探討圓弧導(dǎo)線電勢(shì)的計(jì)算

王悅 劉宇 吳志豪 李南 王嵐 何碧蕓 方碧綠 梁靖琪 古俊 胡新春

（銅陵學(xué)院 安徽銅陵 244000）

靜電場(chǎng)中，能夠反映其本質(zhì)的物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，因而，電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算和電勢(shì)的計(jì)算成了研究靜電場(chǎng)特性和教師教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)［1-3］。靜電場(chǎng)中，帶電體的電勢(shì)計(jì)算可以分成兩大類，即電勢(shì)疊加法和電勢(shì)定義法。有限帶電體電勢(shì)的計(jì)算方法很多［4-6］。

1 電勢(shì)計(jì)算舉例

以一段圓弧均勻帶電體為例，用不同方法進(jìn)行求解。如圖1所示，一個(gè)半徑為R的均勻帶電圓弧，圓心角為α，x軸平分α角，電荷線密度為λ，求弧心處的電勢(shì)V。

圖1 一段圓弧均勻帶電導(dǎo)線模型

2 用電勢(shì)疊加原理

2.1 疊加法

電勢(shì)疊加原理是利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)求解任意帶電體在空間產(chǎn)生的總電勢(shì)。取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)電荷q在r處產(chǎn)生的電勢(shì)為：

具體計(jì)算時(shí)，可以用式（1）求出電荷元產(chǎn)生的電勢(shì)，再用疊加法求解總電勢(shì)。

疊加法是由點(diǎn)電荷電勢(shì)作為微元，通過(guò)積分，算出圓弧整體的電勢(shì)。

對(duì)有限大的帶電體取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)電荷q在距離點(diǎn)電荷為R處的電勢(shì)可以寫(xiě)成下式：

如圖2所示，電荷元dq在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：

圖2 取電荷元分析

則積分整個(gè)圓弧可以得到弧心處電勢(shì)為：

2.2 挖補(bǔ)法

挖補(bǔ)法是由點(diǎn)電荷電勢(shì)作為微元，通過(guò)積分，算出一個(gè)整圓電勢(shì)，再求出圓弧的電勢(shì)。

如圖3所示，電荷元dq在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：

圖3 挖補(bǔ)法求解圖

那么，一個(gè)完整個(gè)圓環(huán)帶電體O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)：

由角度為α?xí)r占整個(gè)圓的比例為α/2π，所以，圓弧在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：

此結(jié)論與式（4）結(jié)果一致。

上述兩種方法實(shí)質(zhì)上都是采用電勢(shì)的疊加原理，只是一種是先整體再局部，一種是從局部直接出發(fā)積分計(jì)算，其難易程度相當(dāng)。

3 用場(chǎng)強(qiáng)積分方法

3.1 電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

由于靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)大小等于單位正電荷置于該點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能，也等于單位正電荷，從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功出發(fā)，若試驗(yàn)電荷的電量為q0，根據(jù)電勢(shì)的定義，a點(diǎn)處的電勢(shì)Va等于電勢(shì)能Wa與電量q0的比，即：

式（8）是電勢(shì)的定義式，電勢(shì)也叫電位。

由式（9）可見(jiàn)，電勢(shì)可以通過(guò)電場(chǎng)強(qiáng)度積分路徑求出。

電勢(shì)是相對(duì)的，是標(biāo)量，其大小與參考點(diǎn)的選取有關(guān)，原則上電勢(shì)為零的參考點(diǎn)可以任意選取，但是，為了研究方便，一般對(duì)電荷分布為有限空間時(shí)，零參考點(diǎn)取在無(wú)窮遠(yuǎn)處。對(duì)于現(xiàn)在分析的一段圓弧，選取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，先算出空間從O點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)的電場(chǎng)，再通過(guò)電場(chǎng)強(qiáng)度大小積分算出O點(diǎn)電勢(shì)。

3.2 場(chǎng)強(qiáng)積分法

如圖4所示，取x軸上任意一點(diǎn)P作為研究位置，dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：

圖4 場(chǎng)強(qiáng)積分法求解

由圖中的幾何關(guān)系可得：

所以有：

而總場(chǎng)為兩倍x方向分量電場(chǎng)大小，從而得到總場(chǎng)的微分表達(dá)式為：

進(jìn)而可以積分得到電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：

當(dāng)x?R時(shí)，r=x+R，可得：

方向?yàn)閤軸正方向。

4 結(jié)語(yǔ)

很容易看出式（4）、式（7）、式（16）的結(jié)論完全一致，可以用3 種不同計(jì)算方法求解同一個(gè)具體的物理問(wèn)題。通過(guò)分析，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于求解帶電體在空間激發(fā)電場(chǎng)產(chǎn)生的電勢(shì)，電勢(shì)疊加原理和電勢(shì)定義是通過(guò)電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分求解，兩種方法本質(zhì)上都能計(jì)算。但是，同一問(wèn)題往往難易程度相差很大，所以，計(jì)算不同帶電體的電勢(shì)要有針對(duì)性地選擇合適方法。對(duì)于幾何對(duì)稱性好的，可以用電勢(shì)疊加法，與場(chǎng)強(qiáng)積分方法相比在計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化很多；對(duì)于沒(méi)有對(duì)稱性的，就只能用場(chǎng)強(qiáng)積分計(jì)算。這種一題多解的講解方式能夠使學(xué)生對(duì)類似問(wèn)題了解得更清晰，能使學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)到電勢(shì)的計(jì)算過(guò)程，有利于提高學(xué)生用已學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。