后來(lái)，數(shù)學(xué)家歐幾里得等人進(jìn)一步闡述了這一數(shù)學(xué)概念。而這個(gè)比例有著許多奇妙的性質(zhì)，它不僅深受數(shù)學(xué)家的癡迷，被運(yùn)用于數(shù)學(xué)研究，還被藝術(shù)家所推崇，常運(yùn)用于建筑、繪畫(huà)、書(shū)法、音樂(lè)之中。這個(gè)比例被稱(chēng)為“黃金比例”或是“神圣比例”。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，黃金比例就是將一條線段分為兩部分，其中較短部分與較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度之比等于較長(zhǎng)部分與整體長(zhǎng)度之比。如上圖所示，如果將黃金分割率簡(jiǎn)化成數(shù)學(xué)比例關(guān)系，就是B C∶A B = A B∶AC，比值約為0.618。將這個(gè)比例關(guān)系延伸出來(lái)，還有許多有趣的數(shù)學(xué)關(guān)系，比如說(shuō)神奇而迷人的斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)“黃金分割數(shù)列”。

數(shù)列可以簡(jiǎn)單理解為前后有規(guī)律的一組數(shù)排成的隊(duì)列。我們所說(shuō)的斐波那契數(shù)列從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)字都等于它前面兩個(gè)數(shù)字之和。如果將這個(gè)數(shù)列用圖形表現(xiàn)出來(lái)，那么神奇的事情就發(fā)生了，它形成了一個(gè)弧度優(yōu)雅而美麗的螺旋線。看到這個(gè)螺旋的弧線，你會(huì)聯(lián)想到什么呢？是浩瀚大海中螺旋形的貝殼，還是浩渺宇宙中的螺旋星系？其實(shí)，大自然中還蘊(yùn)藏著無(wú)窮無(wú)盡的黃金比例。它可能蘊(yùn)含在一朵花的乾坤之內(nèi)，也可能彰顯在一棵樹(shù)的枝葉之上，還有可能潛藏在一幅颶風(fēng)圖的奧秘之中。

黃金分割雖然是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系，但是它卻能產(chǎn)生和諧感與韻律感，其中蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，被古今中外的藝術(shù)家不斷運(yùn)用于藝術(shù)創(chuàng)作之中。在這些與黃金比例相關(guān)的藝術(shù)作品中，有一些可以直接通過(guò)作品體現(xiàn)出比例之美，或是藝術(shù)家明確指出自己作品與黃金分割的關(guān)系，還有一些作品則似乎是在無(wú)意中與黃金比例產(chǎn)生了微妙的聯(lián)系。

最早運(yùn)用黃金比例的是古希臘時(shí)期的建筑。例如古希臘的帕特農(nóng)神廟，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，廟身的高與寬的比非常接近黃金比例，其上部裝飾部分的高度與下側(cè)柱子的高度的比也約等于0.618。帕特農(nóng)神廟代表了古希臘建筑藝術(shù)的最高水平，可謂是古代建筑的典范之作。古羅馬時(shí)期的建筑大師維特魯威曾在他的著作《建筑十書(shū)》中充分強(qiáng)調(diào)了黃金比例在建筑設(shè)計(jì)中的重要性。

維特魯威運(yùn)用黃金比例建立了立柱、房間和整座建筑物的比例標(biāo)準(zhǔn)。雖然他傾盡心力研究建筑中的黃金比例，但是并不推崇千篇一律的設(shè)計(jì)，他贊成建筑師在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該有自己的變化。維特魯威不僅對(duì)建筑的黃金比例進(jìn)行了深入闡述，還引申出對(duì)人體比例的詳細(xì)論述。他強(qiáng)調(diào)：“實(shí)際上，沒(méi)有均衡或比例，就不可能有任何神廟的位置。即與姿態(tài)漂亮的人體相似，要有正確分配的肢體。”維特魯威在書(shū)中還對(duì)手、肘等身體各個(gè)部位與軀干的比例關(guān)系一一作出闡述，這對(duì)后世對(duì)于人體與建筑藝術(shù)的研究影響極為深遠(yuǎn)。

大約1 5 0 0年后，在維特魯威的啟迪下，著名畫(huà)家達(dá)·芬奇用鋼筆和墨水繪制了素描手稿《維特魯威人》。這份紙質(zhì)手稿雖然尺幅較小，但它的珍貴不言而喻。從作品的名字中就可以看出達(dá)·芬奇受到維特魯威對(duì)人體比例的研究的影響。畫(huà)面是一個(gè)比例優(yōu)美、肌肉結(jié)實(shí)的男子，身體分別擺出“十”字形和“火”字形兩種姿勢(shì)，兩種姿勢(shì)頭部重疊，以頭和四肢為端點(diǎn)，分別可以畫(huà)出一個(gè)正方形和圓形。手稿上下各有一段文字。神奇的是，從這幅小小的手稿中，可以發(fā)現(xiàn)許多人體與數(shù)學(xué)的奧秘。

