數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：豐富小學(xué)生探索規(guī)律的向度*
——以六上《表面涂色的正方體》一課的教學(xué)為例

蔣敏杰

【背景】

在數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是指引導(dǎo)學(xué)生借助一定的物化工具，在實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡囊I(lǐng)下進(jìn)行規(guī)范的實(shí)驗(yàn)操作，并通過(guò)數(shù)學(xué)化分析理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)有助于激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考、理解并解決問(wèn)題。

蘇教版六上《表面涂色的正方體》一課，是學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體和正方體的基本特征，會(huì)進(jìn)行體積計(jì)算后安排的一次“探索規(guī)律”活動(dòng)課，旨在通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律的活動(dòng)，使其產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的興趣，初步形成探索規(guī)律的意識(shí)。筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖經(jīng)歷了探索規(guī)律的過(guò)程，但思維仍處于“接受”狀態(tài)，且歸納概括時(shí)常常束手無(wú)策。筆者分析得知，這主要是因?yàn)閷W(xué)生思維的深刻性、廣度不夠，空間想象缺乏支撐，認(rèn)知不夠靈活，不能通過(guò)觀察、想象等進(jìn)行形式化類推；教師則更多關(guān)注學(xué)生是否能概括出3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色、沒(méi)有涂色的小正方體個(gè)數(shù)的規(guī)律，而對(duì)于如何觀察、想象、說(shuō)理、建立數(shù)學(xué)規(guī)律與圖形特征的內(nèi)在關(guān)聯(lián)等缺少引領(lǐng)性指導(dǎo)。本文以《表面涂色的正方體》一課的教學(xué)為例，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生觀察、想象、實(shí)驗(yàn)，展開(kāi)規(guī)律探索，促進(jìn)學(xué)生積累由特殊到一般、由具體到抽象探索簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力和空間觀念。

【教學(xué)過(guò)程及分析】

一、提出問(wèn)題，激活思維

師（出示正方體模型）：這是一個(gè)正方體，如果把這個(gè)正方體的表面涂上紅色，涂紅色的面一共有幾個(gè)？為什么？

師（課件演示）：將這個(gè)表面涂色的正方體的每條棱都平均分成10 份。像這樣切開(kāi)，可以切成多少個(gè)小正方體？

生：大正方體被切成了1000 個(gè)一樣大的小正方體。

師：請(qǐng)同學(xué)們想象一下，這1000 個(gè)小正方體，是不是都是6個(gè)面被涂上了紅色？

生1：肯定不是，切開(kāi)后的小正方體，有的是3 個(gè)面涂紅色，有的是2 個(gè)面涂紅色，有的是1個(gè)面涂紅色。

生2：不可能有6個(gè)面涂紅的，因?yàn)榍虚_(kāi)后，里面是沒(méi)有涂紅色的。

師：那會(huì)不會(huì)出現(xiàn)4個(gè)面、5個(gè)面涂紅色的？

生1：也不會(huì)有。我覺(jué)得最多只有3個(gè)面涂成紅色。只能在頂點(diǎn)這個(gè)地方，其他地方是2個(gè)面、1個(gè)面涂紅色。

生2：還可以有一些小正方體沒(méi)有涂紅色。因?yàn)樗诖笳襟w里面。

師：將一個(gè)大正方體像這樣把每條棱平均分成10 份，切成1000 個(gè)同樣大的小正方體，這些小正方體的表面可能有3面涂色、2面涂色、1面涂色，也可能沒(méi)有涂色。

師：每一種類型的小正方體各有多少個(gè)呢？它們的個(gè)數(shù)與什么有關(guān)呢？這里面還藏著好多有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？今天，我們就一起來(lái)研究像這樣的“表面涂色的正方體”。（揭示課題）

上述教學(xué)中，教師首先激發(fā)學(xué)生探索的需求；其次啟發(fā)學(xué)生初步借助直觀想象和推理等方式，明確了要觀察和思考的對(duì)象，認(rèn)識(shí)到涂色小正方體有不同類型；最后借助復(fù)雜問(wèn)題解決，再次激發(fā)學(xué)生探索規(guī)律的心理需求。這樣組織教學(xué)，不僅使學(xué)生明確了研究的問(wèn)題與思考的方向，也鍛煉了他們初步的空間想象能力，為后續(xù)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)施提供了支持。

二、實(shí)驗(yàn)探索，初識(shí)規(guī)律

師：在數(shù)學(xué)中，為了便于研究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般從簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始研究。我們先來(lái)研究可見(jiàn)的三類涂色正方體，沒(méi)有涂色的稍后研究。

