推理有難度 支架來(lái)相助

羅永軍 鮑雯華

【摘? ?要】在“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)中對(duì)于圓周率的推導(dǎo)，多數(shù)教材都保留了基于測(cè)量操作的歸納推理，而對(duì)利用圖形關(guān)系進(jìn)行的演繹推理則采取了謹(jǐn)慎的態(tài)度，或繞過(guò)，或淡化處理。針對(duì)這一做法，教師可嘗試設(shè)置合適的教學(xué)支架，讓學(xué)生自主探索“圓周率”，在比較了圖式、文字說(shuō)明、實(shí)物操作等教學(xué)支架的作用后，發(fā)現(xiàn)實(shí)物操作能極大地幫助學(xué)生明晰圖形關(guān)系，從而完成推理過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察學(xué)生活動(dòng)，提出了實(shí)物操作的相關(guān)特點(diǎn)，探討高效課堂教學(xué)的方法，為廣大教師、教材編者和專(zhuān)家學(xué)者提供一個(gè)實(shí)踐樣例。

【關(guān)鍵詞】演繹推理;教學(xué)支架;實(shí)物操作

“我不敢保證結(jié)果對(duì)不對(duì)”，在“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)中，一位學(xué)生匯報(bào)完“圓的周長(zhǎng)是直徑的3倍多一點(diǎn)”之后，小心翼翼地補(bǔ)充說(shuō)明。他的發(fā)言得到了很多同學(xué)的認(rèn)同：“因?yàn)榱康臅r(shí)候會(huì)有誤差?！睂W(xué)生為什么會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生疑問(wèn)呢？圖形中的數(shù)量關(guān)系不是一個(gè)整數(shù)，這對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是第一次遇到，因此有疑問(wèn)也很自然。是不是因?yàn)闇y(cè)量有誤差，所以這個(gè)倍數(shù)才出現(xiàn)了小數(shù)？會(huì)不會(huì)有一些圓，周長(zhǎng)正好就是其直徑的3倍或4倍呢？

疑問(wèn)很自然，回應(yīng)有點(diǎn)難。因?yàn)椴还芪覀內(nèi)绾翁岣邷y(cè)量精度，也只能測(cè)量出某一個(gè)具體圓的相關(guān)數(shù)據(jù)，無(wú)法得到一般性的結(jié)論。測(cè)量可以發(fā)現(xiàn)事實(shí)，但要形成普遍規(guī)律，還需要“推理”來(lái)證實(shí)。小學(xué)生能完成這個(gè)推理過(guò)程嗎？如果不能獨(dú)立完成，教師該如何設(shè)置教學(xué)支架為學(xué)生助力呢？

一、數(shù)學(xué)分析

用小學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)知識(shí)可以推理出圓周率在3～4之間，確實(shí)是一個(gè)小數(shù)。

首先，圓周率一定大于3。如圖1所示，我們可以在圓內(nèi)構(gòu)建一個(gè)正多邊形，圓內(nèi)接正多邊形。由于每?jī)牲c(diǎn)之間的弧長(zhǎng)大于邊長(zhǎng)（兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短），如[AB]>[AB]，得出圓周長(zhǎng)大于正多邊形周長(zhǎng)的結(jié)論。當(dāng)圓內(nèi)接一個(gè)正六邊形時(shí)，如果把頂點(diǎn)連接圓心，就構(gòu)成了6個(gè)等邊三角形。因?yàn)槿切蔚倪呴L(zhǎng)是圓的半徑r，也即正六邊形的邊長(zhǎng)，所以正六邊形的周長(zhǎng)是6r，即3d，由此可得出圓周長(zhǎng)大于3d的結(jié)論。

其次，圓周率一定小于4。如圖2所示，我們可以在圓外構(gòu)建外切正多邊形，此時(shí)，相鄰兩切點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)小于折線(xiàn)長(zhǎng)，即多邊形的邊長(zhǎng)（如果相等，那么弧與折線(xiàn)將會(huì)重合），如[AB]<[AA']+[A'B]。因此，圓的周長(zhǎng)小于外切正多邊形周長(zhǎng)。當(dāng)圓外切正方形時(shí)，正方形邊長(zhǎng)與圓的直徑相等，可得周長(zhǎng)是4d，即圓周長(zhǎng)小于外切正方形周長(zhǎng)4d。

因此，圓的周長(zhǎng)一定大于其直徑的3倍且小于其直徑的4倍，即圓周長(zhǎng)與其直徑的比值在3～4之間，是個(gè)小數(shù)。從上面的分析可以看出，證實(shí)圓周率是一個(gè)小數(shù)的關(guān)鍵是需要構(gòu)建一個(gè)圓外切正四邊形和一個(gè)圓內(nèi)接正六邊形。要想到這一步，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，教材給出了什么教學(xué)線(xiàn)索呢？

