基于改進(jìn)西原模型的圓形隧洞位移解析解

劉詠梅

(中鐵二十三局集團(tuán) 第三工程有限公司，成都 611137)

深埋洞室的位移受圍巖流變效應(yīng)的影響，呈現(xiàn)出顯著的時(shí)間相關(guān)性。洞室位移的時(shí)間特性對(duì)洞室的長(zhǎng)期穩(wěn)定性(如深部鹽巖地下儲(chǔ)氣庫(kù)[1]、核廢料地下儲(chǔ)存室[2]、地下工程支護(hù)結(jié)構(gòu)[3])有顯著的影響。因此，對(duì)地下洞室黏彈塑性位移的分析具有重要的理論與工程應(yīng)用價(jià)值。

針對(duì)該問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。魏昂[4]采用摩爾庫(kù)倫脆塑性非關(guān)聯(lián)流動(dòng)模型和賓海姆黏彈塑性模型，得到了任意截面隧道圍巖位移的解析解；經(jīng)緯等[5]考慮圍巖流變、塑性擴(kuò)容及中間主應(yīng)力的影響，得到了基于蠕變終止軌跡的巷道圍巖黏彈塑性解析解；夏曉等[6]以Levy-Mises本構(gòu)關(guān)系為基礎(chǔ)，選用基于D-P屈服準(zhǔn)則的西原模型，推導(dǎo)了圍巖黏彈塑性變形計(jì)算公式；A.R.Kargar[7]基于Burgers模型，推導(dǎo)了隧道在有支護(hù)及無(wú)支護(hù)條件下的黏彈塑性位移計(jì)算公式；P.Nomikos等[8]基于Burgers本構(gòu)，得到了圍巖具有流變效應(yīng)的圍巖支護(hù)特性曲線解析分析模型；卞躍威等[9]推導(dǎo)了考慮圍巖塑性軟化及體積膨脹效應(yīng)的圓形隧洞黏彈塑性解。

近年來(lái)，基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的元件模型被較多地應(yīng)用于對(duì)巖石流變特性的描述。如：徐國(guó)文等[10]采用分?jǐn)?shù)階黏壺及NVPB模型分別取代傳統(tǒng)西原模型黏彈性體中的牛頓黏壺及黏塑性體，提出了改進(jìn)的西原模型；丁靖洋等[11]根據(jù)Weibull損傷理論，提出了一個(gè)考慮元件損傷的三元件蠕變模型，對(duì)巖鹽的蠕變特性進(jìn)行描述。分?jǐn)?shù)階流變模型具有元件少、參數(shù)意義明確等特性；同時(shí)，還可以完整地反映巖石流變的三個(gè)階段。

目前，基于分?jǐn)?shù)階理論流變模型對(duì)隧洞圍巖黏彈塑性分析的研究成果較少。鑒于此，本文首先根據(jù)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分理論，采用損傷分?jǐn)?shù)階Abel黏壺取代傳統(tǒng)西原模型黏彈性體及黏塑性體中的牛頓黏彈，提出改進(jìn)的西原模型；然后基于改進(jìn)西原模型，推導(dǎo)出圓形隧道位移的黏彈塑性解；并以金瓶巖隧道為例，對(duì)解析解的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 流變力學(xué)模型

1.1 損傷Abel黏壺

分?jǐn)?shù)階微積分是指運(yùn)算階次為任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的微分或積分運(yùn)算[8]。其中函數(shù)f(t)的Riemann-Liouvilleγ階積分為

(1)

其微分形式為

(2)

Abel黏壺元件基于Riemann-Liouville微積分定義，其能夠較好地描述材料的黏性特征

(3)

式中：ηγ為Abel黏壺的黏滯系數(shù)，ε為應(yīng)變，t為時(shí)間。值得注意的是，當(dāng)γ=0或1時(shí)，Abel黏壺元件就退化成理想Hooke彈性元件與牛頓體黏性元件。

巖石的流變過(guò)程伴隨著微裂紋的產(chǎn)生與擴(kuò)展。裂紋的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致巖石內(nèi)部出現(xiàn)損傷。采用如下的表達(dá)式對(duì)Abel體的損傷行為進(jìn)行表征

ηγ=ηγ(1-S)

(4)

式中S為損傷變量, 0

S=1-e-ζ t

(5)

式中ζ巖石的材料參數(shù)。

結(jié)合公式(3)～(5)，得到損傷Abel黏壺的本構(gòu)關(guān)系

(6)

通過(guò)對(duì)式(6)進(jìn)行Laplace變換，得到其蠕變方程

(7)