師（提供棱長(zhǎng)為2 厘米、3 厘米、4 厘米的正方體各1 個(gè)，把它們切成棱長(zhǎng)為1 厘米的小正方體）：仔細(xì)觀察，它們的每條棱分別被平均分成了多少份？并想一想，切開(kāi)后各有多少個(gè)小正方體，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方體分別在這些大正方體的哪個(gè)位置，有多少個(gè)？四人小組議一議。

生1：這個(gè)（棱長(zhǎng)為2）切開(kāi)后有8 個(gè)小正方體，它們都是3個(gè)面涂色。

生2：這個(gè)（棱長(zhǎng)為3）切開(kāi)后有27個(gè)小正方體，3 個(gè)面涂色的在頂點(diǎn)的地方；2 個(gè)面涂色的在棱中間；1個(gè)面涂色的在面上，一共有6個(gè)。

生3：這個(gè)（棱長(zhǎng)為4）切開(kāi)后有4×4×4=64（個(gè)）小正方體，3 個(gè)面涂色的有8 個(gè)，在頂點(diǎn)的地方；2個(gè)面涂色的在棱中間，一條棱上有2個(gè)，一共有24個(gè)；1個(gè)面涂色的在面上，一個(gè)面上有4個(gè)，一共有24個(gè)。

師：各類涂色小正方體的個(gè)數(shù)與什么有關(guān)？在什么位置？又有什么規(guī)律呢？這就需要我們做實(shí)驗(yàn)，通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明與發(fā)現(xiàn)。

師：你打算怎樣做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？

生：把正方體沿著均分線切開(kāi)，分別數(shù)一數(shù)各類小正方體的個(gè)數(shù)，看一看它們的位置在哪里、有什么特點(diǎn)。

呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)探究單（如圖1）。

圖1 《表面涂色的正方體》實(shí)驗(yàn)探究單

生自主開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，小組內(nèi)交流獲得初步結(jié)論。

師：通過(guò)剛才的實(shí)驗(yàn)，同學(xué)們獲得了數(shù)據(jù)，完成了表格，誰(shuí)能告訴老師，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)同學(xué)們來(lái)交流。

第一層次：發(fā)現(xiàn)3面涂色的規(guī)律

生：我們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論每條棱均分的份數(shù)怎樣變，3面涂色的小正方體都是8個(gè)。

師：你能結(jié)合圖形特征說(shuō)說(shuō)理由嗎？

生：3 面涂色的小正方體都處于大正方體的頂點(diǎn)位置，3 條棱相交于頂點(diǎn)，這樣就有3 個(gè)面相鄰，正方體有8 個(gè)頂點(diǎn)，所以無(wú)論怎樣切，3個(gè)面涂色的都只有8個(gè)。

師：是的，頂點(diǎn)連接3 條棱，與3 個(gè)面有關(guān)，這就是3面涂色的小正方體只有8個(gè)的原因。

第二層次：發(fā)現(xiàn)2面涂色的規(guī)律

生（上臺(tái)指）：2 面涂色的小正方體分別是0個(gè)、12 個(gè)、24 個(gè)。因?yàn)槔? 等分時(shí)，都是3 面涂色的，所以2 面涂色的沒(méi)有。棱3 等分時(shí)，每條棱上有1 個(gè)，這樣12 條棱上就有12 個(gè)。4 等分時(shí)，每條棱上有2個(gè)，這樣12條棱上就有24個(gè)。

師：這樣看來(lái)，等分得越多，2 面涂色的小正方體就越多。那么，為什么棱3 等分后，每條棱上只有1個(gè)2面涂色的小正方體呢？

生：我們來(lái)看，棱3 等分后，每條棱上頭和尾的小正方體都在頂點(diǎn)上，是3 個(gè)面涂色的，去掉這2 個(gè)，剩下的就是2 面涂色的，這樣就只有中間的1個(gè)小正方體是2個(gè)面涂色的。

師（課件直觀呈現(xiàn)）：大正方體的棱幾等分，每條棱上就有幾個(gè)小正方體；兩端的小正方體連接3 個(gè)面，是3 面涂色的；棱上的這些連接2個(gè)面，自然切開(kāi)后是2 面涂色的。所以，這個(gè)1我們還可以寫(xiě)成（3-2）。

生：這樣就可以是（3-2）×12=12（個(gè)）。

師：棱4等分呢？

生：（4-2）×12=24（個(gè)）。

師：也就是說(shuō)，2 面涂色小正方體的個(gè)數(shù)是幾的倍數(shù)？（12）

第三層次：發(fā)現(xiàn)1面涂色的規(guī)律

生：1 面涂色小正方體的個(gè)數(shù)都是6 的倍數(shù)。因?yàn)槊總€(gè)面上的個(gè)數(shù)是一樣多的。

師：結(jié)合數(shù)據(jù)與圖形，誰(shuí)來(lái)具體說(shuō)說(shuō)？

生：1 個(gè)面涂色的小正方體在每個(gè)面的中間。比如這個(gè)（3 等分），每個(gè)面上有1 個(gè)，一共有1×6=6（個(gè)）；這個(gè)（4 等分）是每個(gè)面上有4個(gè)，一共有4×6=24（個(gè)）。