二、教材分析

在小學(xué)，圓周率的學(xué)習(xí)要求是“通過(guò)操作，了解圓的周長(zhǎng)與直徑的比為定值”[1]。教材是如何體現(xiàn)的呢？我們查閱了人教版、北師大版、蘇教版、浙教版和香港現(xiàn)代版等教材，發(fā)現(xiàn)教材給出的教學(xué)步驟大致有這樣幾點(diǎn)：①猜測(cè)圓周長(zhǎng)與其直徑長(zhǎng)短有關(guān);②測(cè)量圓周長(zhǎng)及其直徑，發(fā)現(xiàn)圓周長(zhǎng)與其直徑的比值（圓周率）是3倍多;③用幾何關(guān)系推理出圓周率在3～4之間，不是整倍數(shù);④了解數(shù)學(xué)史，知道圓周率是一個(gè)定值。對(duì)于以上過(guò)程，雖然不同的教材有不同的取舍，但步驟①②④，各套教材都有呈現(xiàn)，差異主要體現(xiàn)在第③步上，具體情況見(jiàn)表1。

從表1可以看出，上述教材的差異集中體現(xiàn)在“推理發(fā)現(xiàn)”的處理上。有的教材選擇繞過(guò)這個(gè)難點(diǎn)，如人教版、浙教版教材在“操作”之后直接介紹了圓周率及其相關(guān)歷史，給出結(jié)論：“其實(shí)，早就有人研究了周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫作圓周率，用字母[π]表示……”有的提供了圓內(nèi)接正六邊形或圓外切正方形供學(xué)生推理分析，如北師大版、蘇教版和香港現(xiàn)代版等教材（如圖3～5）。不過(guò)，這3個(gè)版本教材的相關(guān)內(nèi)容在編排的順序呈現(xiàn)上不盡相同，北師大版教材放在課后練習(xí)中;蘇教版教材放在操作活動(dòng)前讓學(xué)生根據(jù)圖式對(duì)圓周率作估計(jì);香港現(xiàn)代版教材則放在探索活動(dòng)中，希望教師能如此講解給學(xué)生聽(tīng)。

這個(gè)推理分析過(guò)程是否有必要呢？我們知道，用測(cè)量操作的方法雖然簡(jiǎn)單易行，但是受測(cè)量工具和測(cè)量方法所限，無(wú)法得到精確的測(cè)量結(jié)果。何況就算我們有辦法得到精確的結(jié)果，也無(wú)法對(duì)所有的圓一一進(jìn)行測(cè)量。因此，終究難以回答諸如“圓周率到底是不是一個(gè)固定的小數(shù)”“為什么圓周率在3～4之間，一定不是整數(shù)”等疑惑。要回答這樣的問(wèn)題，就必須跳出測(cè)量的局限，利用圖形關(guān)系來(lái)進(jìn)行推理分析。更重要的是，邏輯推理作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生走向未來(lái)的關(guān)鍵能力。在操作階段，學(xué)生已經(jīng)用“數(shù)學(xué)的眼光”發(fā)現(xiàn)了一些值得關(guān)注的事實(shí)，形成了一些結(jié)論，這就是歸納推理。如果能讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)從個(gè)例發(fā)現(xiàn)到規(guī)律證實(shí)的演繹推理過(guò)程，那么“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”等能力將得到充分的培養(yǎng)。因此，這個(gè)推理分析過(guò)程值得讓學(xué)生來(lái)體驗(yàn)。不過(guò)，這個(gè)過(guò)程小學(xué)生能否自主探究出來(lái)呢？

三、學(xué)生分析

“圓的周長(zhǎng)”這一內(nèi)容放在小學(xué)高年級(jí)學(xué)習(xí)，這個(gè)年齡段的學(xué)生正處于“形式運(yùn)算階段”的開(kāi)始，他們是否具備這樣的能力呢？為此，我們隨機(jī)選取了杭州市上城區(qū)某學(xué)校六年級(jí)一個(gè)班35名學(xué)生作為樣本，做了前測(cè)與調(diào)查。前測(cè)結(jié)果如圖6所示。

前測(cè)分兩部分，我們分別調(diào)查了學(xué)生了解圓周率的前概念水平和利用圖形關(guān)系推理圓周率的情況。從前測(cè)結(jié)果看，圓周率的前概念水平有3個(gè)層次：①?zèng)]聽(tīng)說(shuō)過(guò)圓周率;②聽(tīng)說(shuō)過(guò)圓周率（約）是3.14，但不知道具體含義;③知道圓周率的含義以及得到的過(guò)程。根據(jù)這3個(gè)層次我們打算在教學(xué)中分別提供A、B、C三種學(xué)習(xí)單以適當(dāng)助力。

