引大濟(jì)岷工程分段抵償投影面和投影帶的合理選擇

徐建忠

1四川省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司測(cè)繪分院，四川成都，610500

根據(jù)《水利水電工程測(cè)量規(guī)范》SL197-2013，在大、中型工程測(cè)量中，控制網(wǎng)平面坐標(biāo)系統(tǒng)應(yīng)采用現(xiàn)行國家2000坐標(biāo)系統(tǒng)，或與其相聯(lián)系的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)，主要目的是確保測(cè)量資源不浪費(fèi)。國家2000坐標(biāo)系統(tǒng)采用高斯-克呂格正形投影（簡稱高斯投影），即先由高程面投影到參考橢球面，再由參考橢球面投影到高斯平面，而高程面則投影到大地水準(zhǔn)面上。高斯投影將中央經(jīng)線投影為直線，其長度沒有變形，與球面實(shí)際長度相等，其余經(jīng)線為向極點(diǎn)收斂的弧線，距中央經(jīng)線愈遠(yuǎn)，變形愈大。而規(guī)范規(guī)定［1］，測(cè)區(qū)長度投影變形值不大于5 cm/km（即相對(duì)誤差為1/20 000）。對(duì)于東西走向、高差大的工程，國內(nèi)外文獻(xiàn)介紹得比較少，由于本工程處于水系發(fā)達(dá)的四川，工程投影只采用單一的抵償高程面或移動(dòng)中央子午線都無法使長度投影變形滿足規(guī)范要求，為了本工程控制網(wǎng)的邊長變形能滿足大比例地形圖的施測(cè)，當(dāng)邊長的綜合變形較大而不能滿足相應(yīng)要求時(shí)，可采用抵償高程面和移動(dòng)中央子午線的方法來改善測(cè)區(qū)內(nèi)邊長經(jīng)投影后的綜合變形［2，3］。根據(jù)工程的特點(diǎn)和要求，建立測(cè)區(qū)的獨(dú)立坐標(biāo)系，而獨(dú)立坐標(biāo)系的建立，關(guān)鍵在于合理地選擇投影帶和投影面。由于引大濟(jì)岷工程線路比較長，東西走向高差大，所以需采取分段投影方式進(jìn)行平差計(jì)算［4］。

1 引大濟(jì)岷工程抵償投影面和投影帶

1.1 工程概況

引大濟(jì)岷工程指四川省引調(diào)大渡河、青衣江水至岷江流域，解決成都天府新區(qū)水資源短缺的特大型跨區(qū)域調(diào)水工程。大渡河瀘定電站為取水口，途徑青衣江引入岷江成都段。引大濟(jì)岷工程長達(dá)200 km，途經(jīng)山區(qū)，再到成都平原，高程由1 500 m降至成都平原500 m左右，高程差達(dá)到1 000 m。為了解決任意帶高斯正形投影和高程面投影到參考橢球面的變形，從平原區(qū)向山區(qū)（乃至高原地區(qū)）延伸，測(cè)區(qū)高程面由500 m增加到1 500 m，由于高程面的不同所產(chǎn)生的長度變形對(duì)引大濟(jì)岷工程的影響是必須解決的問題。

1.2 引大濟(jì)岷工程國家1∶10 000地形圖換帶的確定

中國版圖的經(jīng)度范圍約為東經(jīng)73°30′～135°03′，可分成11個(gè)6°帶或22個(gè)3°帶，6°帶可用于中小比例尺（1∶25 000以下）測(cè)圖，3°帶可 用于大比 例尺（如1∶10 000）測(cè)圖［5］。分帶圖如圖1所示。

圖1 分帶劃分圖Fig.1 Zone Division Diagram

換帶原因：為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成獨(dú)立帶的坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的控制點(diǎn)坐標(biāo)，工程測(cè)量中要求采用6°帶、3°帶或任意帶，因?yàn)閲铱刂泣c(diǎn)通常只有6°帶坐標(biāo)，需要時(shí)要將6°帶坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為3°帶坐標(biāo)。高斯投影的特點(diǎn)：離中央子午線愈遠(yuǎn)，長度變形愈大［6，7］。如圖2所示。

