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    從一題多解看空間距離的求法

    2022-04-01 11:19:58廖永福
    數(shù)理化解題研究 2022年7期
    關(guān)鍵詞:解題

    廖永福

    (福建省廈門第二中學 361009)

    題目(2013年北京卷理14)如圖1,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為____.

    解法1(定義法) 點P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.

    如圖2,過點E作EE1∥CC1交B1C1于點E1,連接D1E1,過點C1作C1F⊥D1E1,垂足為點F,過點F作FP0∥E1E交D1E于點P0,則B1E1=E1C1,P0F∥CC1.

    圖2

    在C1C上取點Q,使得C1Q=FP0.

    連接P0Q,則四邊形P0QC1F為平行四邊形.

    因為CC1⊥平面A1B1C1D1,C1F?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥C1F,四邊形P0QC1F為矩形.

    所以P0Q⊥CC1,P0Q⊥PF.

    因為P0Q∥FC1,所以P0Q⊥D1E1.

    又D1E1∩P0F=F,D1E1,P0F?平面D1EE1,

    所以P0Q⊥平面D1EE1.

    所以P0Q⊥D1E.

    即P0Q為異面直線D1E和CC1的公垂線.

    在Rt△C1D1E1中,由

    C1F·D1E1=C1D1·C1E1,得

    解法2 (等體積法)點P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.

    圖3

    如圖3,過點E作EE1∥CC1交B1C1于點E1,連接D1E1,則B1E1=E1C1.

    因為EE1?平面D1EE1,CC1?平面D1EE1,

    所以CC1∥平面D1EE1.

    所以異面直線D1E與CC1間的距離就是直線CC1到平面D1EE1的距離,就是點C1到平面D1EE1的距離.

    設點C1到平面D1EE1的距離為d,

    因為VC1-D1EE1=VE-C1D1E1,

    因為CC1⊥平面A1B1C1D1,

    所以EE1⊥平面A1B1C1D1.

    又D1E1?平面A1B1C1D1,所以EE1⊥D1E1.

    又S△C1D1E1=1,EE1=2,

    解法3 (等面積法)如圖4,過點E作EE1∥CC1交B1C1于點E1,連接D1E1,過點P作PF∥EE1交D1E1于點F,連接C1F,則B1E1=E1C1,PF∥CC1.

    圖4

    因為CC1⊥平面A1B1C1D1,C1F?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥C1F.

    所以C1F的長就是點P到CC1的距離.

    因為點P在線段D1E上運動,所以點F在線段D1E1上運動,當C1F⊥D1E1時,C1F取得最小值.

    在Rt△C1D1E1中,由

    C1F·D1E1=C1D1·C1E1,得

    解法4 (向量法)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖5所示的空間直角坐標系,則C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(1,2,0).

    圖5

    所以點P到直線CC1的距離

    解法5 (向量法)建立空間直角坐標系同解法4,則D(0,0,0),D1(0,0,2),E(1,2,0).

    所以P(λ,2λ,2-2λ).

    又設點P在CC1上的投影為點Q,

    則Q(0,2,2-2λ).

    解法6(向量法)建立空間直角坐標系同解法4,則C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(1,2,0).

    取x=2,則y=-1.

    所以n=(2,-1,0).

    所以異面直線CC1與D1E間的距離為

    點評本題主要考查空間距離的求法,正方體的基本結(jié)構(gòu)特征,以及空間線線、線面、面面平行和垂直的判定和性質(zhì)等,體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是熟練掌握各種距離之間的轉(zhuǎn)化方法,屬于中檔題.

    在上述六種解法中,前三種解法是純幾何方法,其中解法1把問題轉(zhuǎn)化為求異面直線間的距離,利用定義法來解;解法2把問題轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離,利用等體積法來解;解法3把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離,利用等面積法來解.后三種解法是向量方法,通過建立空間直角坐標系,以向量為工具把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,這三種方法分別應用了點到直線的距離公式、兩點間的距離公式和異面直線間的距離公式.

    可以看出,空間距離的求法雖然很多,如定義法、轉(zhuǎn)化法、等積法和向量法等,但始終滲透著數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.解題時應根據(jù)題設條件,靈活選擇解法,優(yōu)化解題過程.

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