一種基于熵權(quán)法理論的水準(zhǔn)網(wǎng)平差定權(quán)方法

俞艷波楊立濤趙興哲趙鵬輝楊雙龍

1玉溪礦業(yè)有限公司，云南 玉溪，653405

2云南坤測(cè)科技有限公司，云南 昆明，650100

就大地測(cè)量學(xué)而言，有效獲取高精度高程的方法仍然是幾何水準(zhǔn)測(cè)量。近年來(lái)，水準(zhǔn)測(cè)量的精度隨著現(xiàn)代測(cè)量中數(shù)據(jù)處理技術(shù)的發(fā)展也取得了顯著性的提高。對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)的處理方法通常是采用間接平差法，在平差中就會(huì)涉及到高差定權(quán)問(wèn)題，針對(duì)定權(quán)問(wèn)題一般采用兩種方式，其一為按照距離千米數(shù)定權(quán)，另一種為按照測(cè)段內(nèi)的測(cè)站數(shù)定權(quán)［1］。此兩種方法應(yīng)用很廣，但是，對(duì)于地形復(fù)雜的區(qū)域，特別是起伏情況普遍地區(qū)，這兩種方法都很難有效地反映水準(zhǔn)測(cè)量的真實(shí)精度［2，3］?；诖?，本研究提出一種綜合的定權(quán)方法，基于熵權(quán)理論，充分考慮測(cè)段內(nèi)距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)中所包含的信息，并綜合擬定它們的權(quán)重，進(jìn)而得到一種具有綜合信息的定權(quán)方法，該方法能有效整合上述兩種常用定權(quán)方法的優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)而可以充分適應(yīng)復(fù)雜地區(qū)的定權(quán)問(wèn)題。最后，本研究將建立的新的定權(quán)方法與常用的方法進(jìn)行了對(duì)比分析，并采用單因素方差分析對(duì)最后的結(jié)果進(jìn)行分析，從而驗(yàn)證本文提出方法和常用方法在精度上具有顯著的優(yōu)越性。

1 熵權(quán)法理論

在水準(zhǔn)網(wǎng)平差處理中，涉及定權(quán)問(wèn)題，正如前面所述，常用的兩類(lèi)定權(quán)方法都比較適用于特定的地形，一種適用于平緩地區(qū)，一種適用于地形起伏較為顯著的地區(qū)。可見(jiàn)，測(cè)段內(nèi)的距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)都含有豐富的高差定權(quán)信息。因此，為綜合利用測(cè)段內(nèi)的距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)中攜帶的定權(quán)信息，本文采用熵權(quán)法擬定距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)在高差定權(quán)中所占權(quán)重，得到對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量。熵權(quán)法是一種客觀賦權(quán)的方法，可避免人為主觀因素的影響，其來(lái)源于信息論，“熵”表征的是系統(tǒng)的紊亂程度［4］，若某評(píng)價(jià)指標(biāo)的熵值越小，則反映該指標(biāo)包含的信息量越大，即賦予較大的權(quán)重系數(shù)；反之，則賦予較小的權(quán)重系數(shù)［5，6］。

將距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)視為兩個(gè)影響因子，設(shè)第j個(gè)影響因子為yj，為規(guī)避各影響因子的量綱對(duì)定權(quán)結(jié)果帶來(lái)的影響，對(duì)原始數(shù)據(jù)做歸一化預(yù)處理：

式中，xij為歸一化值；maxj(yij)為第j個(gè)影響因子的最大值；minj(yij)為第j個(gè)影響因子的最小值。

然后，根據(jù)信息熵的定義，計(jì)算各影響因子的信息熵：

式中，Pij為待求的第j個(gè)影響因子向量中第i個(gè)值所占該影響因子的概率；Hj為第j個(gè)影響因子的信息熵；m為評(píng)價(jià)對(duì)象的數(shù)目；n為影響因子的數(shù)目。

最后，可通過(guò)計(jì)算得到的所有影響因子信息熵進(jìn)一步計(jì)算各影響因子的熵權(quán)：

式中，ωj為第j個(gè)影響因子的權(quán)重系數(shù)。

通過(guò)式（3）可以計(jì)算出距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)權(quán)系數(shù)向量w=(ω1，ω2)。最后將w與式（2）中的Pij相乘，便得到第i個(gè)觀測(cè)值的權(quán)重，記為wi，即得到了基于熵權(quán)法的定權(quán)結(jié)果。此后，可以順利地運(yùn)用加權(quán)最小二乘法進(jìn)行水準(zhǔn)網(wǎng)平差運(yùn)算。

2 常用的水準(zhǔn)網(wǎng)定權(quán)與平差方法

水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)束后需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，數(shù)據(jù)處理一般需要經(jīng)過(guò)3個(gè)階段，首先是需要對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)高差觀測(cè)值進(jìn)行定權(quán)計(jì)算，通常采用兩種常用的方法完成該部分工作，即按照測(cè)段內(nèi)的水準(zhǔn)路線(xiàn)長(zhǎng)度定權(quán)或者按照測(cè)段內(nèi)的測(cè)站數(shù)定權(quán)［7］。其次，需要求解每一個(gè)測(cè)段內(nèi)的高差改正量，多采用間接平差法完成該項(xiàng)工作，得到各個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)上的高程平差值［8，9］。最后，完成驗(yàn)后精度評(píng)定，評(píng)定時(shí)依據(jù)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差。

