廖永福
(福建省廈門第二中學(xué) 361009)
題目(2013年北京卷理14)如圖1,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為____.
解法1(定義法) 點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.
如圖2,過點(diǎn)E作EE1∥CC1交B1C1于點(diǎn)E1,連接D1E1,過點(diǎn)C1作C1F⊥D1E1,垂足為點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FP0∥E1E交D1E于點(diǎn)P0,則B1E1=E1C1,P0F∥CC1.
圖2
在C1C上取點(diǎn)Q,使得C1Q=FP0.
連接P0Q,則四邊形P0QC1F為平行四邊形.
因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1,C1F?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥C1F,四邊形P0QC1F為矩形.
所以P0Q⊥CC1,P0Q⊥PF.
因?yàn)镻0Q∥FC1,所以P0Q⊥D1E1.
又D1E1∩P0F=F,D1E1,P0F?平面D1EE1,
所以P0Q⊥平面D1EE1.
所以P0Q⊥D1E.
即P0Q為異面直線D1E和CC1的公垂線.
在Rt△C1D1E1中,由
C1F·D1E1=C1D1·C1E1,得
解法2 (等體積法)點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.
圖3
如圖3,過點(diǎn)E作EE1∥CC1交B1C1于點(diǎn)E1,連接D1E1,則B1E1=E1C1.
因?yàn)镋E1?平面D1EE1,CC1?平面D1EE1,
所以CC1∥平面D1EE1.
所以異面直線D1E與CC1間的距離就是直線CC1到平面D1EE1的距離,就是點(diǎn)C1到平面D1EE1的距離.
設(shè)點(diǎn)C1到平面D1EE1的距離為d,
因?yàn)閂C1-D1EE1=VE-C1D1E1,
因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1,
所以EE1⊥平面A1B1C1D1.
又D1E1?平面A1B1C1D1,所以EE1⊥D1E1.
又S△C1D1E1=1,EE1=2,
解法3 (等面積法)如圖4,過點(diǎn)E作EE1∥CC1交B1C1于點(diǎn)E1,連接D1E1,過點(diǎn)P作PF∥EE1交D1E1于點(diǎn)F,連接C1F,則B1E1=E1C1,PF∥CC1.
圖4
因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1,C1F?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥C1F.
所以C1F的長就是點(diǎn)P到CC1的距離.
因?yàn)辄c(diǎn)P在線段D1E上運(yùn)動,所以點(diǎn)F在線段D1E1上運(yùn)動,當(dāng)C1F⊥D1E1時,C1F取得最小值.
在Rt△C1D1E1中,由
C1F·D1E1=C1D1·C1E1,得
解法4 (向量法)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(1,2,0).
圖5
所以點(diǎn)P到直線CC1的距離
解法5 (向量法)建立空間直角坐標(biāo)系同解法4,則D(0,0,0),D1(0,0,2),E(1,2,0).
所以P(λ,2λ,2-2λ).
又設(shè)點(diǎn)P在CC1上的投影為點(diǎn)Q,
則Q(0,2,2-2λ).
解法6(向量法)建立空間直角坐標(biāo)系同解法4,則C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(1,2,0).
取x=2,則y=-1.
所以n=(2,-1,0).
所以異面直線CC1與D1E間的距離為
點(diǎn)評本題主要考查空間距離的求法,正方體的基本結(jié)構(gòu)特征,以及空間線線、線面、面面平行和垂直的判定和性質(zhì)等,體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是熟練掌握各種距離之間的轉(zhuǎn)化方法,屬于中檔題.
在上述六種解法中,前三種解法是純幾何方法,其中解法1把問題轉(zhuǎn)化為求異面直線間的距離,利用定義法來解;解法2把問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離,利用等體積法來解;解法3把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離,利用等面積法來解.后三種解法是向量方法,通過建立空間直角坐標(biāo)系,以向量為工具把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,這三種方法分別應(yīng)用了點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式和異面直線間的距離公式.
可以看出,空間距離的求法雖然很多,如定義法、轉(zhuǎn)化法、等積法和向量法等,但始終滲透著數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.解題時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活選擇解法,優(yōu)化解題過程.