師：你的發(fā)現(xiàn)很直觀。還有什么想說(shuō)的嗎？

生：棱3等分時(shí)，面上是1個(gè)正方形（學(xué)生從平面上理解，實(shí)際表示的是正方體），可以寫(xiě)成1×1，棱4等分時(shí)，面上是4個(gè)正方形，可以寫(xiě)成2×2。

師：結(jié)合圖形特征，“1×1”“2×2”與原來(lái)正方體的棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？

生：可以這樣看，去掉頭和尾，剩下的正好是一個(gè)正方形。1就是（3-2），2就是（4-2）。

師：是的。（課件呈現(xiàn)直觀圖）這樣看，就發(fā)現(xiàn)了1個(gè)面涂色的規(guī)律。

師：同學(xué)們剛才通過(guò)做實(shí)驗(yàn)、觀察圖形、記錄數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方體的位置，以及它們的個(gè)數(shù)與棱長(zhǎng)的關(guān)系。請(qǐng)大家結(jié)合圖和表，再把我們的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

本環(huán)節(jié)教學(xué)，重在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)、實(shí)施與分析，結(jié)合獲得的數(shù)據(jù)、圖形的特征、不同類型小正方體的位置特點(diǎn)等，進(jìn)行基于事實(shí)的數(shù)學(xué)說(shuō)理分析。教師并不急于讓學(xué)生獲得規(guī)律，而是將更多時(shí)間留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并與圖形特征進(jìn)行關(guān)聯(lián)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到頂點(diǎn)處連接3 個(gè)面，切開(kāi)后3面涂色的小正方體只有8 個(gè)；每條棱連接2 個(gè)面，2面涂色的小正方體在棱上，數(shù)量是12的倍數(shù)；1 面涂色的小正方體在面上，數(shù)量是6 的倍數(shù)。實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生探索規(guī)律的重要方式，一方面理解實(shí)驗(yàn)對(duì)象，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，另一方面結(jié)合空間想象與邏輯推理，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析。在分析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，教師主要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)與形之間建立關(guān)聯(lián)，促進(jìn)他們展開(kāi)深度思考，提高探索規(guī)律的能力。

三、應(yīng)用驗(yàn)證，抽象表征

1.遷移研究棱5等分的情況。

師（出示棱5等分的正方體）：帶著剛才的發(fā)現(xiàn)，我們一起來(lái)研究棱5等分的情況。思考一下，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體分別在什么位置？有多少個(gè)？能用算式表達(dá)出來(lái)嗎？

生1：3面涂色的在頂點(diǎn)上，有8個(gè)。

生2：2 面涂色的在棱上，有（5-2）×12=36（個(gè)）。

師：請(qǐng)解釋一下這個(gè)算式的意思。

生：每條棱上去掉頂點(diǎn)上3 面涂色的2 個(gè)，中間就是2面涂色的小正方體。12表示正方體有12條棱。

師：1個(gè)面涂色的呢？誰(shuí)能完整地表達(dá)？

生：1個(gè)面涂色的在面上，每個(gè)面上有5-2=3（個(gè)），3×3=9（個(gè)），所以一共有9×6=54（個(gè)）。

師：都同意嗎？（課件直接演示）確實(shí)如同學(xué)們所想所說(shuō)。同學(xué)們現(xiàn)在不僅能依據(jù)圖形特征進(jìn)行思考，而且能通過(guò)推理應(yīng)用規(guī)律了。

2.歸納概括規(guī)律。

師：現(xiàn)在可以解決一開(kāi)始的問(wèn)題了，正方體的棱10 等分，請(qǐng)快速思考一下，先想到在哪個(gè)位置，再將個(gè)數(shù)計(jì)算出來(lái)。

生：3 面涂色8 個(gè)；2 面涂色（10-2）×12=96（個(gè)）；1面涂色（10-2）×（10-2）×6=384（個(gè)）。

師：如果涂色正方體的每條棱都平均分成n份，切成若干個(gè)同樣大小的小正方體，那么，切成的小正方體一共有多少個(gè)？其中，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方體各有多少個(gè)？先獨(dú)立思考，再在小組內(nèi)交流，之后全班交流。