當(dāng)進(jìn)行水準(zhǔn)網(wǎng)平差操作時(shí)，會(huì)涉及到多條水準(zhǔn)路線(xiàn)，可將每一條水準(zhǔn)路線(xiàn)的觀測(cè)視為被評(píng)價(jià)的對(duì)象，評(píng)價(jià)指標(biāo)自然是影響該線(xiàn)路觀測(cè)值的各種影響因素［10-13］。假如涉及到m條路線(xiàn)問(wèn)題，每條路線(xiàn)都有n個(gè)影響因子，原始數(shù)據(jù)矩陣X可由觀測(cè)數(shù)據(jù)、距離千米數(shù)以及測(cè)站數(shù)構(gòu)成，隨后利用上述提及的熵權(quán)理論求解距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)權(quán)重矩陣［14-16］，即觀測(cè)值定權(quán)結(jié)果。本文提出的基于熵權(quán)法理論的水準(zhǔn)網(wǎng)平差定權(quán)流程如圖1所示。在觀測(cè)值的權(quán)重分配后，按照間接平差原理計(jì)算完成后續(xù)操作。

圖1 熵權(quán)法定權(quán)流程Fig.1 Entropy Weight Process

3 算例分析

選用某一地形復(fù)雜區(qū)域的水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)作為實(shí)例（見(jiàn)圖2），分別按照每個(gè)測(cè)段內(nèi)的距離千米數(shù)、測(cè)站數(shù)以及本文提出的熵權(quán)理論定權(quán)，而后分別進(jìn)行平差計(jì)算，最后對(duì)比分析不同定權(quán)方法下的水準(zhǔn)網(wǎng)平差結(jié)果以評(píng)價(jià)定權(quán)方法的可靠性，也即是它們對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)平差結(jié)果的效果。此外，基于水準(zhǔn)網(wǎng)平差結(jié)果，采用置信水平為0.05的單因素方差分析對(duì)3種不同的定權(quán)方法效果做統(tǒng)計(jì)性的分析以判斷本研究所提方法的可靠性和合理性。圖1中A點(diǎn)為已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，表1為水準(zhǔn)網(wǎng)的測(cè)量結(jié)果，目的是為了求得未知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)B、C、D的高程數(shù)據(jù)。可依據(jù)水準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)通過(guò)間接平差技術(shù)求解水準(zhǔn)點(diǎn)B、C、D的高程平差值。

圖2 水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Leveling Network

根據(jù)上述的熵權(quán)理論定權(quán)方案依據(jù)表1中的數(shù)據(jù)求得定權(quán)結(jié)果，此外，為作對(duì)比分析，同時(shí)采用常用的兩種定權(quán)方法進(jìn)行定權(quán)計(jì)算，即分別只利用測(cè)段內(nèi)的距離千米數(shù)信息和測(cè)站數(shù)信息建立兩種定權(quán)方法并完成定權(quán)計(jì)算，得到水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)值的定權(quán)結(jié)果，如表2所示，分別為上述3種定權(quán)方法的定權(quán)結(jié)果。

表1 水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)Tab.1 Level Net Observation Data

表2 水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)定權(quán)結(jié)果Tab.2 Weighted Results of Observation Data from Leveling Network

通過(guò)表2中的數(shù)據(jù)可見(jiàn)，3種定權(quán)方法下求取的權(quán)重?cái)?shù)據(jù)具有一定的差異，客觀上也說(shuō)明了在對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)做平差處理時(shí)，不同的定權(quán)方法選取確實(shí)是會(huì)對(duì)整個(gè)平差結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，也再次揭示了水準(zhǔn)網(wǎng)的測(cè)量平差中選取可靠的定權(quán)方法的重要性。

在表2中權(quán)重?cái)?shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用間接平差計(jì)算方法求取平差數(shù)據(jù)，計(jì)算公式為：

式中，P為含有定權(quán)偏差的水準(zhǔn)測(cè)量權(quán)矩陣；N為測(cè)段法方程系數(shù)矩陣；V為測(cè)段高差改正數(shù)；l為誤差方程常數(shù)項(xiàng)；B為由水準(zhǔn)網(wǎng)圖形構(gòu)成所決定的系數(shù)矩陣。經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到各個(gè)定權(quán)方法下的平差數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 水準(zhǔn)網(wǎng)待定點(diǎn)高程平差精度評(píng)定結(jié)果/mmTab.3 Leveling Network to be Fixed Point Adjustment Accuracy Evaluation Results/mm

對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)待定點(diǎn)高程平差精度評(píng)定結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性描述（見(jiàn)表4），由表4中的結(jié)果可見(jiàn)，本研究體提出的基于熵權(quán)理論進(jìn)行定權(quán)的中誤差的平均值最小，為±4.703 5 mm，另外利用兩種常用的定權(quán)方法進(jìn)行定權(quán)的中誤差平均值相差甚微，分別為±5.823 7 mm和±5.687 0 mm，均大于本文提出的定權(quán)方法下的中誤差平均值。

