風箏飛行的動力學分析和實際應用

于冰川，楊 薇

(沈陽師范大學，沈陽 110034)

本文為中國高等教育學會2020年“基于一流課程建設的”教學改革與實踐研究專項課題、中國教育學會2021年度規(guī)劃課題(編號202100150702B)、國家教育考試科研規(guī)劃2021年度重點課題(編號GJK2021004)階段性成果。

將放風箏分為兩個階段，即放飛、抬升和高空穩(wěn)定，進行抽象建模，利用動力學分析方程探究放飛過程的最優(yōu)方式、抬升和高空穩(wěn)定階段的穩(wěn)定原理，通過理論結(jié)果，定性分析市面上幾種風箏的平衡原理、優(yōu)勢與不足，為風箏的優(yōu)質(zhì)化生產(chǎn)提供建議。

1 風箏起飛的動力學分析與最優(yōu)放飛方式

在起飛階段，將迎風面抽象為一個平面，對其運動學受力進行如圖1方式的建模。

圖1 風箏在起飛階段的動力學受力模型Fig.1 Kinetic force model of a kite in take-off stage

其動力學方程如下：

Fx=Fwindcosθ-Ffcosθ-Fstringcosα

(1)

Fy=Fwindsinθ-Ffsinθ-Fstringsinα-mg

(2)

Ff=k·v2+Fflow≈k·v2

(3)

圖1中，Wind代表風向，其對于相對風向成θ，牽引線與風箏質(zhì)心所在豎直平面的張角為α，F(xiàn)wind是風力在垂直于風箏平面方向上的分力，F(xiàn)string是風箏的牽引線上張力。

其相對于風力方向的反方向，受到空氣的黏滯力Fflow與空氣阻力k·v2，黏滯力較小，可忽略不計，將阻力視為空氣阻力，其是與速度相關的函數(shù)。根據(jù)伯努利流體力學可推出風力計算公式(在此情形下，為求簡潔，根據(jù)標準狀態(tài)情況下的風壓計算公式進行計算，且風壓的小范圍波動相對于風速、重力等較小，對于結(jié)果的影響相對也較小)：

(4)

(5)

將(3)、(5)代入(2)中運算取開始放飛狀態(tài)時有：

(6)

為了使風箏以較大的加速度飛向天空，需要使Fy數(shù)值較大。根據(jù)式中變量分析，可以通過跑動、借助高速風流等方式獲取相對較大的風速v。通過控制引線，使風箏與水平風張角θ=45°。

此過程中，對牽引繩施加的力應適宜，若施力過大，會導致Fy減小或符號變?yōu)樨撝担钇痫w失?。蝗羰┝^小，在水平方向上：

(7)

使得其橫向加速度很大，在橫向上的運動位移大于豎直方向上的運動位移，令風箏與水平風張角θ迅速減小，從而(6)式中Fy減小，導致起飛失敗。利用“一收一放”，控制合適張角，使得風箏的動力學方程的解在豎直向上的加速度上最優(yōu)。此外，在初始狀態(tài)下，可以對風箏施加一個向上的外力，即把風箏“揚”起，突破開始起飛的困難。

風箏起飛時的物理原理和理論最優(yōu)放飛方式為：在起飛階段，利用牛頓運動力學將風力、重力和風箏牽引力作正交分解，通過其數(shù)學結(jié)果來判斷風箏的最佳起飛狀態(tài)。

2 風箏在抬升和高空靜止階段的穩(wěn)定平衡原理

一般認為，低空風速場不均勻，空氣不能看做定常流動的流體。風速的相對大小會給予風箏一個轉(zhuǎn)動力矩(圖2)，由力矩的計算公式得到：

圖2 風箏在非定常流動風速場下的受力模型(平旋)Fig.2 Stress model of kite under unsteady wind speed field (flat spin)

Mwind1=rwind1×(Fwind1-Fwind2)

(8)

Mwind2=rwind2×(Fwind2-Fwind1)

(9)

二者是等價的，在此情形下，各自均在數(shù)值大小為正時有意義，即在兩個相對風力大小不相等的情形下，風箏有旋轉(zhuǎn)的趨勢。這里Fwind1、Fwind2是抽象出來的風速場對風箏兩翼的作用力，其力矩則是相對質(zhì)心而言的。

由公式可知，在低空的風速場，風箏除了飛行狀態(tài)控制外，還需要通過改善自身結(jié)構，避免搖擺導致的風箏旋轉(zhuǎn)、飄動和跌落等行為。風箏結(jié)構中維持穩(wěn)定的結(jié)構給予質(zhì)心的力矩稱為“穩(wěn)定力矩”，其一般采用相對對稱的結(jié)構，從而不改變風箏質(zhì)心的位置，但是在風箏發(fā)生傾斜時，由于配重的二者相對質(zhì)心的力臂改變，導致力矩改變。以下為簡化“配重”型風箏模型及其在側(cè)旋狀態(tài)下的作用(圖3)。

圖3 連接配重風箏在姿態(tài)改變前后的受力模型(側(cè)旋)Fig.3 Stress model for connecting counterweight kite before and after attitude change(lateral spin)