1.2 損傷蠕變模型的建立

采用損傷Abel黏壺取代傳統(tǒng)西原模型黏彈性體及黏塑性體中的黏性單元，提出改進(jìn)的西原模型(圖1)。

圖1 流變模型Fig.1 Creep constitutive model

黏彈性狀態(tài)方程為

(8)

黏彈塑性狀態(tài)方程為

(9)

式中：σ、ε分別為總應(yīng)力和總應(yīng)變；σ1、σ2、σ3分別為1、2、3部分元件(圖1)的應(yīng)力；ε1、ε2、ε3分別為1、2、3部分元件的應(yīng)變；E1、E2為彈性體和黏彈性體的彈性系數(shù)；γ、β為Abel損傷體的分?jǐn)?shù)階階次；λ、α為Abel損傷體的損傷系數(shù)。

當(dāng)σ0<σs：

a.彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由式(8)中的第1式描述。

b.根據(jù)式(8)中的第2式可得[11]

(10)

c.當(dāng)σ0≥σs，根據(jù)式(9)中的第3式可得[12]

(11)

綜上所述，模型的本構(gòu)方程為

(12)

(13)

1.3 蠕變模型驗(yàn)證

徐飛[13]通過(guò)室內(nèi)分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)，得到了千枚巖單軸壓縮三階段蠕變特性及長(zhǎng)期強(qiáng)度(12 MPa)。本文以σ=13.5 MPa荷載下的試驗(yàn)結(jié)果為基礎(chǔ)，對(duì)蠕變模型進(jìn)行驗(yàn)證。

采用最小二乘法[12]對(duì)蠕變參數(shù)進(jìn)行模擬，結(jié)果如表1所示。從圖2可以看出，試驗(yàn)曲線與計(jì)算曲線吻合較好，均表現(xiàn)出明顯的蠕變?nèi)A段特性，即衰減蠕變(A點(diǎn)之前)、常速蠕變(A—B)及加速蠕變(B點(diǎn)之后)。可見(jiàn)，與同類流變?cè)M合模型相比，該模型可以采用較少的元件反映巖石三階段流變過(guò)程。同時(shí)，可以定量地表征巖石流變?nèi)^(guò)程的損傷特性以及損傷對(duì)流變行為的影響。

表1 千枚巖流變參數(shù)Table 1 Creep parameters of phyllite

圖2 流變模型驗(yàn)證Fig.2 Validation of the creep constitutive model

2 隧洞位移解析解

2.1 基本假定

本文解析解的推導(dǎo)前提為：①隧道斷面為圓形且處于平面應(yīng)變狀態(tài)，同時(shí)原巖應(yīng)力場(chǎng)為靜水應(yīng)力場(chǎng)(σ0)；②圍巖的蠕變?cè)谒淼浪矔r(shí)彈塑性變形完成后發(fā)生；③巖體應(yīng)力以受壓為正。

2.2 隧洞圍巖瞬時(shí)彈塑性應(yīng)力場(chǎng)

深埋隧道圍巖特性具有顯著的非線性特性，因此，采用Hoek-Brown屈服準(zhǔn)則對(duì)圍巖蠕變變形之前的彈塑性應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行描述

(14)

式中：σ1為最大主應(yīng)力；σ3為最小主應(yīng)力；σc為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度；m、s為與巖體性質(zhì)相關(guān)的參數(shù)，即

(15)

(16)

式中：IGSI為地質(zhì)強(qiáng)度因子；M2為開(kāi)挖擾動(dòng)系數(shù)。

根據(jù)已有的隧洞圍巖瞬時(shí)彈塑性應(yīng)力場(chǎng)推導(dǎo)結(jié)果，隧洞開(kāi)挖后，圍巖的彈性與塑性應(yīng)力為

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2.3 蠕變位移解

2.3.1 黏彈性區(qū)

在圍巖的黏彈性區(qū)，塑性體流變?cè)幢挥|發(fā)。巖體的流變特性由元件1與元件2的組合描述。位移與應(yīng)變的關(guān)系為

(23)

式中：εθ、εr分別為圍巖的切向與徑向應(yīng)變；u為圍巖的徑向位移。

求解式(23)得到

(24)

2.3.2 黏塑性區(qū)

黏塑性區(qū)位移與應(yīng)變的關(guān)系為

(25)

(26)

式中φ為巖體內(nèi)摩擦角。

將式(21)和(22)代入式(25)可得

(27)

式中:

(28)

(29)

彈塑性截面位移邊界條件為

(30)

[kψ(3-sinψ)-(3+sinψ)]

(31)

式中:

(32)