表4 水準(zhǔn)網(wǎng)待定點(diǎn)高程平差精度評(píng)定結(jié)果描述Tab.4 Description of the Adjustment Accuracy Evaluation Results of the Leveling Network to be Fixed Point

為了進(jìn)一步分析討論本文提出的熵權(quán)理論定權(quán)結(jié)果對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)平差處理的有效性和合理性，對(duì)上述水準(zhǔn)網(wǎng)的待定點(diǎn)高程平差精度的評(píng)定結(jié)果做單因素方差分析（在0.05的置信水平下），表5為分析結(jié)果，從表5中可以看出，P=0.8×10-5＜0.05，說(shuō)明本研究提出的定權(quán)方法應(yīng)用效果與另外兩種常用方法應(yīng)用效果之間的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，也即說(shuō)明本研究提出的熵權(quán)理論定權(quán)法的應(yīng)用效果顯著優(yōu)于常規(guī)定權(quán)方法，相對(duì)于常用的兩種定權(quán)方法而言，本文提出的方法更為合理，且得到的最終水準(zhǔn)網(wǎng)平差值的精度更高，更適用于復(fù)雜地形區(qū)域的測(cè)量平差。

表5 水準(zhǔn)網(wǎng)待定點(diǎn)高程平差精度評(píng)價(jià)結(jié)果的單因素方差分析Tab.5 Single Factor Analysis of Variance（Anova）of AdjustmentAccuracy Evaluation Results for Fixed Point in Leveling Network

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)的測(cè)量平差中存在的定權(quán)問(wèn)題，本文在充分了解常用的兩種定權(quán)方法后，發(fā)現(xiàn)其在定權(quán)時(shí)都具有片面性，對(duì)于復(fù)雜起伏條件下的水準(zhǔn)網(wǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理仍然存在缺陷，基于此，本研究在這兩種定權(quán)方法的基礎(chǔ)上提出了一種充分整合測(cè)段內(nèi)的距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)中所帶的定權(quán)信息的新的定權(quán)方法，即通過(guò)利用信息熵理論背景下的熵權(quán)法，綜合考慮測(cè)段內(nèi)的距離千米數(shù)和測(cè)站數(shù)信息而建立的熵權(quán)法定權(quán)方案。最后通過(guò)實(shí)例對(duì)比分析3種定權(quán)方法的應(yīng)用效果，并采用統(tǒng)計(jì)學(xué)分析方法分析了結(jié)果的合理性和可靠性。

1）在水準(zhǔn)網(wǎng)平差時(shí)的觀測(cè)高差定權(quán)問(wèn)題中，常用的兩種定權(quán)方法應(yīng)用受測(cè)區(qū)地形的約束性較大，因?yàn)樗鼈儗?duì)于不同的地形條件都不具有普適性，都只能適用于部分地形條件，如地形起伏不太顯著的區(qū)域或者地形起伏較為明顯的區(qū)域，然而，對(duì)于地形相對(duì)復(fù)雜的測(cè)區(qū)，因?yàn)橥瑫r(shí)存在多種不同起伏情況的測(cè)段致使單選用兩種常用的定權(quán)方法中的一種都不能有效反映出水準(zhǔn)測(cè)量的實(shí)際精度。

2）為解決常規(guī)定權(quán)方法存在的缺陷，即不能很好地適用于同時(shí)存在多種不同類(lèi)型的地形條件的測(cè)段，本研究提出一種基于熵權(quán)理論的觀測(cè)值定權(quán)方法。采用3種不同的定權(quán)方法某一地形復(fù)雜區(qū)域的水準(zhǔn)網(wǎng)做平差處理，對(duì)比3者的高程平差精度評(píng)定結(jié)果可見(jiàn)，本文提出的新的定權(quán)方法具有較大優(yōu)勢(shì)，最終平差值的平均精度相對(duì)更高。

3）最后為了進(jìn)一步分析討論本文提出的熵權(quán)理論定權(quán)結(jié)果對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)平差處理的有效性和合理性，對(duì)上述水準(zhǔn)網(wǎng)的待定點(diǎn)高程平差精度的評(píng)定結(jié)果做單因素方差分析，結(jié)果表明研究提出的定權(quán)方法應(yīng)用效果與另外兩種常用方法應(yīng)用效果之間的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即說(shuō)明本研究提出的熵權(quán)理論定權(quán)法的應(yīng)用效果顯著優(yōu)于常規(guī)定權(quán)方法。本方法提出的新的定權(quán)方法普適性更強(qiáng)，尤其是針對(duì)測(cè)區(qū)地形復(fù)雜條件下的水準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)處理問(wèn)題，可在一定程度上提高水準(zhǔn)測(cè)量中平差結(jié)果的可靠性，是一種良好的水準(zhǔn)網(wǎng)平差定權(quán)方法，具有一定的推廣價(jià)值。