從調(diào)查中可以看出，雖然有學(xué)生知道可以用測(cè)量的方法來(lái)研究圓周率，但沒(méi)有人想到用圖形關(guān)系來(lái)研究。那么，如果直接給出圓與多邊形關(guān)系的圖式，學(xué)生能否自行推理呢？因此在前測(cè)的第二部分，我們給出了圓與外切正方形和內(nèi)接正六邊形的圖式。即便如此，也只有14.1%的學(xué)生能利用圖形關(guān)系來(lái)推理。看來(lái)，就算是給出關(guān)系圖，多數(shù)學(xué)生也較難完成推理。

但會(huì)不會(huì)存在另一種可能？也就是因?yàn)檫@兩個(gè)關(guān)系圖并不是學(xué)生自主構(gòu)建出來(lái)的，沒(méi)有形成學(xué)生的思維起點(diǎn)，所以學(xué)生反而不知其所用，不明白為什么要在圓外畫(huà)一個(gè)正方形、在圓內(nèi)放一個(gè)正六邊形。如果讓學(xué)生自主構(gòu)建這兩個(gè)圖形，完成率會(huì)不會(huì)有變化呢？

四、教學(xué)分析

（一）設(shè)計(jì)教學(xué)

根據(jù)上述分析與猜想，我們?cè)诮虒W(xué)中運(yùn)用過(guò)程變式[2]的設(shè)計(jì)，分類(lèi)分層推進(jìn)。特別設(shè)計(jì)了教學(xué)支架讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)圓與正多邊形的關(guān)系這一關(guān)鍵點(diǎn)。本設(shè)計(jì)具體教學(xué)路徑如圖7所示。

（二）教學(xué)實(shí)施

（1）呈現(xiàn)大小不同的3個(gè)圓，感知圓周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系。

（2）探究圓周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)關(guān)系。根據(jù)前測(cè)結(jié)果，分組探究，給A組提供較為詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)步驟，B組只提供實(shí)驗(yàn)器材和記錄單，C組則進(jìn)行推理探究，C組學(xué)習(xí)單如圖8所示。

（3）A組和B組操作后匯報(bào)結(jié)果，C組不參加交流，開(kāi)始自行書(shū)寫(xiě)推理過(guò)程。

匯報(bào)中引出疑問(wèn)：周長(zhǎng)一定大于直徑的3倍？真的不會(huì)達(dá)到直徑的4倍？A組和B組開(kāi)始推理探究，C組結(jié)束推理過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，開(kāi)始獨(dú)立練習(xí)。

（4）A、B、C三個(gè)組在推理探究時(shí)給出的支架和時(shí)間都相同。

支架1——圖式（見(jiàn)C組學(xué)習(xí)單）：直徑10厘米的圓。（3分鐘后如果學(xué)生還沒(méi)解決，給出支架2）

支架2——文字：如果圖形的周長(zhǎng)是直徑的4倍，那么這可能是什么圖形？（3分鐘后，如果學(xué)生還沒(méi)解決，給出支架3）

支架3——實(shí)物：8根與直徑等長(zhǎng)的小棒、8根與半徑等長(zhǎng)的小棒（探究時(shí)間3分鐘）。

（5）A組、B組結(jié)束探究，C組也暫停練習(xí)，全班開(kāi)始交流匯報(bào)，并進(jìn)行總結(jié)。

（三）結(jié)果與分析

提供不同支架后，全班學(xué)生推理探究的情況如表2所示。

從表2可以看出，有了不同支架的助力后，100%的學(xué)生能自主構(gòu)建圓外切正方形來(lái)解釋?duì)?lt;4，約60%的學(xué)生能自主構(gòu)建圓內(nèi)接正六邊形來(lái)解釋?duì)?gt;3。

使用不同支架時(shí)，A、B、C各組的完成率如圖9、圖10所示。

從圖中可以看出，圖式和文字這兩種教學(xué)支架對(duì)于較為簡(jiǎn)單的推理問(wèn)題（π<4）有一定的作用，其中C組同學(xué)只要有文字提示即可，100%能完成;A、B兩組同學(xué)的完成率不高，分別是11%和40%;對(duì)于較為復(fù)雜的推理問(wèn)題（π>3），僅有C組中16.7%的人能完成?？磥?lái)，僅有圖式和文字還不夠。提供實(shí)物操作后，學(xué)生的推理水平明顯提升，能夠自主構(gòu)建圓外切正方形這個(gè)關(guān)鍵圖形（推理π<4）的人數(shù)直線(xiàn)上升：A組完成率從11%猛增到了89%，B組剩余的60%的同學(xué)也全部能完成;在自主構(gòu)建圓內(nèi)接正六邊形（推理π>3）時(shí)，B組同學(xué)的完成率從0%增加到80%，C組剩余的83%的同學(xué)也全部完成?？磥?lái)，實(shí)物操作的助力作用非常明顯。