3 模型驗(yàn)證

金瓶巖隧道位于成蘭鐵路松潘段，隧道單洞長(zhǎng)度為 12 773 m，隧道最大埋深為791 m，開(kāi)挖斷面的最大跨度和高度分別為13.7 m與11.5 m(圖3)。隧道全長(zhǎng)范圍內(nèi)廣泛分布著軟弱千枚巖，開(kāi)挖過(guò)程中，頻繁遭遇噴層開(kāi)裂、初支鋼架扭曲破壞、二襯開(kāi)裂等大變形災(zāi)害。巖石單軸抗壓強(qiáng)度為15 MPa，IGSI=50，mi=9。巖石的流變參數(shù)見(jiàn)表1。原巖地應(yīng)力場(chǎng)簡(jiǎn)化為靜水壓力場(chǎng)，即σ0=13.97 MPa。

圖3 隧道開(kāi)挖斷面Fig.3 Tunnel excavation section

隧道采用三臺(tái)階法進(jìn)行開(kāi)挖。開(kāi)挖過(guò)程中，對(duì)拱頂沉降與拱腰收斂進(jìn)行了監(jiān)測(cè)。計(jì)算曲線與測(cè)試曲線如圖4所示?？梢钥闯觯?jì)算曲線的變化趨勢(shì)及量值與拱頂、拱腰位移曲線的平均值較為吻合，驗(yàn)證了本文理論推導(dǎo)結(jié)果的可靠性。需要說(shuō)明的是，對(duì)于監(jiān)測(cè)曲線而言，圍巖凈空變形隨時(shí)間增長(zhǎng)迅速，且未呈現(xiàn)收斂趨勢(shì)；隨著掌子面推進(jìn)，拱頂沉降和洞周收斂呈現(xiàn)明顯的三臺(tái)階波動(dòng)增長(zhǎng)。而理論推導(dǎo)未考慮圍巖的開(kāi)挖過(guò)程，因此曲線未呈現(xiàn)階躍式上升的特征。

圖4 位移曲線Fig.4 Displacement curves

4 模型參數(shù)敏感性分析

4.1 分?jǐn)?shù)階階次的影響

不同分?jǐn)?shù)階階次γ、β時(shí)，圍巖的位移曲線如圖5所示?？梢钥闯?，隨著階次數(shù)值的增大，圍巖的蠕變變形量值增加。這是因?yàn)閷?duì)于Abel損傷體而言，分?jǐn)?shù)階階次越高，元件的黏性特性就越明顯。隨著時(shí)間的增加，同一時(shí)間不同分?jǐn)?shù)階階次對(duì)應(yīng)的圍巖位移之間的差值也增加。同時(shí)，對(duì)于任一時(shí)間點(diǎn)，不同分?jǐn)?shù)階階次對(duì)應(yīng)的圍巖位移之間的差值隨著階次的增加而減小。可見(jiàn)，分?jǐn)?shù)階階次與圍巖的變形之間具有較為復(fù)雜的非線性關(guān)系。

圖5 分?jǐn)?shù)階階次的影響Fig.5 Influence of fractional order

4.2 損傷參數(shù)的影響

不同損傷系數(shù)(α及λ)時(shí)，圍巖位移的變化如圖6所示。可以看出，圍巖的位移隨著損傷系數(shù)量值的增加而增大。這是因?yàn)閷?duì)于Abel損傷體而言，損傷系數(shù)量值越大，元件的黏性特性就越明顯。隨著時(shí)間的增加，同一時(shí)間不同損傷次數(shù)值對(duì)應(yīng)的圍巖位移之間的差值也增加。同時(shí)，對(duì)于任一時(shí)間點(diǎn)，不同損傷次數(shù)對(duì)應(yīng)的圍巖位移之間的差值隨著階次的增加而減小(特別是黏彈性體的損傷系數(shù)λ)。可見(jiàn)，黏塑性體的損傷對(duì)圍巖變形的影響更為顯著。

圖6 損傷的影響Fig.6 Influence of the damage

5 結(jié) 論

本文根據(jù)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分理論，提出了基于損傷分?jǐn)?shù)階Abel黏壺元件的改進(jìn)西原模型。并基于該模型，推導(dǎo)出了圓形隧道位移的黏彈塑性解。得到的主要結(jié)論如下：

a.改進(jìn)西原模型可以較好地模擬巖石蠕變變形的3個(gè)階段，即衰減蠕變階段、常速蠕變階段及加速蠕變階段。

b.解析得到的圍巖蠕變位移曲線與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)結(jié)果平均值曲線在形態(tài)與數(shù)值上均較為吻合。

c.隨著損傷Able黏壺分?jǐn)?shù)階階次的增大，或者損傷系數(shù)的增大，圍巖的位移呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)。