圖2 高斯投影Fig.2 Gauss Projection

引大濟(jì)岷工程的地理位置范圍為北緯29°56′～30°47′、東經(jīng)102°12′～104°09′。在國家1∶10 000地形圖中共跨兩個(gè)投影帶：102°帶和105°帶。引大濟(jì)岷工程是一個(gè)整體，必須對(duì)國家1∶10 000地形圖進(jìn)行換帶，為了減小高斯投影變形對(duì)地形圖的影響，應(yīng)對(duì)102°帶和105°帶投影變形對(duì)地形圖影響的大小進(jìn)行確認(rèn)。

引大濟(jì)岷工程共布設(shè)三等GPS平面控制點(diǎn)34個(gè)點(diǎn)（編號(hào)為YD01～YD34），GPS控制點(diǎn)成果為2000國家大地坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)（6°帶），中央子午線經(jīng)度為105°（18帶）。高斯投影為正形投影，實(shí)際上僅有長度變形誤差，也即橢球面上的長度投影到高斯平面上的變形，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。測(cè)區(qū)GPS控制網(wǎng)西邊緣距中央子午線105°最大值為Ymax=270 km，西邊緣距中央子午線最小值為Ymin=111 km，依據(jù)公式ΔL=Ym2/2R2可以求得：ΔLmax=0.899 m/km，ΔLmin=0.152 m/km（取R=6 368 km）。控制點(diǎn)成果要轉(zhuǎn)為2000國家大地坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)（3°帶），中央子午線經(jīng)度為102°（34°帶），GPS控制網(wǎng)東邊緣距中央子午線102°最大值Ymax=176 km，西邊緣距中央子午線最小值為Ymin=21 km，依據(jù)公式ΔL=Ym2/2R2可以求得：ΔLmax=0.382 m/km，ΔLmin=0.0 054 m/km（Ym為西邊緣距中央子午線橫坐標(biāo)差、R為測(cè)區(qū)所在參考橢球曲率半徑，取R=6 368 km）。102°帶變形明顯小于105°帶的變形。為了減小高斯投影的變形，原坐標(biāo)GPS控制點(diǎn)成果進(jìn)行原中央子午線經(jīng)度到現(xiàn)中央子午線經(jīng)度換帶計(jì)算，再通過CASS9.1軟件換帶已有國家地形圖到102°帶。

1.3 高斯投影長度的綜合變形及其容許數(shù)值

如圖3所示，實(shí)測(cè)邊長水平距離歸化到測(cè)區(qū)參考橢球面上的改正數(shù)為［8］：

圖3 邊長歸化Fig.3 Side Length Normalization

式中，RH為測(cè)區(qū)所在橢球曲率半徑（取6 368 km）；H為長度所在高程面對(duì)于橢球面的高差；SH為實(shí)地測(cè)量的長度平距。

參考橢球面上的長度投影至高斯平面的改正數(shù)為［9］：

式中，Ym為邊長兩端離測(cè)區(qū)中央子午線的橫坐標(biāo)差（以測(cè)段起點(diǎn)為原點(diǎn)）；S為高斯平面上的邊長（取S≈SH）；R為測(cè)區(qū)所在參考橢球曲率半徑（取R=6 368 km）。

可得長度綜合變形為：

H（m）與Y（km）關(guān)系如圖4所示。圖4中適應(yīng)區(qū)表示長度綜合變形能滿足規(guī)范要求，不適應(yīng)區(qū)表示長度綜合變形不能滿足規(guī)范要求。

圖4 綜合變形適應(yīng)圖Fig.4 Comprehensive Deformation Adaptation Diagram

2 分段投影抵償高程面及中央子午線的選擇

引大濟(jì)岷工程平均高程面為800 m左右，須求取抵償高程面和中央子午線的適用范圍，以滿足測(cè)區(qū)長度投影變形值不大于5 cm/km（即相對(duì)誤差為1/20 000）的規(guī)范要求。在確定引大濟(jì)岷工程高程抵償投影面的過程中，為了使高程抵償投影面盡量接近測(cè)區(qū)工程面，根據(jù)GPS控制坐標(biāo)分布，如圖5所示，東西走向，高差起伏較大，為了使高程抵償投影面盡量接近測(cè)區(qū)工程面，通過測(cè)區(qū)高差和兩端離測(cè)區(qū)中央子午線橫坐標(biāo)差分析確定分為3段投影，如果分段投影過多，會(huì)導(dǎo)致施工過程中對(duì)不同帶的坐標(biāo)進(jìn)行頻繁轉(zhuǎn)換，不方便施工，利用抵償投影高程面和移動(dòng)中央子午線來抵償兩項(xiàng)改正變形，即為高程抵償面的任意帶高斯正形投影［10，11］。

