視角各異皆有思 解法紛呈亦自然
——2021年全國甲卷理科第15題

欒 功

(廣西南寧市第三中學(xué) 530021)

縱觀歷年高考，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)與平面幾何的綜合成了命題熱點，試題貼近教材，低起點、寬入口的特點給考生提供了多角度的思考空間，思維靈活，解法多樣.如果教師在教學(xué)中能充分挖掘真題的價值，對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運算等能力將大有裨益.

1 試題呈現(xiàn)

分析試題以橢圓焦點F1，F(xiàn)2和橢圓上關(guān)于中心對稱的兩點P，Q為頂點設(shè)計了四邊形PF1QF2，其內(nèi)涵豐富，構(gòu)圖靈活，有利于考生從不同角度入手求解.

2 試題解法

解法1如圖1，在四邊形PF1QF2中，有|PQ|=|F1F2|，且O為PQ與F1F2的中點.

圖1

故|PF1|·|PF2|

從而SPF1QF2=|PF1|·|PF2|=8.

解法2 設(shè)P(x0,y0)，由題設(shè)知

①

②

設(shè)P(4cosθ,2sinθ)，則

從而SPF1QF2=2S△F1PF2=8.

(4+m2)y2-16=0.

解得1+m2=9.

所以SPF1QF2=2S△PQF2=8.

所以SPF1QF2=2S△F1PF2=4S△POF2

解法6設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為

t2(cos2α+sin2α)=16.

記點P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，

3 試題變式

通過探究我們得出了試題的六種解法，雖精彩紛呈，但仍感意猶未盡，我們嘗試從不同的立場，不同的方面來觀察題目，改變問題的結(jié)構(gòu)形式，革新問題的曲線背景，在變式探究中進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算等能力.

解析記四邊形AOBD的面積為S，如圖2，連接OD，設(shè)D(4cosθ,2sinθ)，則

S=S△OAD+S△ODB

圖2 圖3

故圓D的方程為

③

④

聯(lián)立③④,得b2=4.

所以橢圓C的短軸長為4.

所以4c2=16+4a2.

所以5a2=4+a2，解得a=1.

數(shù)學(xué)家陳省身曾言：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物，首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，才會有很好的效果.”數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)行為中最有價值的行為，在高三復(fù)習(xí)備考中，我們要充分挖掘高考真題的學(xué)習(xí)價值，引導(dǎo)學(xué)生對問題展開深入思考，通過一題多解、一題多變、多題一解構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，深化理性思維，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，破除“應(yīng)試教育”.