生1：切成的小正方體有n×n×n=n3（個(gè)）。

生2：3 面涂色的有8 個(gè)；2 面涂色的有（n-2）×12（個(gè)）；1面涂色的有（n-2）×（n-2）×6（個(gè)）。

生3：1面涂色的還可以寫(xiě)成（n-2）2×6（個(gè)）。

師：用含有字母的式子可以概括地表達(dá)我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（n-2）×12是什么意思？

生：棱被n等分，2 面涂色的小正方體在棱上，每條棱上有（n-2）個(gè)，一共有12 條棱，所以是（n-2）×12個(gè)。

師：那（n-2）2×6呢？

…………

師：同學(xué)們，我們從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中觀察、想象、分析數(shù)據(jù)，并結(jié)合圖形的特征發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)規(guī)律?；仡櫶剿骱桶l(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，你有哪些體會(huì)？

實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)論需要具有可重復(fù)性。在學(xué)生通過(guò)棱2、3、4 等分初步發(fā)現(xiàn)了“表面涂色的正方體”中蘊(yùn)含的規(guī)律后，引導(dǎo)他們對(duì)棱5 等分的情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，使規(guī)律更加可靠。用含有字母的式子歸納發(fā)現(xiàn)的規(guī)律也是本課的難點(diǎn)。讓學(xué)生用字母進(jìn)行簡(jiǎn)單替換不難理解，教師將重心放在引導(dǎo)學(xué)生解釋說(shuō)理上，并通過(guò)直觀圖示幫助學(xué)生進(jìn)一步從具體的數(shù)量過(guò)渡到抽象的符號(hào)，不僅使學(xué)生的抽象表達(dá)更加自然，也使他們認(rèn)識(shí)到規(guī)律需要從數(shù)據(jù)變化和圖形特征中提煉，促進(jìn)了其探索規(guī)律能力的形成。

四、深度學(xué)習(xí)，拓展思維

師：這些小正方體中還有一類——無(wú)涂色的小正方體，這些小正方體在大正方體的什么位置？個(gè)數(shù)可以怎樣計(jì)算？你打算怎樣研究？

…………

師：還是要回歸數(shù)據(jù)，這次的想象更加困難了。（課件演示棱3 等分的情況，觀察到只有1個(gè)）你有什么想說(shuō)的？

…………

師：它們都在大正方體的正中間，我們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)，把這些沒(méi)有涂色的小正方體找出來(lái)。先想象再看演示，并將數(shù)據(jù)記錄在表格中。你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)個(gè)數(shù)可以是（n-2）3，比如1×1×1=13，2×2×2=23，3×3×3=33。

師：你能試著解釋嗎？

…………

師：今天，我們研究了表面涂色的正方體。同學(xué)們?nèi)绻信d趣，還可以像這樣來(lái)研究研究表面涂色的長(zhǎng)方體，看看它有怎樣的規(guī)律，與正方體有什么相同的地方與不同的地方。

課尾將重心放在沒(méi)有涂色的小正方體的個(gè)數(shù)上，由于空間想象要求較高，因而教學(xué)中通過(guò)呈現(xiàn)直觀圖示，幫助學(xué)生主動(dòng)遷移。最后提出研究長(zhǎng)方體中涂色情況的話題，豐富研究對(duì)象，激發(fā)學(xué)生后續(xù)研究的興趣。

綜上所述，開(kāi)展“探索規(guī)律”活動(dòng)有助于改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析客觀現(xiàn)實(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生圍繞問(wèn)題，在觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)中學(xué)習(xí)，能極大地豐富學(xué)生探究的視角與方式。在本課教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)建立在學(xué)生對(duì)不同類型小正方體有直觀感知、形成初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，是對(duì)個(gè)人思考的驗(yàn)證與再發(fā)現(xiàn)。課始，在學(xué)生觀察、猜測(cè)后，教師指出需要做實(shí)驗(yàn)，通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明與發(fā)現(xiàn)。接著以想一想位置、猜一猜個(gè)數(shù)、切一切方塊、數(shù)一數(shù)個(gè)數(shù)、記一記數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，有梯度地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于思考的結(jié)論驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)過(guò)程。在觀察、想象、操作、分析等探索的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)相應(yīng)的探索活動(dòng)，形象、直觀地把握3面、2面、1面涂色小正方體的位置、個(gè)數(shù)與圖形特征間的聯(lián)系，把不易理解、無(wú)法看見(jiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變成直觀表象，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生開(kāi)展高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生基于對(duì)圖形的觀察和得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行說(shuō)理，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)引發(fā)學(xué)生從現(xiàn)象走向數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生獲得分析和解決問(wèn)題的基本方法，提升其探索規(guī)律的能力。