農(nóng)夫山泉有點(diǎn)甜——論韓少功《山南水北》中的鄉(xiāng)土?xí)鴮?…………………………………………………………… 甘林全（4/70）

圖5 GPS控制網(wǎng)圖Fig.5 GPS Control Network Diagram

2.1 根據(jù)分段測(cè)區(qū)平均高程確定抵償投影高程面

抵償投影高程面的選擇分為以下幾段，如表1所示。

表1 引大濟(jì)岷工程分段抵償投影高程面分段表Tab.1 The Segmentation of Yindajimin Project Offsets the Projection Elevation Face Segment Table

1）YD01～YD08：平均高程為1 248 m，抵償投影高程面取值測(cè)區(qū)平均高程附近值1 200 m，則高程面投影變形系數(shù)為：

β=-HΔ/RH

β最高點(diǎn)=-（1 507.7-1 200）/6 368 000=-1/20 695

β最低點(diǎn)=-（978-1 200）/6 368 000=1/28 684

由此可知所取高程面投影變形系數(shù)絕對(duì)值都小于1/20 000，說明YD01～YD08高程抵償面的選擇合理。

2）YD07～YD14：平均高程為844 m，抵償投影高程面取值測(cè)區(qū)平均高程附近值850 m，則高程面投影變形系數(shù)為：

β=-HΔ/RH

β最高點(diǎn)=-（1 127-850）/6 368 000=-1/22 989

同理可知所取高程面投影變形系數(shù)絕對(duì)值都小于1/20 000，說明YD07～YD14高程抵償面的選擇合理。

3）YD13～YD34：平均高程為554 m，抵償投影高程面取值測(cè)區(qū)平均高程附近值550 m，則高程面投影變形系數(shù)為：

β=-HΔ/RH

β最高點(diǎn)=-（709-550）/6 368 000=-1/40 050

β最低點(diǎn)=-（484-550）/6 368 000=1/96 484

同理可知，所取高程面投影變形系數(shù)絕對(duì)值都小于1/20 000，說明YD13～YD34高程抵償面的選擇合理。

2.2 分段獨(dú)立坐標(biāo)系投影改正及中央子午線的確定

分段測(cè)區(qū)高程抵償面保持不變，不同投影帶是因?yàn)檫x擇了不同經(jīng)度的中央子午線的原因，如果合理選擇中央子午線的位置，使測(cè)區(qū)邊長投影到某一投影帶所產(chǎn)生的變形，恰好抵償這一長度投影到抵償高程面所產(chǎn)生的變形，這種能抵償長度變形的投影帶為“抵償投影帶”［12］。

根據(jù)長度綜合變形式（3）和投影綜合改正相對(duì)誤差δ/S≤1/20 000，確定中央子午線點(diǎn)位橫坐標(biāo)西面與起點(diǎn)橫坐標(biāo)的差值，得到移動(dòng)中央子午線橫坐標(biāo)，根據(jù)高斯投影坐標(biāo)反算公式可由（x，y）推出（B，L），見式（5），須滿足以下3個(gè)條件（見圖6）：①x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對(duì)稱軸；②x坐標(biāo)軸投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。

圖6 高斯投影Fig.6 Gaussian Projection

式中，Bf為反算坐標(biāo)點(diǎn)垂足緯度。高斯投影坐標(biāo)反算計(jì)算過程比較復(fù)雜，可以通過Excel編程計(jì)算求得，在此不作具體闡述。本文中引大濟(jì)岷工程的中央子午線經(jīng)度計(jì)算采用華測(cè)CGO軟件，通過坐標(biāo)平移后計(jì)算求得，各段中央子午線的確定分別如表2、表3、表4所示。

表2 YD01～YD08中央子午線確定表Tab.2 YD01～YD08 Central Meridian Determination Table

表3 YD07～YD14中央子午線確定表Tab.3 YD07～YD14 Central Meridian Determination Table

表4 YD13～YD34中央子午線確定表Tab.4 YD13～YD34 Central Meridian Determination Table

3 測(cè)區(qū)實(shí)測(cè)邊長與獨(dú)立坐標(biāo)系平差邊長比較

由于引大濟(jì)岷工程GPS控制點(diǎn)作為首級(jí)網(wǎng)，GPS控制點(diǎn)彼此不通視，無法利用全站儀觀測(cè)邊對(duì)平差邊長進(jìn)行檢驗(yàn)，因此下面采用兩種全站儀近似邊長對(duì)平差邊長進(jìn)行檢校，如表5～表10所示。

