三角形邊等差的解法及命題意圖探究

劉小樹(shù)

(安徽省固鎮(zhèn)縣第一中學(xué) 233700)

1 試題呈現(xiàn)

2 試題解析

解法1(基本不等式法)

①

②

又由余弦定理及不等式，得

解法2 (配角三角公式變換法)

2sinB=sinA+sinC.

③

解法3 (建系構(gòu)造橢圓法)

圖1

④

于是④化為

即當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)取到最小值.

解法4(Jensen不等式法)

因?yàn)閒(x)=sinx,x∈(0,π),f″(x)=-sinx<0,所以f(x)為上凸函數(shù).

又2sinB=sinA+sinC,

所以3sinB=sinA+sinB+sinC

又因?yàn)?sinB=sinA+sinC,2b=a+c,

即a,b,c成等差數(shù)列.故b不是最大邊.

由基本不等式，得

sin2B≥sinA·sinC,當(dāng)且僅當(dāng)A=C取等號(hào).

3 試題命題意圖分析

試題用了4種方法解題，從解法1到解法4，解題要求難度逐漸加大，但是從考后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，以上四種解法中，解法1，2僅少部分同學(xué)使用，解法3更是罕有人用，競(jìng)賽黨同學(xué)容易想到解法4.試題難度系數(shù)0.22，區(qū)分度0.45，全市得分率為22.01%，最好的學(xué)校得分率也僅為40%，足見(jiàn)得分很低.大多數(shù)同學(xué)使用的方法讓命題者欣慰又大跌眼鏡：直接根據(jù)對(duì)稱性取正三角形得到答案.這不得不讓人思考，為什么會(huì)出現(xiàn)這種事與愿違的結(jié)果呢？可以從兩個(gè)方面分析：一方面：大多數(shù)同學(xué)做16題常使用極限法、特殊圖形或特殊值法，加上考試時(shí)間緊，壓軸小題難度大，學(xué)生不敢在這里耗費(fèi)時(shí)間，不得不取特殊圖形法，而且驗(yàn)算后發(fā)現(xiàn)符合要求，就鋌而走險(xiǎn)解題.另一方面如果答案被學(xué)生輕而易舉猜到，說(shuō)明命題沒(méi)有體現(xiàn)隱形性，要從命題角度考慮了.本題條件容易讓考生聯(lián)想到特殊圖象法.

如果設(shè)置為

⑤

或cosA+2cosB+cosC=2，

⑥

或5cosA+5cosC-4cosAcosC=4.

⑦

相對(duì)來(lái)講更能達(dá)到壓軸和考查的目標(biāo).這是因?yàn)橐陨先N情形不易被考生猜到特殊圖形，即使猜也沒(méi)有理由.實(shí)際上這三種情形是等價(jià)的，最終都可以化為2b=a+c，這樣既能達(dá)到考查要求，又不會(huì)被學(xué)生鉆了空子，從而導(dǎo)致命題的尷尬境地.對(duì)于以上重新設(shè)置的條件為什么可以達(dá)到壓軸目的呢，下面將轉(zhuǎn)化過(guò)程具體證明，大家就一目了然了.

三種形式等價(jià)證明如下：

?a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b

?a+c+acosC+ccosA=a+c+b=3b

?2b=a+c；

⑥cosA+2cosB+cosC=2

?cosA+cosC=2-2cosB

?2sinB=sinA+sinC

?2b=a+c；

⑦5cosA+5cosC-4cosAcosC=4

同⑥可化為2b=a+c或b=2(a+c)(舍).

不難發(fā)現(xiàn)， ⑤⑥⑦考查知識(shí)方法更全面、豐富、多元性、隱形性,可以多層次考查學(xué)生.另外大家還發(fā)現(xiàn)①至⑦都是等價(jià)命題.

高中數(shù)學(xué)命題原則一般是條件間要滿足相容性，不得與公理定理概念相矛盾；力求語(yǔ)言描述準(zhǔn)確無(wú)歧義；解題方法多元性，多種知識(shí)、思想相互溝通，對(duì)考生有啟發(fā)性；試題素材要新穎、豐富、典型、隱形性，防止猜題.

命題是一項(xiàng)重要的工作，教師命題必須緊扣教學(xué)大綱和高考核心素養(yǎng)要求，合理命題，既要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，思想方法的掌握情況，又要讓學(xué)生從問(wèn)題中訓(xùn)練思維，提升能力，得到啟發(fā)，使學(xué)生在解題中領(lǐng)悟命題意圖，達(dá)到融會(huì)貫通，舉一反三.命題要反復(fù)斟酌，力求做到?jīng)]有失誤，才能命出解法自然，形式完美的經(jīng)典試題.