實(shí)物操作在解決問(wèn)題特別是較難問(wèn)題時(shí)，為什么會(huì)對(duì)學(xué)生有如此大的幫助呢？

在觀察學(xué)生推理（[π]>3）時(shí)，有一個(gè)現(xiàn)象引起了我們的注意：在提供圖式和文字支架后，不少學(xué)生先畫(huà)出了這樣的圖（圖11），然后據(jù)此推理：因?yàn)閳A周長(zhǎng)大于三角形周長(zhǎng)，而三角形周長(zhǎng)等于3d，所以C圓>3d。顯然，學(xué)生是把弦長(zhǎng)當(dāng)作直徑了。等實(shí)物到手后，學(xué)生動(dòng)手一擺馬上發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題所在（圖12）。在繼續(xù)擺放中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其實(shí)在圓內(nèi)無(wú)法用直徑小棒來(lái)搭建多邊形的，于是換用半徑小棒，沿著圓周擺放，發(fā)現(xiàn)正好可以擺6根，擺成了正六邊形。進(jìn)而想到用等邊三角形來(lái)分析（圖13）。

通過(guò)觀察學(xué)生的活動(dòng)，我們注意到實(shí)物操作與圖式和文字提示相比具有以下特點(diǎn)：①操作方便。學(xué)生可以快速不斷地嘗試;②反饋及時(shí)。嘗試的結(jié)果對(duì)不對(duì)，是繼續(xù)往下做還是換一種方法，學(xué)生需要從嘗試的結(jié)果來(lái)進(jìn)行調(diào)控，因此反饋的快速及時(shí)對(duì)于探究活動(dòng)來(lái)講尤顯重要。相比之下，文字或圖式的主要功能是傳遞信息，但信息本身只是一個(gè)線(xiàn)索，對(duì)不同的人的啟發(fā)程度不一樣，而且難以持續(xù)互動(dòng)與跟進(jìn)反饋，因此對(duì)于認(rèn)知能力特別是閱讀與理解能力較高的學(xué)生來(lái)講可以“一語(yǔ)道破”，而對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)講效果沒(méi)那么明顯。實(shí)物操作時(shí)，每一次嘗試可以很快得到反饋，擺放是否正確不需要等待教師來(lái)評(píng)判，學(xué)生可以立即判斷從而調(diào)整自己的行為;③具身認(rèn)知。實(shí)物操作以“動(dòng)手做”為主，形成了觸覺(jué)、視覺(jué)等多感官協(xié)同的具身認(rèn)知。近代腦科學(xué)研究表明，認(rèn)知對(duì)于身體及感覺(jué)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)有不可分割的依賴(lài)性，身體在認(rèn)知過(guò)程中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。觸覺(jué)作為人類(lèi)最早發(fā)展的感覺(jué)，是獲取信息和操控環(huán)境的重要通道，對(duì)認(rèn)知判斷起著重要的影響。[3]觸覺(jué)與視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)等多種感覺(jué)協(xié)同認(rèn)知，會(huì)讓大腦區(qū)域之間的神經(jīng)連接更加活躍，從而使人的思維更靈活。觸覺(jué)還會(huì)帶來(lái)豐沛的情感，契合兒童好動(dòng)的天性，因此，在教學(xué)中設(shè)置實(shí)物操作的支架有利于小學(xué)生主動(dòng)探究、積極思考。

包括“實(shí)物操作”在內(nèi)的各種教學(xué)支架在數(shù)學(xué)教學(xué)中已被廣泛應(yīng)用，憑經(jīng)驗(yàn)我們知道有用，但是究竟會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生多大的助力作用？這些支架又是如何影響學(xué)生從而產(chǎn)生助力作用的？這些問(wèn)題長(zhǎng)久以來(lái)都比較模糊，影響了我們有效教學(xué)。本文所呈現(xiàn)的這方面的探索僅僅是提供了一個(gè)案例，意在拋磚引玉，希望得到更多一線(xiàn)教師、專(zhuān)家學(xué)者的關(guān)注、指導(dǎo)，從而使教學(xué)從經(jīng)驗(yàn)走向科學(xué)，更好地助力學(xué)生的發(fā)展。

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（浙江省杭州市勝利山南小學(xué)? ?310005）