解題應(yīng)重視自然而至簡(jiǎn)的通解通法
——從一道二元二次函數(shù)最值題的研究談起

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是____．

分析該題形式上以二元方程為背景命題，主要考查分析、解決二元問(wèn)題的能力，強(qiáng)化對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、消元與不等式求最值等數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題結(jié)構(gòu)雖簡(jiǎn)單、明了，但內(nèi)涵豐富，本文嘗試對(duì)該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

角度1整體處理，借助不等式求最值.

解法1(配湊+基本不等式法)由5x2y2+y4=1，得y2(5x2+y2)=1.

評(píng)注通過(guò)代數(shù)化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y2與5x2+y2的問(wèn)題，條件式為兩者積為定值，目標(biāo)式是與兩者有關(guān)的和，自然想到借助基本不等式求解.

解法2 (待定系數(shù)+基本不等式法)

由(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4，

設(shè)(x2+y2)2=x4+ty4+2x2y2+(1-t)y4，

評(píng)注在得到(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4后，聯(lián)想利用不等式將其放縮為5x2y2+y4的倍數(shù)，但是這里對(duì)系數(shù)的配湊不太容易，于是考慮待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法配湊，再借助不等式求最值的方法，往往可以降低配湊系數(shù)帶來(lái)的思維難度，讀者在日常的解題中可以嘗試該法的使用.

角度2化二元為一元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問(wèn)題.

解法3 (消元+基本不等式法)

評(píng)注化二元為一元是解決二元函數(shù)的最直接做法，通法是消去其中一個(gè)變量，得到關(guān)于另一變量的函數(shù)，接著利用不等式、對(duì)勾函數(shù)等求出最值.

評(píng)注由條件式平方和為1的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想cos2θ+sin2θ=1，所以想到利用三角換元，將二元(x,y)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元(θ)問(wèn)題，根據(jù)目標(biāo)式特點(diǎn)選擇合適方式求最值.

解法5(三角換元+函數(shù)最值法)令x2+y2=r2，由5x2y2+y4=1知x,y至少有一個(gè)不為0.

設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，代入5x2y2+y4=1，整理,得

評(píng)注著眼于目標(biāo)式特征，由于x,y至少有一個(gè)不為0，故設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，順利實(shí)現(xiàn)減元，利用一元二次函數(shù)知識(shí)即可求出最值.

解法6(齊次化+基本不等式法)

角度3 著眼于目標(biāo)式，借助方程判別式.

解法7 (判別式法)設(shè)x2+y2=t(t>0)，則x2=t-y2.

代入5x2y2+y4=1，整理,得

關(guān)于y2的一元二次方程4y4-5ty2+1=0.

方程有解的充要條件為Δ=(-5t)2-16≥0，

評(píng)注將目標(biāo)式設(shè)為參數(shù)t，利用t將條件式轉(zhuǎn)化為關(guān)于y2的一元二次方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，借助判別式解題.

角度4 回顧函數(shù)本質(zhì)，多元函數(shù)找對(duì)策.

對(duì)x求導(dǎo),得

解法9(拉格朗日乘數(shù)法)構(gòu)造函數(shù)f(x,y,λ)=x2+y2+λ(5x2y2+y4-1)，令f(x,y,λ)對(duì)x,y,λ的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，則

評(píng)注函數(shù)偏導(dǎo)法與拉格朗日乘數(shù)法都是高等數(shù)學(xué)背景下的解法，提供給讀者參考.

3 變式推廣，總結(jié)通解通法

若令x2=u，y2=v，則問(wèn)題等價(jià)于：已知5uv+v2=1，求u+v的最小值.我們不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)為以二元二次方程為背景的二元函數(shù)最值問(wèn)題，類(lèi)似問(wèn)題頻繁出現(xiàn)在高考和各類(lèi)模擬考中，筆者經(jīng)過(guò)整理，將此類(lèi)問(wèn)題根據(jù)條件式或目標(biāo)式特征進(jìn)行分類(lèi)，并據(jù)此特征總結(jié)通解通法.

3.1 條件式為(ax+b)(cy+d)=m的二元最值問(wèn)題

例1 若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足xy-2x-y=6，則xy的最小值為_(kāi)___.

解析由xy-2x-y=6,得(x-1)(y-2)=8.

例2 設(shè)x,y∈R，且滿(mǎn)足4x+y+2xy+1=0，則x2+y2+x+4y的最小值為_(kāi)___.

解析由4x+y+2xy+1=0,

得(2x+1)(y+2)=1.

所以x2+y2+x+4y

方法歸納一般地，若已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(ax+b)(cy+d)=m(a,b,c,d,m均為非零實(shí)數(shù))，求二元函數(shù)f(x,y)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結(jié)果代入二元函數(shù)f(x,y)，得到關(guān)于t的一元函數(shù)；

(3)利用函數(shù)或不等式等方法解(2)中所得關(guān)于t的函數(shù)的最值.

3.2 條件式為(ax+by)(cx+dy)=m的二元最值問(wèn)題

例3已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值等于( ).

解析由5x2-y2-4xy=5,得

(5x+y)(x-y)=5.

