從一題多解看空間距離的求法

廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

題目(2013年北京卷理14)如圖1，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為____.

解法1(定義法) 點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.

如圖2，過點(diǎn)E作EE1∥CC1交B1C1于點(diǎn)E1，連接D1E1，過點(diǎn)C1作C1F⊥D1E1，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FP0∥E1E交D1E于點(diǎn)P0，則B1E1=E1C1，P0F∥CC1.

圖2

在C1C上取點(diǎn)Q，使得C1Q=FP0.

連接P0Q，則四邊形P0QC1F為平行四邊形.

因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，C1F?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F，四邊形P0QC1F為矩形.

所以P0Q⊥CC1,P0Q⊥PF.

因?yàn)镻0Q∥FC1，所以P0Q⊥D1E1.

又D1E1∩P0F=F，D1E1，P0F?平面D1EE1，

所以P0Q⊥平面D1EE1.

所以P0Q⊥D1E.

即P0Q為異面直線D1E和CC1的公垂線.

在Rt△C1D1E1中，由

C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得

解法2 (等體積法)點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.

圖3

如圖3，過點(diǎn)E作EE1∥CC1交B1C1于點(diǎn)E1，連接D1E1，則B1E1=E1C1.

因?yàn)镋E1?平面D1EE1，CC1?平面D1EE1，

所以CC1∥平面D1EE1.

所以異面直線D1E與CC1間的距離就是直線CC1到平面D1EE1的距離，就是點(diǎn)C1到平面D1EE1的距離.

設(shè)點(diǎn)C1到平面D1EE1的距離為d，

因?yàn)閂C1-D1EE1=VE-C1D1E1，

因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，

所以EE1⊥平面A1B1C1D1.

又D1E1?平面A1B1C1D1，所以EE1⊥D1E1.

又S△C1D1E1=1，EE1=2，

解法3 (等面積法)如圖4，過點(diǎn)E作EE1∥CC1交B1C1于點(diǎn)E1，連接D1E1，過點(diǎn)P作PF∥EE1交D1E1于點(diǎn)F，連接C1F，則B1E1=E1C1，PF∥CC1.

圖4

因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，C1F?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F.

所以C1F的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到CC1的距離.

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段D1E上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)F在線段D1E1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C1F⊥D1E1時(shí)，C1F取得最小值.

在Rt△C1D1E1中，由

C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得

解法4 (向量法)以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,2,0),C1(0,2,2)，D1(0,0,2),E(1,2,0).

圖5

所以點(diǎn)P到直線CC1的距離

解法5 (向量法)建立空間直角坐標(biāo)系同解法4，則D(0,0,0)，D1(0,0,2),E(1,2,0).

所以P(λ,2λ,2-2λ).

又設(shè)點(diǎn)P在CC1上的投影為點(diǎn)Q，

則Q(0,2,2-2λ).

解法6(向量法)建立空間直角坐標(biāo)系同解法4，則C(0,2,0),C1(0,2,2)，D1(0,0,2),E(1,2,0).

取x=2，則y=-1.

所以n=(2,-1,0).

所以異面直線CC1與D1E間的距離為

點(diǎn)評(píng)本題主要考查空間距離的求法，正方體的基本結(jié)構(gòu)特征，以及空間線線、線面、面面平行和垂直的判定和性質(zhì)等，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是熟練掌握各種距離之間的轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題.

在上述六種解法中，前三種解法是純幾何方法，其中解法1把問題轉(zhuǎn)化為求異面直線間的距離，利用定義法來解；解法2把問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法來解；解法3把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，利用等面積法來解.后三種解法是向量方法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這三種方法分別應(yīng)用了點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式和異面直線間的距離公式.

可以看出，空間距離的求法雖然很多，如定義法、轉(zhuǎn)化法、等積法和向量法等，但始終滲透著數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活選擇解法，優(yōu)化解題過程.