例如，雙腳并攏、雙臂水平伸出的呈“十”字形的姿勢(shì)恰好詮釋了一句話(huà)：“人伸開(kāi)的手臂的寬度等于他的身高?！倍?huà)中男子兩臂微微傾斜上舉，兩腿叉開(kāi)，呈“火”字形的姿勢(shì)外接一個(gè)圓形，而圓心就是人的肚臍。如果細(xì)細(xì)分析《維特魯威人》，其中包含的比例關(guān)系十分豐富，甚至男子面部的比例都是均衡的三等分。

2 0世紀(jì)最著名的建筑大師、現(xiàn)代主義建筑的主要倡導(dǎo)者勒·柯布西耶的著作《模度》是對(duì)人體尺度和自然之間的數(shù)學(xué)關(guān)系的研究成果。這也是對(duì)維特魯威、達(dá)·芬奇關(guān)于人體和建筑比例關(guān)系的進(jìn)一步發(fā)展。

關(guān)于黃金比例的運(yùn)用頻頻出現(xiàn)在知名建筑物的結(jié)構(gòu)以及世界名畫(huà)構(gòu)圖之中。例如埃及金字塔、巴黎圣母院、埃菲爾鐵塔，例如《最后的晚餐》《蒙娜麗莎》《戴珍珠耳環(huán)的少女》《圣保羅的皈依》等都暗含著黃金比例。

無(wú)獨(dú)有偶，我國(guó)當(dāng)代書(shū)法家啟功在書(shū)法結(jié)字中也運(yùn)用到了黃金分割，他提出：“楷書(shū)又叫真書(shū)，結(jié)字有個(gè)規(guī)律，規(guī)律就是合乎黃金分割即黃金率，這是我偶然發(fā)現(xiàn)的?！眴⒐υ谧约旱臅?shū)法中也切身實(shí)踐著他的黃金結(jié)字律的理論。他對(duì)于書(shū)法字形結(jié)構(gòu)的黃金比例實(shí)際上是將正方形進(jìn)行黃金分割，按照0 . 3 2 8∶0 . 6 1 8的比例畫(huà)線，最終四條線交匯就形成四個(gè)黃金分割點(diǎn)。啟功認(rèn)為，當(dāng)楷書(shū)的字的重心在這四個(gè)點(diǎn)上時(shí)，字形最為美觀。

黃金分割不僅被運(yùn)用于建筑、繪畫(huà)、書(shū)法之中，它甚至還啟發(fā)著音樂(lè)家創(chuàng)作出美妙動(dòng)人的樂(lè)曲。有人曾統(tǒng)計(jì)過(guò)莫扎特的各種鋼琴協(xié)奏曲，發(fā)現(xiàn)其中的許多段落都與黃金比例相符合。例如，莫扎特《安魂曲》的第一段中，第一部分有3 8次節(jié)拍，第二部分有6 2次節(jié)拍，二者的比值約為0.618?，F(xiàn)在我們無(wú)法求證莫扎特對(duì)音樂(lè)節(jié)拍與黃金分割的關(guān)系是否有意為之，但是他的鋼琴曲悅耳動(dòng)聽(tīng)、令人陶醉卻是不爭(zhēng)的事實(shí)。

在眾多美術(shù)、音樂(lè)作品中我們都能發(fā)現(xiàn)黃金比例的身影。難道它就是美的終極規(guī)律嗎？黃金比例具有均勻、協(xié)調(diào)等特性，符合人的審美心理，而它恰巧又可以與數(shù)學(xué)完美契合，因而對(duì)美的形式和審美規(guī)律有一定的意義。但我們還要明白，美是千變?nèi)f化的，美的形式是多種多樣的，縱使有一定的規(guī)律可循，其規(guī)律也并不僅僅是黃金分割一種。在我國(guó)傳統(tǒng)繪畫(huà)理論中就有“丈山尺樹(shù)，寸馬分人”的比例關(guān)系，書(shū)法中也有利用“九宮格”“米字格”等來(lái)分析字形結(jié)構(gòu)的……

藝術(shù)的形式多種多樣，關(guān)于美的奧秘又何止是一種規(guī)律能概括所有呢？“路漫漫其修遠(yuǎn)兮”，在前人探索美的奧秘后，仍然需要后來(lái)人對(duì)美的本質(zhì)進(jìn)行更深層的挖掘和探索。C07FE95F-CF58-4D75-ADC1-B718617454A0