例4 已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x2+2y2+5xy=1，則xy+x+y的最大值為_(kāi)___.

解析由2x2+2y2+5xy=1,

得(2x+y)(x+2y)=1.

所以xy+x+y

在λ∈[2，+∞)上單調(diào)遞減.

方法歸納一般地，若已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(ax+by)(cx+dy)=m(a,b,c,d,m均為非零實(shí)數(shù)，且ad≠bc)，求二元函數(shù)f(x,y)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結(jié)果代入二元函數(shù)f(x,y)，得到關(guān)于t的一元函數(shù)；

(3)利用函數(shù)或不等式等方法解(2)中所得關(guān)于t的函數(shù)的最值.

3.3 條件式為(ax+by)2+(cx+dy)2=m的二元最值問(wèn)題

例5 若正數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+y2+xy=9，則x+2y的最大值為_(kāi)___.

解析由x2+y2+xy=9,得

例6 已知x,y∈R，且滿(mǎn)足x2+4y2+2xy=6，求z=x2+4y2的最值.

解析由x2+4y2+2xy=6,得

方法歸納一般地，若已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(ax+by)2+(cx+dy)2=m(a,b,c,d均為非零實(shí)數(shù)，m為正實(shí)數(shù)，且ad≠bc)，求二元函數(shù)f(x,y)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結(jié)果代入二元函數(shù)f(x,y)，得到關(guān)于θ的一元函數(shù)；

(3)利用三角函數(shù)或不等式等知識(shí)解(2)中所得關(guān)于θ的函數(shù)的最值.

3.4 目標(biāo)式為ax+by的二元最值問(wèn)題

例7 已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是( ).

解析設(shè)x+2y=t(t>0)，則x=t-2y.

代入x+2y+2xy=8，整理,得

關(guān)于y的方程4y2-2ty+8-t=0(y>0).

方程有解的充要條件為

Δ=(-2t)2-16(8-t)≥0，

解得t≥4，

即x=2y時(shí)等號(hào)成立.

所以x+2y的最小值為4.

方法歸納一般地，若已知二元二次方程f(x,y)=0，求二元一次函數(shù)ax+by(a,b均為非零實(shí)數(shù))的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結(jié)果代入二元二次方程f(x,y)=0，得到關(guān)于y的一元二次方程；

(3)利用判別式解(2)中所得關(guān)于y的方程有解對(duì)應(yīng)的t的取值范圍，驗(yàn)證等號(hào)成立取得所求最值.

3.5 目標(biāo)式為ax2+by2的二元最值問(wèn)題

例8 若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+2xy-y2=7，則x2+y2的最小值為_(kāi)___.

解析設(shè)x2+y2=r2，易知x,y不同時(shí)為0，所以r≠0.

設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，代入x2+2xy-y2=7，

方法歸納一般地，若已知二元方程f(x,y)=0，求二元二次函數(shù)ax2+by2(a,b>0)的最值，通法步驟為：

(2)將(1)中所得結(jié)果代入二元方程f(x,y)=0，得到關(guān)于θ的方程；

(3)利用三角函數(shù)的有界性等知識(shí)解(2)中所得關(guān)于θ的方程，得到關(guān)于r2的不等式，得到r2的取值范圍，即得ax2+by2的最值.

4 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)解題的目的是什么？是求出問(wèn)題的答案嗎？是，但不全是！解題的目的是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)數(shù)學(xué)基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，所以對(duì)一道典型問(wèn)題，尤其是高考題的多角度分析與解答是非常有必要的.用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能更牢固地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能更靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．通過(guò)一題多解，分析、比較各種解法，可以找到最佳的解題途徑，從而發(fā)散學(xué)生的思維能力，對(duì)鞏固知識(shí)和解題能力大有裨益，是提高數(shù)學(xué)成績(jī)的一條捷徑．

當(dāng)然并非解法越多越好，在尋求多解的過(guò)程中要突出通性、通法的輻射、遷移的作用，要追求水到渠成、自然而然的解題方法.正如數(shù)學(xué)家加德納說(shuō)：“數(shù)學(xué)的真諦在于不斷尋求越來(lái)越簡(jiǎn)單的方法證明定理和數(shù)學(xué)問(wèn)題”.筆者認(rèn)為這里所謂的“簡(jiǎn)單”，不是指特殊的技巧，或書(shū)寫(xiě)過(guò)程的簡(jiǎn)潔，而是解答一道問(wèn)題的思維過(guò)程是自然的、簡(jiǎn)單的，運(yùn)用的知識(shí)也是基礎(chǔ)的，正所謂“大道至簡(jiǎn)”，因此文章中將近些年一些高考和模擬考中的關(guān)于二元最值題，按照條件式或者目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類(lèi)，總結(jié)其通解通法，以求讓學(xué)生能“做一題，通一類(lèi)”，真正實(shí)現(xiàn)“一題多解，多解歸一”.另外，筆者認(rèn)為在日常的教學(xué)中，教師還要指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身掌握程度和實(shí)際情況，選擇最佳的解題方法，不要一味追求某一種解法，要學(xué)會(huì)從不同解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想，提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).