平旋不會在豎直高度上對風箏姿態(tài)造成影響，配重主要是為了避免風箏的側(cè)旋。當風力使風箏側(cè)旋時，風箏的形態(tài)如圖3(b)所示。此時，兩個“配重”對質(zhì)心的作用效果發(fā)生改變，利用力矩公式：

M1=r1×F1

(10)

M2=r2×F2

(11)

(12)

在圖中位置，可根據(jù)矢量運算法則求得力矩數(shù)值大?。?/p>

(13)

由于“配重”材料的對稱性，其二者受到的重力滿足：

(14)

其作用效果表現(xiàn)為使風箏的姿態(tài)由側(cè)旋恢復圖3(a)的狀態(tài)。事實上，在偏轉(zhuǎn)后風箏的質(zhì)心位置有所改變，圖中的質(zhì)心應比圖示方向適當右偏，不過穩(wěn)定力矩的作用效果性質(zhì)類似。

由(13)可知，F(xiàn)越大，穩(wěn)定力矩的大小就越大，考慮到風力的大小有限，若“配重”過于沉重，會使風箏起飛困難。

在風箏抬升至高空后，由于細線的作用，(2)中重力有所增加，同時在高空中，風速場減弱，風力大小也減小。在一定的高度上，風箏在以一定的姿態(tài)處于較穩(wěn)定的平衡，即以下方程中滿足Fx=Fy=M=0。

Fx=Fwindcosθ-Ffcosθ-Fstringcosα

Fy=Fwindsinθ-Ffsinθ-Fstringsinα-mg

由此可以得到結(jié)論，通過“配重”裝飾風箏，不僅可以使風箏形態(tài)美觀，更可以作為穩(wěn)定力矩的作用者維持風箏在抬升和高空靜止階段的姿態(tài)穩(wěn)定、受力平衡。

3 常見風箏特性的定性分析和生產(chǎn)建議

風箏在較理想的模型基礎下有一個拱起的形變效果，以增加穩(wěn)定性，但由于大多數(shù)風箏基本呈軸對稱，拱面上風力在x方向的分力抵消，y方向的分力差由人對風箏的拉力平衡，余下垂直于風箏平面的力(z方向)，需要對常見風箏的特性進行定性分析。

風箏主要有兩種，即十字風箏和三角風箏。

十字風箏是用橫豎兩根竹條做骨架，在尾部粘上用蒙面材料做成的長尾條，再將橫竹條背面用細線拉緊，使風箏面變成弧形，以增加飛行的穩(wěn)定性，風箏姿態(tài)的穩(wěn)定主要靠尾帶配重，王字風箏的穩(wěn)定也是類似原理。此類風箏的生產(chǎn)建議是使用輕薄材料減小重量，連接長尾帶以增大配重(絲帶、燕尾)，采用軟質(zhì)材料利用伯努利原理抬升。

三角風箏飛行狀態(tài)像傘翼機，主要是靠風箏面向上拱起成弧形達到姿態(tài)穩(wěn)定。該種風箏用寬厚相同的三根竹條做骨架，一根粗細相仿的彈性竹條做撐桿，用尼龍綢做蒙面，彈性竹條可隨風力大小改變彎曲程度，進而改變風箏姿態(tài)。這種風箏的缺點是風力太大時背面撐桿會彎過頭，使迎風面積大幅度減小，升力驟減，風箏會調(diào)頭向下墜落。此類風箏的生產(chǎn)建議是使用切變模量合適的材料，使其小范圍變動內(nèi)切變模量較小，大范圍時切變模量較大，盡量拓寬羽翼，同時考慮質(zhì)量。

對于串形風箏，平衡配重極其重要，應使用輕軟質(zhì)材料，維持其盤旋飛舞的姿態(tài)，一般用顏色較淺的輕桿作配重材料。

圖5 利用“配重”穩(wěn)定的串形風箏(圖片來源：網(wǎng)易新聞)Fig.5 String kites stabilized by “counterweights”(source: NetEase News)

圖6 非傳統(tǒng)放飛式的異形風箏(圖片來源：騰訊新聞)Fig.6 Non-traditional flying shaped kite(source: Tencent News)

4 結(jié)論

通過建平面模型和動力學穩(wěn)態(tài)分析，從理論上得出了放飛風箏的最佳方式：拋起風箏，給予初始速度和加速度；控制引線“一收一放”，使得風箏線與風箏迎風面處于合適張角；在放飛同時以合適的速度跑動，增加風力的相對大小，借助強風順勢，給予風箏更大的抬升力，使其能夠更快到達高空。通過配重力矩分析，得出了風箏在抬升、穩(wěn)定、生產(chǎn)中的建議：增加配重，使用尾帶、拓寬羽翼等方式；使用輕軟質(zhì)材料。存在的不足之處是理論過于趨向于平面化，而未考慮拱形在維持風箏穩(wěn)態(tài)時的重要作用；力矩分析過于定性化，不能很好地應對實際風速場情況。