表5 YD01～YD08測(cè)區(qū)測(cè)點(diǎn)高斯邊長投影到邊長平均高程面對(duì)比Tab.5 YD01～YD08 Survey Point Gauss Side Length Projection to Side Length Average Elevation Comparison

表6 YD08～YD14測(cè)區(qū)測(cè)點(diǎn)高斯邊長投影到邊長平均高程面對(duì)比Tab.6 YD08～YD14 Survey Point Gauss Side Length Projection to Side Length Average Elevation Comparison

表7 YD14～YD34測(cè)區(qū)測(cè)點(diǎn)高斯邊長投影到邊長平均高程面對(duì)比Tab.7 YD14～YD34 Survey Point Gauss Side Length Projection to Side Length Average Elevation Comparison

表8 YD01～YD08測(cè)區(qū)GPS基線解算橢球平距對(duì)比Tab.8 Ellipsoid Horizontal Distance Comparison of GPS Baseline Calculation in YD01～YD08 Survey Area

表9 YD08～YD14測(cè)區(qū)GPS基線解算橢球平距對(duì)比Tab.9 Ellipsoid Horizontal Distance Comparison of GPS Baseline Calculation in YD08～YD14 Survey Area

表10 YD14～YD34測(cè)區(qū)GPS基線解算橢球平距對(duì)比Tab.10 Ellipsoid Horizontal Distance Comparison of GPS Baseline Calculation in YD14～YD34 Survey Area

1）高斯邊長投影到平均高程面的邊長比較。

根據(jù)DG=Sm（1+Ym2/2R2），Ds=Sm（1+H/R）

化簡得到投影公式為：

式中，Ds為歸算至測(cè)點(diǎn)平均高程面上的邊長；DG為高斯平面邊長；Sm為參考橢球面邊長；R為測(cè)區(qū)中心處的平均曲率半徑，本測(cè)區(qū)中取R=6 368 km；Ym為邊長兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均數(shù)；H為邊長兩端點(diǎn)的平均高程。

2）利用GPS基線解算橢球平距進(jìn)行對(duì)比。

通過高斯邊長投影到邊長平均高程面的改算，以及GPS基線解算橢球平距與平差邊長的對(duì)比，邊長的相對(duì)誤差都小于1/20 000，說明本測(cè)區(qū)分段獨(dú)立坐標(biāo)系的抵償高程面和中央子午線的移動(dòng)很好地抑制了測(cè)區(qū)長度變形。這種方法受測(cè)區(qū)長度和高差限制比較大，而引大濟(jì)岷工程測(cè)區(qū)長，測(cè)區(qū)東西走向，高差大，采用分段選擇抵償高程面投影和移動(dòng)中央子午線相結(jié)合的方法來解決投影的綜合變形，本方法易被測(cè)繪人員掌握，斜軸墨卡托投影也能解決投影變形問題，但投影前期計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，不易掌握。

4 結(jié)束語

大型水利工程中，通常采用高斯投影和移動(dòng)中央子午線的方法來解決測(cè)區(qū)長度變形，本文對(duì)引大濟(jì)岷工程分段合理地選擇投影帶和投影面進(jìn)行了淺析。由于測(cè)區(qū)處于跨帶區(qū)域，先要確定測(cè)區(qū)橫坐標(biāo)到所處帶中央子午線的距離，從高斯投影變形大小，確定是否進(jìn)行換帶計(jì)算，以減小高斯投影的變形對(duì)測(cè)區(qū)已有地形圖使用的影響。在抵償高程面投影的選擇時(shí)，宜選分段測(cè)區(qū)平均高程來做投影抵償高程面，這有利于測(cè)區(qū)投影變形均勻，使測(cè)區(qū)投影長度變形值不大于5 cm/km（即相對(duì)誤差為1/20 000），滿足《水利水電工程測(cè)量規(guī)范》SL197-2013的要求。本文的方法適合GPS點(diǎn)不通視，無法使用全站儀邊長進(jìn)行檢驗(yàn)的工程。